книги из ГПНТБ / Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии

выводы. Автокорреляционные функции чисел Вольфа, рассчитанные но различным периодам (п) и с различным нулевым отсчетом,

четко вскрывают цикл со средней продолжительностью 11 лет. Этот цикл в автокорреляционных функциях динамических сред­ них р. Днепра не прослеживается. Особенно четко это проявляется при объемах выборок, равных 36 годам, когда степень перекрытия данных наблюдений при различных нулевых отсчетах наименьшая.

Некоторая синхронность колебаний автокорреляционных функ­ ций динамических средних стока р. Днепра при п = 60 лет и больше связана со значительными перекрытиями данных наблюде­ ний при различных нулевых отсчетах, о чем указывалось ранее.

Указанный 11-летний период в ходе автокорреляционных функ­ ций чисел Вольфа с увеличением п характеризуется уменьшением

амплитуды; это свидетельствует об отсутствии строгой периодич­ ности в ходе колебаний чисел Вольфа. Наличие циклов иной дли­ тельности (от 8 до 16 лет) при осреднении и приводит к снижению амплитуды.

На рис. 7.17 видно, что с увеличением продолжительности при­ нятых в расчет выборок амплитуда колебаний эмпирических вза­ имных корреляционных функций заметно уменьшается. Это дает основание считать, что при дальнейшем увеличении объема вы­ борок амплитуда колебаний взаимных корреляционных функций будет уменьшаться. В пределе при /г-> °о г(т)->0. Из этого сле­

дует, что связь между речным стоком и числами Вольфа в данном случае не является доказанной. Без учета точности определения взаимных корреляционных функций на основании рис. 7.17 можно

396

прийти к выводу о том, что дальние связи между колебаниями стока и числами Вольфа более значимы.

Фактически увеличение г(т) с увеличением т связано с увели­ чивающимися ошибками г(т), поскольку, как следует из фор-

r ( z )

Рис. 7.16. Автокорреляционны е функции солнечной активности (чисел В ол ьф а ), рассчитанные по различ­ ным отрезкам временных рядов объем а п.

мулы (7.32), с уменьшением объема используемых для расчета данных наблюдений возрастает ошибка расчета. При использова­ нии выборок большей продолжительности (84 года) отмечается некоторая, хотя и слабо выраженная, синхронность хода взаимных корреляционных функций, но это объясняется тем, что расчеты выполнены по перекрывающимся отрезкам временных рядов.

3 9 7

Очевидно, что степень перекрытия тем больше, чем больше продол­ жительность принятой выборки.

Таким образом, эмпирические взаимные корреляционные функ­ ции между динамическими средними годового стока р. Днепра и числами Вольфа, рассчитанные по выборкам ограниченной про­ должительности, отражают лишь свойства этих выборок и не мо-

Рис. 7.17. Взаимны е корреляционны е функции м еж ду отф ильтро­ ванными колебаниями годового стока р. Д непра и числами Вольфа.

гут рассматриваться в качестве характеристик, присущих генераль­ ной совокупности. Намеченный путь исследования эмпирических корреляционных функций показывает, что они отражают лишь случайные флуктуации среднечастотных (высокие частоты годового стока отфильтрованы) колебаний годового стока и чисел Вольфа.

Указанные выводы были дополнительно проверены на взаим­ ных корреляционных функциях динамических средних, полученных путем сглаживания рядов, моделированных по методу МонтеКарло. Моделирование осуществлялось с учетом внутрирядной связи между смежными членами ряда. Сглаживание осуществля­ лось с использованием биномиального фильтра при Т — 11, т. е.

С98

аналогично тому, как это было выполнено для годового стока р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки. Расчеты взаимных корре­ ляционных функций выполнены по выборкам различной длитель­ ности (п = 36, 60, 132 и 141 год) и с различным нулевым отсчетом.

При сопоставлении рис. 7.17 и 7.18 видно, что характер коле­ баний взаимных корреляционных функций одинаков. Амплитуда

Рис. 7.18. Взаимны е корреляционны е функции м еж ду сглаженны ми колебаниями моделированны х методом

Монте-К арло рядов.

а— /1—36, б ~ гс—60, в — п=*132, г ~ /1 =1 41 .

колебаний взаимных корреляционных функций как в первом, так и во втором случаях закономерно убывает с увеличением продол­ жительности выборки. Представленные на рис. 7.18 взаимные кор­ реляционные функции относятся к достоверно известному случаю отсутствия связи между рассматриваемыми моделированными ря­ дами. Тем не менее они так же, как и представленные на рис. 7.17 взаимные корреляционные функции речного стока и чисел Вольфа, отчетливо показывают уменьшение г(т) с увеличением объема ис­

пользованных для расчета выборок. Это дает основание подтвер­ дить вывод об отсутствии связи между сглаженными колебаниями годового стока р. Днепра и числами Вольфа.

