книги из ГПНТБ / Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии

Площадь отдельного элемента гистограммы равна произведе­ нию размера градации на относительную частоту, а общая площадь гистограммы — сумме этих произведений.

Кумулятивная кривая представляет собой график, показываю­ щий повторяемость расходов воды выше заданного значения.

Допустим, нас интересует, как часто наблюдается среднегодо­ вой расход воды выше 1900 м3/с? При этом расходе снимаем с куму­ лятивной кривой значение повторяемости, равное 44,5%. Это зна­ чит, что величина расхода воды 1900 м3/с и больше наблюдается в 44,5% всех случаев. Если же нас будет интересовать вопрос, ка­ кова повторяемость непревышения данного расхода воды, то ответ на него будет: 100% — 44,5% =56,5%.

В гидрологии кривая относительных накопленных частот назы­ вается эмпирической кривой обеспеченности. И поэтому говорят,

что величина расхода воды, равного или больше 1900 м3/с, обеспе­ чена на 44,5%, а величина расхода воды 1900 м3/с и меньше — на

56,5%.

Разделив относительную (или абсолютную) частоту расхода воды на длину интервала, получим соответственно относительную (или абсолютную) плотность распределения (строки 5 и 6 табл. 1.2). Плотность распределения особенно целесообразно использовать, когда необходимо по тем или иным причинам принимать неравно­ мерные градации. Площадь, оконтуренная осью абсцисс и линией, характеризующей относительную плотность распределения, равна единице, если относительные частости определены в долях от еди­

поверхности сфагново-кустарничково-соснового болотного микро­ ландшафта был назначен профиль, по которому через 10 см опре­ делялось превышение поверхности болота над условным уровнем.

Результаты этих наблюдений (по данным П. К. Воробьева) по­ мещены в табл. 1.3, в которой также приведены рассчитанные эмпи­ рические кривые распределения.•

Относительные частоты, или, как их иногда называют, относи­ тельные частости, на рис. 1.2 отнесены к середине интервала, и по­ лученные точки соединены прямыми линиями. Подобное представ­ ление статистических данных называется полигоном (многоуголь­ ником) распределения (частот). Наиболее часто повторяются

превышения поверхности болота над уровнем грунтовых вод,'-соста­ вляющие 15—20 см. Кривая обеспеченности построена так же, как и в предыдущем примере.

Из приведенного на рис. 1.2 полигона частот следует, что по обе стороны от этого значения относительные частоты убывают.

Приведенные построения показывают, что уже основные элемен­ тарные обобщения позволяют представить исходные статистиче­ ские данные в более наглядной и компактной форме. Одновременно можно отметить, что рассмотренные формы обобщения статистиче­ ского материала, относящегося к существенно различным гидроло­

30

гическим характеристикам, позволяют обнаружить некоторые об­ щие статистические закономерности. Вместе с тем распределение годовых расходов воды и высот поверхности болот имеют свои ин­ дивидуальные особенности, которые могут быть описаны с помо-

н см

Рис. 1.2. Полигон распределения и кривая накопленных частот высот микроландшафта (Н) болота Ламмин-Суо.

щью использования некоторых дополнительных понятий, к рассмот­ рению которых и перейдем.

§ 3

понятие вероятности

Наиболее абстрактное и вместе с тем наиболее полное понятие вероятности дано А. Н. Колмогоровым; оно основано на пяти аксио­ мах, базирующихся на теории множеств. Не останавливаясь на ак­ сиоматике Колмогорова, так как при этом потребовалось бы допол­ нительно изложить некоторые понятия теории множеств, перейдем

краскрытию смысла понятия вероятности по схеме Колмогорова.

1.Предположим, что имеется совокупность условий S, которая

может повторяться бесконечное число раз. Под условием S будем, например, понимать факторы, формирующие наибольший в году расход воды, которые с течением времени протекают однородно, т. е. не обнаруживают направленных изменений во времени.

2.Под воздействием условий S формируется в нашем случае совокупность максимальных расходов воды (<3Ма к с ) за достаточно

длительный период времени.

31

Т а б л и ц а 1.3

Сгруппированные данные высот поверхности болотного микроландшафта

3. При соблюдении некоторых условий каждому расходу воды, который мог наблюдаться или не наблюдаться за время п лет, мо­ жно ассоциировать определенное вещественное число P(QMакс), на­ зываемое вероятностью появления рассматриваемой величины.

Число P(Qмакс) имеет следующие свойства:

1) при повторении условий S достаточно большое число раз от-

ГП ~

носительная частота — расхода Умакс в заданных интервалах бу­

дет незначительно отличаться от вероятности P(QMакс) - Здесь пг обозначает число случаев появления расхода QManc в п повторениях условий S;

2) если значение вероятности P(QMaKC) очень мало, то с очень небольшим риском можно утверждать, что при однократном осу­ ществлении условий S данное значение QMaKc не должно появиться.

