книги из ГПНТБ / Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии

различным отрезкам временного ряда, все расчеты выполнены за единый период времени 1900—1954 гг., что делает сопоставимыми эмпирические спектральные плотности, полученные по различным створам наблюдений. Результаты расчетов спектральных функций

Рис. 7.20. Спектральные функции моделированных рядов с параметрами распределения и связью между смежными членами ряда по данным

годового стока р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки.

а —л = 3 6 , б— л = 6 0 , в— п=96, г — л — 141, д —л = 1 0 0 0 .

сглаженные спектральные плотности. При рассмотрении данного рисунка привлекает внимание совпадение в подавляющем числе случаев пиков и ложбин спектральных плотностей, что объясня­ ется значительной положительной корреляцией между годовым сто­ ком рассматриваемых пунктов наблюдений.

Нибольшие всплески спектральных функций наблюдаются при т = 3, 5, 7, 10, 12 и 16, что соответствует продолжительности цик­ лов 18, 11, 8, 5, 3 года. Полученные циклы в общем хорошо соот-

4 0 5

ветствуют данным работы [58, 59]. Пики и ложбины спектраль­ ных функций, как правило, обеспечены одной, максимум, двумя точками, что указывает на их малую значимость. Лишь некоторые наиболее выдающиеся пики выходят за пределы доверительных границ при 5%-ном уровне значимости.

После сглаживания спектральных функций по формуле Хаминга некоторые пики практически исчезают. Так, в некоторых слу­

с подобными циклами, полученными автокорреляционным анали­ зом и при сглаживании колебаний годового стока. Во всех случаях в общих чертах выделенные циклы разной продолжительности со­ впадают.

Циклы, полученные по спектральным функциям, несколько лучше совпадают по продолжительности с циклами сглаженных колебаний годового стока с использованием биномиального филь­ тра. Как в первом, так и во втором случаях отмечается цикл про­ должительностью 18 лет. По автокорреляционным функциям выде­ лялся цикл с наибольшей продолжительностью 25 лет. На некото­ рую искусственность данного цикла указывалось при описании автокорреляционных функций. Циклы продолжительностью 11, 8 и 5 лет также совпадают как при спектральном анализе, так и при использовании метода последовательного парного осреднения ис­ ходных колебаний годового стока. Несколько худшее совпадение продолжительности циклов наблюдается при использовании авто­ корреляционных функций.

Циклы продолжительностью менее 5 лет, выделенные по’ спек­ тральным функциям, не наблюдаются в сглаженных колебаниях годового стока, что объясняется исключением высоких частот (цик­ лов короткой продолжительности) в последнем случае.

Представляет определенный интерес рассмотреть спектральные функции, рассчитанные по сглаженным колебаниям годового стока с использованием биномиального фильтра, базирующегося, как и ранее, на 11 членах исходного ряда. Спектральные функции дина­ мических средних представлены на рис. 7.22. Как видно на этом рисунке, по всем рассматриваемым створам наблюдений отмеча­ ется наиболее интенсивный пик при пг = 3, что соответствует про­

должительности цикла 18 лет. Этот цикл наиболее четко представ­ лен в ходе колебаний динамических средних. Цикл при т = 5 (про­

должительность 11 лет) хорошо представлен в среднем и нижнем течении р. Днепра. В верхнем же течении (р. Днепр у городов Смоленска и Орши) этот цикл отсутствует. На некоторое несов­ падение хода колебаний динамических средних. годового стока по этим створам наблюдений указывалось ранее. И, наконец, по­ всеместно отмечается цикл со средней продолжительностью 8 лет (т = 7). Дальнейший ход колебаний спектральных функций быстро

затухает с небольшими пиками при т = 10 и. 12 (продолжитель­ ность цикла примерно 5 лет).

406

Сглаженные спектральные плотности динамических средних имеют, как правило, один пик при т = 3 ( 7=18 лет). Лишь в верх­

Таким образом, спектральные функции сглаженных колебаний годового стока с использованием биномиального фильтра более четко по сравнению со спектральными плотностями годового стока представляют низкие частоты (циклы большой продолжительно­ сти). Высокие же частоты в спектральных функциях динамических средних годового стока отсутствуют, что объясняется исключе­ нием этих частот при фильтрации годового стока. Этот вывод мо­ жно было бы получить ранее, используя частотную характери­ стику применяющегося фильтра, представленную на рис. 7.8.

Спектральная функция сглаженных колебаний годового стока может быть представлена в виде

5* (со )= |/? И Р З Д ,

где R (to) — частотная характеристика фильтра; S* (со) — спектраль­

и 510 (рис. 7.21). Продолжительность циклов в данном случае равна

4^-= 18,333; ^ -= 7,857 и -§-=4,583.