3 9 9

Таким образом, выполненное исследование показывает, что эм­ пирические взаимные корреляционные функции между годовым стоком, или его динамическими средними, и числами солнечных пятен отражают случайные флуктуации выборочных данных и не являются характеристиками генеральной совокупности.

Заметим, что теоретические оценки точности как автокорреля­ ционных, так и взаимных корреляционных функций, рассчитанных по сглаженным рядам, в чистом виде не применимы, так как про­ цедура фильтрации искусственно усиливает внутрирядную связан­ ность, делая ее значимой даже в рядах, при моделировании кото­ рых не учитывалась какая бы то ни была внутрирядпая зависи­ мость. Впервые на это обстоятельство обратил внимание Слуцкий.

Действительно, взаимная нормированная корреляционная функ­ ция годового стока и чисел Вольфа легко преобразуется к виду

П — 1

так как Л a,iWi+x=0. i= 1

Взаимная нормированная корреляционная функция между ди­

тические оценки корреляционных функций разработаны для нор­ мально распределенных рядов. Отклонение колебаний годового стока от нормальных распределений затрудняет применение теоре­ тических оценок.

В данном параграфе при иллюстрации примеров использования автокорреляционных функций и взаимных корреляционных функ­ ций особое внимание было уделено оценке устойчивости во вре­ мени и оценке надежности этих функций, так как эти этапы явля­ ются неотъемлемой частью статистического анализа и вместе с тем они часто упускаются в гидрологических исследованиях. Однако это не означает, что использование корреляционных функций в гидрологических исследованиях малоэффективно. Так, в настоя­ щее время можно считать, что в колебаниях годовых объемов стока имеет место автокорреляция между смежными членами, которая по совокупности многих наиболее продолжительных рядов оцени­ вается величиной Гг, *+!= /■(1) «0,3. Для зарегулированных озер­

ных рек этот коэффициент несколько выше, достигает величин 0,6—0,7 (реки Нева, Ангара).

400

Наличие корреляции между смежными членами годового стока широко используется в многолетнем регулировании речного стока, при оценке выборочных параметров распределения и при решении других вопросов, связанных с расчетами речного стока.

Эмпирические корреляционные функции успешно используются при исследовании ветрового волнения, при изучении турбулентных пульсаций речного потока и при решении многих других гидроло­ гических вопросов.

§ 4

анализ спектральных и взаимных спектральных функций (на примере многолетних колебаний речного стока)

Статистическое описание процесса в виде эмпирического спект­ рального анализа применяется в самых различных отраслях науки и техники, в частности для исследования многолетних колебаний

пытка моделирования рядов годового стока по их спектральным плотностям (функциям). В некоторых работах отмечается, что эмпирические спектральные функции при расчетах по рядам раз­ личной длительности изменяются в меньшей мере, чем эмпириче­ ские автокорреляционные функции. Однако непостоянство эмпи­ рических автокорреляционных функций, рассчитанных по выбор­ кам различной длительности, должно привести к аналогичному непостоянству и спектральных функций, так как последние явля­ ются преобразованными автокорреляционными функциями. Про­ верка степени постоянства спектральных функций, рассчитанных по выборкам различной длительности и с различным нулевым от­ счетом, осуществлена, как и для автокорреляционных функций, на примере годового стока р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки. Ре­ зультаты расчетов представлены на рис. 7.19.

Применительно к рассматриваемой задаче отметим, что спектр временного ряда показывает вклад колебаний разных частот в его общую дисперсию.

По оси абсцисс на рис. 7.19 отложены номера гармоник, кото­ рые выражают число полных циклов за интервал 7, по которому осуществлены расчеты (для многолетних колебаний — число лет наблюдений, принятых при расчете спектральной функции). При исследовании временных рядов обычно осуществляют переход от

Спектральные функции рассчитывались по отрезкам времен­ ного ряда различной длительности и с различным нулевым от­ счетом. При анализе рис. 7.19 не представляется возможным вы­ явить какую-либо закономерность в ходе колебаний циклов раз­ личной продолжительности, которую можно было бы отнести к процессу колебания годового стока в целом (т. е. для генераль-

S(m )-103

Рис. 7.19. Спектральные функции годового стока р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки, рассчитанные по выборкам различной длины.

ной совокупности). Действительно, с изменением как нуля от­ счета, так и продолжительности выборки спектральные функции при всех принятых частотах изменяются в довольно большом диа­ пазоне. Следовательно, спектральные функции, рассчитанные по выборкам ограниченной длительности, отражают лишь свойства этих выборок и не являются характеристиками генеральной сово­ купности. Аналогичный вывод ранее был сделан при анализе авто­ корреляционных функций годового стока р. Днепра у пгт Лоцман­ ской Каменки. Этот вывод согласуется с теорией выборочных коле­ баний спектральных оценок, которая показывает, что выборочные

40 2

флуктуации велики при расчете по рядам ограниченной длитель­

ности (50—150 лет).