Классическое определение вероятности о.сновано на принципе равных возможностей. При этом обычно приводятся ставшие уже тоже классическими примеры с подбрасыванием монеты (выпаде­ ние «орла» или «решки») и игральной кости (выпадение какой-либо стороны из шести возможных). В первом случае вероятность выпа­ дения «орла» или «решки» равна 1/г, а во втором случае вероят­

32

ность выпадения какой-либо стороны игральной кости равна 7вБезусловно, здесь подразумеваются геометрически правильные и однородные монеты и игральные кости.

ч,., Принцип равных возможностей в гидрологических наблюдениях

если и выполняется, то очень редко. В таких случаях априорное, дропытное, определение вероятности появления какого-либо собы­ тия становится невозможным. Оно может быть оценено на основе эмпирического, или частотного, определения вероятности, которое является более общим и включает в себя как частный случай клас­ сическое определение вероятности.

Эмпирической вероятностью некоторого события А называется

дробь, числителем которой является число случаев появления собы­ тия А, а знаменателем — общее число случаев, принадлежащих

к некоторому определенному классу стохастических испытаний. При увеличении числа испытаний до бесконечности эмпириче­

ская вероятность стремится как к своему пределу к теоретической вероятности. Действительно, если мы будем подбрасывать монету, допустим, 10 раз, то совершенно не обязательно 5 раз выпадет «орел» и 5 раз — «решка». В таком случае эмпирическая вероят­ ность не будет равна 72. Если же число подбрасываний монеты по­ следовательно увеличивать, то очевидно, что эмпирическая вероят­ ность все ближе и ближе будет стремиться к 7г, т. е. к своему тео­ ретическому пределу.

При изучении статистических совокупностей гидрологических величин заранее не известна теоретическая вероятность. Поэтому в качестве оценки теоретической вероятности обычно используется эмпирическая вероятность, которая тем ближе к теоретической, чем больше объем наблюдений (совокупности).

Эмпирическая вероятность события А, обозначаемая через Р(А), равна т/п, т. е.

где т — число случаев, благоприятствующих событию А, п — общее

число рассматриваемых случаев (объем совокупности). Эмпириче­ ская вероятность события, противоположного А, обозначаемая че­

рез Р(А), равна

Р (А ) = - ^ - = 1 -Р (А ) .

Очевидно, что Р(А)+ Р(А ) = 1. Вероятность появления события изменяется от 0 до 1, т. е. О ^ Р (Л) ^ 1. Иногда вероятность появле­

ниярассматриваемого события выражают в процентах. В этом слу­ чае пределами ее колебаний будут соответственно 0 и 100%. Веро­ ятность достоверного события равна единице, а вероятность невоз­ можного события равна нулю.

Представленная на рис. 1.1 гистограмма распределения средне­ годовых расходов воды р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки мо­ жет рассматриваться как распределение эмпирической вероятности,

так как понятие относительной частоты расхода воды в пределах градации является в данном случае синонимом понятия эмпириче­ ской вероятности.

С возрастанием объема совокупности, т. е. в данном случае с увеличением числа лет наблюдений за годовым стоком р. Днепра, можно уменьшить размер градации. Если число членов ряда стре­ мится к бесконечности, а размеры градации — к нулю, получим пре­ дельное очертание гистограммы распределения, соответствующее

теоретической кривой распределения вероятностей. При переходе

-х

Рис. 1.3. Различные типы кривых распределения.

к пределу площадь, ограниченная кривой распределения вероятно­ стей и осью абсцисс, стремится к единице, ибо эта площадь равна вероятности того, что данная случайная величина примет какое бы то ни было из своих значений, т. е. вероятности достоверного со­

бытия.

В зависимости от особенностей формирования статистических совокупностей формы графиков гистограмм и соответственно кри­ вых распределения вероятностей могут быть разнообразными. Среди так называемых одновершинных графиков распределений можно

выделить следующие главные типы: 1) симметричные, 2) умеренно асимметричные, 3) крайне асимметричные и 4) U-образные

(рис. 1.3).

Симметричными распределениями называют такие, в которых

частоты (вероятности) любых двух значений аргумента, находя^ щиеся на равных расстояниях в обе стороны от некоторого среднего значения, равны между собой.

34

Несимметричными, или асимметричными, распределениями на­

зывают такие, в которых частоты аргументов, удаленных от некото­ рого среднего значения с одной стороны систематически больше или меньше частот аргументов, равноудаленных с другой стороны от среднего значения.

Ккатегории распределений с крайней асимметрией относятся те,

укоторых наибольшую частоту имеет наибольшее или наименьшее значение аргумента, так что все частоты распределения располо­ жены по какую-либо одну сторону от наибольшей частоты.