2л;

Определяем интересующие нас частоты по формуле со = —=—:

Далее снимаем с рис. 7.8 для 7=11 значения частотных харак­ теристик биномиального фильтра для полученных частот R(cot) =

= 0,86, 7?(шг) =0,44 и 7?(соз) =0,07. Возводим эти значения частот­

ные значения квадратов частотных характеристик фильтра на со­ ответственные значения функции спектральной плотности годового стока, получаем ординаты спектральной функции сглаженных ко­

12 вполне удовлетворительно соответствуют рассчитанным ранее значениям, которые представлены на рис. 7.22.

Аналогичным образом можно осуществить пересчет спектраль­ ной функции исходного ряда наблюдений через частотную харак-

408

теристику фильтра в спектральную функцию сглаженных колеба­ ний рассматриваемого ряда наблюдений во всем диапазоне ча­ стот, что освобождает исследователя от проведения громоздких расчетов по определению спектральной функции сглаженных ко­ лебаний. Больше того, во многих случаях ставится задача фильтра­ ции исходных колебаний в заданном диапазоне частот. Используя частотные характеристики фильтров, можно заранее подобрать не­ обходимый фильтр, который будет исключать неинтересующие ис­ следователя частоты, предвидя изменения спектральной плотности, которые внесет применяемый фильтр.

Задача нахождения степени совпадения фаз колебаний циклов различной продолжительности двух рядов решается на основе ис­ пользования взаимных спектральных функций. В этом случае со­ впадение фаз колебания определяется по выражению (7.24), со­ держащему величины коспектра (С0) и квадратурного спектра (Qft): коспектр представляет собой меру вклада колебаний различ­ ных частот в общую взаимную корреляцию между двумя рядами, квадратурный спектр является вкладом колебаний различных гар­ моник в общую взаимную корреляцию между двумя рядами при сдвиге всех гармоник одного ряда относительно другого на чет­ верть периода.

Расчеты коспектра и квадратурного спектра не приводятся, так как они не имеют самостоятельного значения. Поэтому сразу перейдем к оценке фаз колебаний различных частот. Заметим, лишь, что диапазон колебаний выборочных оценок коспектра и квадратурного спектра также достаточно велик, а теоретические оценки указывают на незначимость их колебаний в подавляющем числе случаев. В общем этот вывод не является неожиданным, если учесть, что подобные заключения были сделаны ранее по отношению к автокорреляционным функциям, взаимным корреля­ ционным функциям и, наконец, спектральным функциям годового стока рек бассейна Днепра.

Результаты расчетов разности фаз колебаний циклов различ­ ной продолжительности между годовым стоком р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки и в других створах наблюдений за годовым стоком рек бассейна Днепра представлены в табл. 7.5.

Аналогичные расчеты произведены также для сглаженных колебаний годового стока с использованием биномиального фильтра.

Из данных табл. 7.5 следует, что разность фаз циклов раз­ личной продолжительности как для рядов годового стока, так и для рядов динамических средних изменяется незначительно: пре­ имущественно в диапазоне 0—30°; в отдельных случаях эта раз­ ность достигает 80—90°. Подметить какую-либо ■закономерность в ходе колебаний разности фаз для циклов различной продолжи­ тельности не удалось.

Сравнительно небольшие значения разности фаз, видимо, свя­ заны с высокой корреляцией между годовым стоком рассматри­ ваемых рек. В ходе колебаний динамических средних (см. рис. 7.9)

410

Т а б л и ц а 7.5

Разность фаз между годовым стоком р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки и в других створах наблюдений (в град.)

411

вого стока, в знаменателе — по рядам динамических средних.

также видно, что разность фаз циклов различной продолжитель­ ности очень мала.

Произведенные расчеты коспектра, квадратурного спектра, ко­ герентности и разности фаз между сглаженными колебаниями го­ дового стока р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки и числами Вольфа показали, что все эти расчетные характеристики изменя­ ются в зависимости от продолжительности выборки и начала от­ счета, отражая случайные флуктуации выборочных данных годо­ вого стока. Это обстоятельство не является неожиданным, если учесть изменения /?qw(t), представленные на рис. 7.17, которые лежат в основе последующих расчетов спектрального анализа.

412

Сопоставление спектральных функций годового стока р. Днепра и чисел Вольфа с аналогичными данными, полученными по моде­ лированным методом Монте-Карло рядам, в которых учитывалась лишь связь между смежными членами ряда и совершенно не учи­ тывалась связь между рядами, позволило выявить их однотипный характер. Это дополнительно указывает на отсутствие согласован­ ного хода колебаний между годовым стоком р. Днепра и числами Вольфа, а эмпирические расчетные характеристики спектрального анализа, включая компоненты взаимных спектров, отражают лишь случайные флуктуации выборочных данных и совершенно не отра­ жают свойств генеральных совокупностей.