В настоящее время имеется ряд методов по выборочным оцен­ кам спектральной функции. Приведем лишь один пример оценки спектральной плотности, произведенной в работе [91]. Допустим, что спектр генеральной совокупности известен. Спектральные функ­ ции, рассчитанные по выборочным данным, будут отклоняться от спектра генеральной совокупности. Распределение выборочных спектральных оценок подчиняется приблизительно распределению величины х2, деленной на число степеней свободы, равное

где т — число использованных запаздываний; N — число лет на­

блюдений, принятых в расчет спектра.

Подобная оценка спектральной плотности, строго говоря, спра­ ведлива для рядов наблюдений, подчиняющихся нормальному за­ кону распределения.

Рассмотрим численные примеры оценки спектральной плотно­ сти. Примем N = 60 лет наблюдений за годовым стоком и зада­ димся для простоты расчетов т = 10 и 20. В первом случае число

степеней свободы равно

во втором случае

Верхняя доверительная граница %2 при 5%-ном уровне значи­

мости примерно равна 20 и 12 соответственно [89]. При 5%-ном уровне величина %2, деленная на п, соответственно равна 1,7 и 2,2.

За нулевую гипотезу примем спектральную плотность, равную постоянному значению 170, что соответствует приблизительно сред­ нему значению спектральной интенсивности при всех т. В таком

случае верхние доверительные границы спектральной функции при т = 10 и т = 20 будут равны соответственно 1,7- 170— 290 и 2,2Х X 170—370. Так как мы приняли 5%-ный уровень значимости, то за пределы верхней доверительной границы не должно выходить более 5% всех случаев, что мы и имеем по данным расчета спек­ тральных функций при N = 60 (рис. 7.19).

Следовательно, нулевая гипотеза не может быть отвергнута. В таком случае отдельные пики эмпирических спектральных функ­ ций незначимо отличаются от предполагаемой спектральной функ­ ции, представленной белым шумом. Аналогичный вывод можно было бы сделать и ранее. При анализе эмпирических автокорре­ ляционных функций был сделан вывод об их незначимых отклоне­ ниях от нуля при т>1, и, следовательно, спектральная плотность

при отсутствии внутрирядных связей не может дать ничего дру­ гого, как постоянное значение спектральной функции (белый шум).

Не определяя больше оценок спектральных функций при раз­ личных N и т и других уровнях значимости, заметим лишь, что

теория этих оценок дает довольно большой диапазон выборочных флуктуаций, спектральных функций. Этот диапазон несколько уменьшается, если пики и ложбины эмпирических спектральных функций будут обоснованы несколькими точками, что соответст­ венно увеличивает число степеней свободы п и, следовательно,

уменьшает возможные колебания выборочных данных. Произведенные оценки выборочных колебаний спектральных

функций, как отмечалось выше, в полной мере применимы, когда исходные ряды нормально распределены. Отклонение колебаний годового стока от нормальных распределений, возможно, не­ сколько изменяет эти оценки. Поэтому целесообразно рассчитать спектральные функции по моделированным рядам, в которых все

параметры распределения {х, Cv, Cs) и связь между смежными

членами ряда использованы по наблюденным данным годового стока р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки. Результаты расчетов спектральных функций по моделированным рядам представлены на рис. 7.20.

Как видно на данных графиках, характер колебаний спектраль­ ных функций моделированных рядов при всех принятых в расчет продолжительностях выборок в общих чертах аналогичен харак­ теру колебаний спектральных функций, полученных расчетом по наблюденным данным (рис. 7.19). Следовательно, вывод о боль­ шом диапазоне выборочных флуктуаций спектральных функций, сделанный ранее теоретическим путем, не претерпевает скольконибудь существенных изменений после расчетов по моделирован­ ным рядам. В таком случае отклонение колебаний годового стока в рассматриваемом створе наблюдений от нормального распреде­ ления не вносит существенных поправок в оценку выборочных ко­ лебаний спектральных функций.

Таким образом, существующая наибольшая продолжительность наблюдений за годовым стоком рек не может дать надежных оце­ нок спектральных функций, так как даже наибольшие пики и лож­ бины этих функций незначимы. Следовательно, эмпирические спек­ тральные функции годового стока отражают лишь свойства на­ блюденного ряда и не являются характеристиками процесса в 'це­ лом (генеральной совокупности).

Этот вывод сделан по данным наблюдений за годовым стоком р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки и требует дальнейшей про­ верки на другом эмпирическом материале.

Рассмотрим спектральные функции годового стока рек бас­ сейна Днепра, имеющие наиболее продолжительные ряды на­ блюдений. Заранее заметим, что спектральные плотности будут рассматриваться в качестве характеристик наблюденных данных без экстраполяции их на весь процесс колебаний годового стока. Учитывая непостоянство спектральных функций, рассчитанных по

4 0 4