U-образное распределение характеризуется наличием в нем не­

которой средней зоны, в пределах которой частоты меньше осталь­ ных, возрастающих в обе стороны от этой зоны к концам распре­ деления.

В гидрологии наибольшее применение имеют умеренно асиммет­ ричные, симметричные и реже крайне асимметричные распреде­ ления.

При гидрологических расчетах часто возникает необходимость аналитически описать эмпирическую кривую распределения вероят­ ностей, для чего используются различные законы распределения случайных величин, рассмотренные в главе II. В качестве парамет­ ров, описывающих статистические закономерности рядов гидроло­ гических характеристик и соответственно аналитические кривые распределения, используются средние значения (среднее арифмети­ ческое, медиана и мода), меры рассеивания (средние квадратиче­ ские отклонения или средние абсолютные отклонения), различные показатели асимметрии, эксцесса и др. Эти параметры статистиче­ ских совокупностей рассмотрены в следующих параграфах.

§ 4

средняя арифметическая и ее свойства, математическое ожидание

Одним из основных параметров статистического ряда является среднее значение величины признака, или центр, относительно ко­ торого распределяются члены совокупности. Этот параметр или са­ мостоятельно, или в комбинации с другими рассматриваемыми да­ лее характеристиками статистического ряда наиболее часто исполь­ зуется для описания статистических закономерностей отдельных совокупностей.

Помимо средней арифметической, в качестве характеристик цен­ тра распределения используется медиана, мода, средняя гармониче­ ская и средняя геометрическая, рассматриваемые в следующих па­ раграфах.

Среднее арифметическое ряда величин х определяется по фор­

муле

Вычисление средних при сгруппированных данных измерений обычно осуществляется по выражению

Расчет средней арифметической по формуле (1.2) значительно упрощает и сокращает объем вычислений, особенно при больших п.

При этом подразумевается равномерное распределение варьирую­ щего признака внутри градации, что тем более верно, чем меньше величина градации. При малых объемах выборки, какими обычно являются гидрологические ряды наблюдений, предпочтительней пользоваться исходной формулой (1.1), и лишь при очень большом объеме наблюдений вычисление средней целесообразно осущест­ влять по сгруппированным данным (1.2).

где Pi — относительная частота, или эмпирическая вероятность.

Средняя арифметическая всегда имеет ту же размерность, что и измеряемая величина, по которой она рассчитана.

Рассмотрим основные свойства средней арифметической.

1. Сумма отклонений всех наблюденных данных от средней арифметической равна нулю

П

Это свойство средней арифметической обычно используется при проверке правильности расчета отклонений наблюденных данных от средней арифметической.

2. Сумма квадратов отклонений членов ряда от центра, выра­ женного в форме средней арифметической, достигает минимума по сравнению с аналогичной суммой, вычисленной относительно лю­

бого числа аФх,

П

/= 1

3.Средняя арифметическая ряда, полученного путем объедине­ ния нескольких однородных статистических групп, образуется как

36

среднее взвешенное значение частных средних, включенных в рас­ чет с весами, равными объемам соединяемых совокупностей

т

2 nb*k

21 пь

*=1

Это свойство среднего арифметического можно использовать при вычислении среднегодовых величин гидрологических характеристик по среднемесячным их величинам. Учитывая неодинаковое число дней в каждом месяце, среднегодовое значение необходимо опреде­ лять как среднее взвешенное по числу дней в каждом месяце. Од­ нако, принимая во внимание небольшое изменение числа дней по месяцам (от 28 до 31), получаем, что в данном случае простая сред­ няя арифметическая, вычисленная из средних месячных значений, незначительно будет отличаться от средней взвешенной по числу дней в месяце. В случае же большого различия объемов объединяе­ мых совокупностей определение общей средней необходимо произ­ водить с учетом веса (объема) каждой частной совокупности.

Средняя арифметическая применительно к любому ряду варьи­ рующей величины сохраняет смысл статистического параметра. Од­ нако, если по отношению к совокупности переменной величины, по самой ее сущности не имеющей одного постоянного значения, роль средней арифметической этим и ограничивается, то применительно к такому случаю, когда статистический ряд образуется за счет из­ менения некоторой величины, имеющей, в принципе, постоянное значение, среднее арифметическое может рассматриваться и как приближенное значение этой величины. Например, в отношении со­ вокупности средних годовых, максимальных, минимальных и других характерных расходов воды величина среднего арифметического может рассматриваться лишь в качестве статистического параметра, поскольку в данном случае рассматриваются величины, принци­ пиально не имеющие какого-либо постоянного значения.

Аналогичным образом среднее значение расходов воды, изме­ ренных в период неустановившегося режима, например в пределах ветви подъема весеннего половодья, нельзя рассматривать как не­ которое приближение к истинному значению.