Таким образом, статистические методы при существующей про­ должительности наблюдений за речным стоком не могут дать оп­ ределенного ответа о наличии связей солнечной активности с гид­ рологическими процессами. Скорее всего эмпирические расчеты корреляционного и спектрального анализов вскрывают свойства имеющихся выборок, отражая случайные флуктуации выбороч­ ных данных, и не являются оценками генеральных совокуп­ ностей.

Лишь более глубокие дальнейшие исследования, вскрывающие физические закономерности связи солнечной активности с гидроло­ гическими элементами режима, помогут ответить на вопрос, в ка­ кой мере и каким образом солнечная активность влияет на речной сток через цепочку стохастических связей: солнечная активность — верхние слои атмосферы — макроциркуляционные процессы — ме­ теорологические элементы и, наконец, речной сток.

Произведенный корреляционный и спектральный анализ колеба­ ний годового стока рек бассейна Днепра не может дать с полной уверенностью ответа на вопрос, являются ли намечающиеся тренды действительными или обусловлены случайными флуктуациями вы­ борочных данных. Учитывая ограниченную продолжительность даже самых длинных рядов наблюдений, скорее можно сделать вы­ вод о случайном характере циклических колебаний годового стока, который свойственен любым случайным последовательностям с до­ стоверной связью лишь между смежными членами ряда. Этот вывод подтверждается как теоретическими оценками, разработанными для нормально распределенных исходных рядов, так и расчетами по моделированным рядам. В таком случае эмпиричёские ав­ токорреляционные и взаимные корреляционные функции (при т > >1), спектральные плотности и некоторые другие характеристики могут рассматриваться лишь как приемы описания циклических колебаний годового стока, которые вполне удовлетворительно со­ ответствуют наблюденным данным и не могут быть распростра­ нены за пределы расчетного периода (на генеральную совокуп­ ность), так как обнаруженные при этом циклы зависят и от нуля отсчета, и от продолжительности выборок, по которым они опре­ делены. Последнее скорее объясняется случайными флуктуациями выборочных данных, чем нестационарностью процесса колебаний годового стока.

413

Эти выводы могут быть достоверны, а возможно, они могут и несколько измениться при значительном увеличении объема исход­ ной информации, что выполнимо лишь в отдаленной перспективе. Во всяком случае по мере накопления новых данных о речном стоке целесообразно уточнять сделанные выводы, которые осо­ бенно полезно проверить на другом эмпирическом материале.

Наиболее интересны исследования многолетних колебаний реч­ ного стока в зависимости от факторов, его обусловливающих (осадков, испарения и др.). Такой путь исследования в настоящее время наиболее перспективен.

Анализ внутрирядных связей годового стока, осуществленный совместно по многим створам наблюдений, свидетельствует о на­ личии достоверной связи лишь между смежными членами ряда, которая обусловлена переходящей из года в год влагой в бассейне, а возможно, и инерцией климатических факторов стока. В таком случае г,, <+i может быть дифференцировано в зависимости от фи­ зико-географических условий бассейна, определяющих бассейно­ вое регулирование стока.

При анализе циклических колебаний годового стока целесооб­ разно использовать различные способы фильтрации. К числу этих методов можно отнести способ последовательного парного осред­ нения членов ряда (биномиальный фильтр), применение которого позволяет выделить внутривековые циклы в ходе колебаний годо­ вого стока, исключая случайные некоррелированные во времени колебания. Представление колебаний годового стока в виде дина­ мической и случайной некоррелированной составляющих с после­ дующим обобщением этих данных по площади может оказаться полезным при исследовании внутривековых колебаний годового

сглаживающих функций.

Все рассмотренные методы описания многолетних колебаний речного стока вскрывают в общем одни и те же циклы в наблю­ денных данных.

Если корреляционный и спектральный анализы выявляют сред­ нюю продолжительность циклов за наблюдаемый отрезок времени, то использование биномиального фильтра представляет эти циклы в динамике их развития. Так как все рассмотренные методы

наиболее простому и наглядному способу сглаживания колебаний годового стока с использованием биномиального фильтра. Вообще говоря, выбор метода для анализа многолетних колебаний годового стока зависит от задачи, которую требуется решить.

Дальнейшие исследования по рассматриваемому вопросу, ви­ димо, могут проводиться в следующих направлениях.

1. Изучение многолетних колебаний речного стока в связи с факторами, его обусловливающими (осадками, испарением и др.).

414