В качестве другого примера можно рассмотреть случай измере­ ния расхода воды в реке в период устойчивой межени, когда вели­ чина расхода не изменяется в течение этого периода.

Часто повторяя измерения, получаем совокупности величин, средняя арифметическая которых будет выступать и в качестве ста­ тистического параметра этого ряда и в форме наилучшего прибли­ жения к истинному значению расхода воды за рассматриваемый отрезок времени,-

Отмеченное свойство средней арифметической используется, на­ пример, при оценке боковой приточности на участке реки по разно­ сти расходов воды, измеренных в двух гидрометрических створах.

37

При небольшом расстоянии между створами измерений эта раз­ ность оказывается соизмеримой с величиной погрешности измере­ ния расхода воды, и поэтому ненадежной. Для увеличения надеж­ ности подобных оценок расход воды в каждом створе обычно изме­ ряется несколько раз в течение сравнительно короткого отрезка времени, в пределах которого истинное изменение расхода можно считать несущественным. В этом случае среднее арифметическое в каждом створе выступит в форме наиболее вероятного значения истинной величины расхода воды, а разность между ними — как достаточно надежная величина боковой приточности.

Очевидно, что в той мере, в какой условия формирования рас­ хода воды уклоняются от стационарности, указанные выводы те­ ряют свое значение. При оценке возможностей указанного приема следует, конечно, иметь в виду, что точность полученного среднего не может быть выше точности применяемых приемов измерения и точности используемой аппаратуры.

Вычисление средней арифметической по формулам (1.1) или (1.2) обычно не вызывает никаких затруднений, и поэтому приве­ дем лишь результаты окончательных расчетов. Так, средняя ариф­ метическая из ряда среднегодовых расходов воды р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки, вычисленная по формуле (1.1), равна 1642 м3/с, а вычисленная по формуле (1.2) — 1651 м3/с. Как видно, расчеты средней арифметической по этим формулам практически

длительность гидрологических рядов наблюдений, которые не мо­ гут быть увеличены по желанию гидролога путем проведения, до­ пустим, дополнительного эксперимента, в гидрологических расчетах обычно осуществляется приведение средней арифметической,

в главе VI.

Приведенное к длительному периоду значение средней арифме­ тической по ряду многолетних наблюдений той или иной гидрологи­ ческой характеристики в гидрологии называется нормой.

Если в процессе формирования речного стока начинает действо­ вать какой-то неучтенный фактор, например хозяйственная дея­ тельность на водосборе реки, то его следует учесть и соответственно уточнить среднюю арифметическую предстоящего периода — пе­ риода эксплуатации сооружения.

Дополнительные свойства среднего арифметического значения выборки, полученной из некоторой генеральной совокупности, бу­ дут рассмотрены в главе V. Здесь же лишь отметим, что выбороч­ ная средняя статистического ряда наблюдений при неизменности

38

условий его формирования и при увеличении числа членов выборки стремится к средней генеральной совокупности, или к математиче­ скому ожиданию.

Таким образом, среднее арифметическое значение статистиче­ ского ряда наблюдений представляет собой параметр, около кото­ рого осуществляются колебания данного статистического ряда, или, как часто говорят, параметр центра группирования статистических данных.

Вообще говоря, понятие математического ожидания при­ менительно к гидрологическим приложениям является математиче­ ской абстракцией, так как гидрологических рядов наблюдений бес­ конечной длины не существует. Кроме того, исходя из физических или генетических соображений формирования речного стока, также нельзя установить математическое ожидание. Условность термина математического ожидания усугубляется еще и тем, что в природе, вообще, и в колебаниях речного стока, в частности, известны на­ правленные изменения. Поэтому, говоря о математическом ожида­ нии, например годового стока, в инженерных расчетах обычно под­ разумевается средняя арифметическая не на бесконечном отрезке времени, а на несколько десятков или сотен лет. В таком случае, строго говоря, вообще нельзя употреблять термин «математиче­ ское ожидание».

§ 5

медиана

Следующей по важности характеристикой центра группирова­ ния после средней арифметической является медиана, которая

равна значению члена варьирующего ряда, занимающего среднее положение в том случае, когда величины, образующие ряд, распо­ ложены в убывающем или возрастающем порядке.

Если число членов ряда Xi нечетное и равно 2 т + 1 , то медианой этого ряда будет xm+i член ранжированных (расположенных в убы­

вающем или возрастающем порядке) данных наблюдений, т. е.

диану условно принимается среднее значение между центральными значениями величин ранжированного ряда

Определение медианы по эмпирическим данным обычно не вы­ зывает затруднений, особенно при небольшой длине ряда наблюде­ ний. Действительно, для этой цели необходимо лишь расположить ряд в убывающем (или возрастающем) порядке и выбрать средин­ ный член, в случае нечетного числа членов ряда, или два срединных члена (вычислив из них среднее значение) в случае четного числа

39