книги из ГПНТБ / Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии

полагать, что при дальнейшем увеличении длительности наблюде­ ний за речным стоком дисперсия колебаний г(т) будет уменьшаться.

Однако, не располагая очень длинными рядами наблюдений, не­ возможно сказать, будет ли это уменьшение дисперсии стремиться

Rlx)

п=М

0.1 -

Рис. 7.10. Автокорреляционные функции наблюденного годового стока р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки.

к нулю или какому-либо пределу при увеличении длительности ряда до бесконечности.

Для выяснения причины уменьшения размаха колебаний г(т) е увеличением п проведено статистическое моделирование рядов

годового стока р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки. Это модели­ рование выполнено в соответствии с методикой, изложенной в главе V. При моделировании учитывался лишь коэффициент кор­

384

реляции между смежными членами ряда, равный 0,19. Далее, по полученному моделированному ряду объемом А=1000 были рас­ считаны автокорреляционные функции по выборкам точно такого же объема п, как это было принято в расчетах по наблюденному

ряду.

ЯСС)

0,8 •о

_

п=96

ряда годового стока р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки при гi, t+i= 0,19.

Результаты расчетов изображены на рис. 7.11. Амплитуда коле­ баний г(т) в моделированных рядах последовательно уменьша­ ется с увеличением п. Сопоставляя рассеивание выборочных авто­

корреляционных функций, полученных по наблюденным данным (рис. 7.10), с автокорреляционной функцией моделированных ря­ дов (рис. 7.11), видим их полное соответствие. Это дает основание

считать, что в рассматриваемом ряду годового стока имеется связь лишь между смежными членами ряда.

Аналогичные расчеты были осуществлены по годовому стоку р. Белой у г. Уфы, которые подтвердили сделанный вывод о ста­ тистической незначимости рассеиваний г(т) при т>1.

Целесообразность рассматриваемого пути оценки эмпирических автокорреляционных функций годового стока вытекает, в частно­ сти, из того, что формула (7.32), строго говоря, применена для выборок, распределенных по нормальному закону, а теоретическое решение задачи оценки выборочного коэффициента корреляции для выборки из произвольного закона отсутствует. Единственная попытка решения этой задачи была предпринята А. А. Чупровым. По этому поводу В. И. Романовский [111] пишет: «Сложность формул Чупрова показывает, что почти безнадежно, во всяком случае очень трудно, теоретическим путем решить в полном объ­ еме вопрос об оценке эмпирического коэффициента г, полученного

для выборки из произвольной совокупности». И далее: «Естест­ венно возникает поэтому мысль искать экспериментальным путем разрешения тех вопросов подобного рода, которые при теорети­

Таким образом, приведенные выше расчеты эмпирических ав­ токорреляционных функций годового стока рек по выборкам в не­ сколько десятков лет показали, что погрешности этих функций соразмеримы с величиной г(т). Выводы о достоверности функции г (г), полученные по отдельным рядам годового стока, целесооб­ разно сопоставить с расчетами г(х) по совокупности большого

числа рек с наиболее продолжительными (50 лет и более) рядами наблюдений.

Эти расчеты были выполнены по 72 рядам годового стока. В исследование не включались реки с сильным озерным регулиро­ ванием, для которых эмпирические г(т) заведомо выше. Резуль­ таты расчетов, представленные в табл. 7.3, показывают резкое убы­ вание эмпирической автокорреляционной функции с увеличением т. Эта закономерность хорошо описывается формулой

которая соответствует простой цепи Маркова.

Проведенный анализ достаточно убедительно показывает нали­ чие достоверной корреляции между смежными членами ряда годо­ вого стока (г(1)я;0,3); более дальние связи в значительной мере отражают случайные флуктуации выборочных данных, связанные с ограниченной длительностью имеющихся рядов. Это исключает возможность использования их в целях экстраполяции (прогноза на будущее). Вместе с тем эмпирические автокорреляционные функции при т > 1 могут рассматриваться как характеристики цик-

386

Т а б л и ц а 7.3

Осредненная автокорреляционная функция годового стока г (т)

лических многолетних колебаний гидрометеорологических элементон.

Как указано выше, эмпирические автокорреляционные функции при т > 1 часто привлекаются в качестве аппарата для выявления циклических многолетних колебаний гидрометеорологических эле­ ментов. При этом следует, однако, иметь в виду, что выводы та­ кого анализа правомерны лишь для тех периодов времени, кото­ рые освещены материалами наблюдений в силу отмеченной неус­ тойчивости во времени автокорреляционных функций. Возможность такого использования автокорреляционных функций рассмотрим на примере годового стока рек бассейна Днепра.

Учитывая то обстоятельство, что эмпирические автокорреляци­ онные функции изменяются в зависимости от длины исходных ря­ дов и начала отсчета, был выбран единый период времени (1900— 1954 гг.), для которого производились все расчеты. Это сделано в целях лучшего сопоставления автокорреляционных функций по различным створам наблюдений.

Расчеты г(т) осуществлялись на ЭВМ для рядов годового

стока и динамических средних, полученных с использованием бино­ миального фильтра при 11-летнем скользящем осреднении.

Рассматривая автокорреляционные функции рядов годового стока и динамических средних, представленные на рис. 7.12, можно сделать вывод, что в колебаниях годового стока рек бассейна Днепра имеют место циклы со средним периодом 6—8 и 25 лет. Цикл 6-—8 лет выражен не очень четко, а 25-летний цикл пред­ ставлен достаточно ясно. Для выяснения достоверности этих цик­ лов полезно провести совместный анализ указанных автокорреля­ ционных функций (рис. 7.12) и динамических средних, представ­ ленных на рис. 7.9.

Очевидно, что при этом колебания динамических средних сле­ дует рассматривать за принятый период расчета г(т), т. е. за 1900—1954 гг. Этот анализ показывает, что выявляющийся по ав­

В изменениях этих величин цикл наибольшей продолжительности

равен 17 годам.

Это различие в циклах наибольшей продолжительности объяс­ няется тем, что при т = 25 лет совмещаются пики, наблюдавшиеся в 1932— 1933 и 1907—1908 гг., и пики в 1916—1917 и 1941—1942 гг.

од

Рис. 7.13. Автокорреляционные функции динамических средних годового стока р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки, рассчитанные по различным отрезкам временного ряда.

Следовательно, увеличение в данном случае ординат автокорреля­ ционной функции при т = 25 отражает не наличие цикла такой продолжительности, а совпадение по фазе двух циклов меньшей продолжительности (8 и 17 лет.).

Приведенный анализ показывает, что в некоторых случаях ав­ токорреляционные функции могут показать наличие таких циклов, которых нет в наблюденном ряду.

389

Вероятность этого увеличивается при расчете г(т) по непро­ должительным рядам наблюдений и особенно при больших г,

когда и без того ограниченная исходная информация еще умень­

шается.

От указанных недостатков свободны ряды динамических сред­ них, более наглядно вскрывающие циклические колебания, к тому же привязанные к шкале времени.

К{1)

Рис. 7.14. Автокорреляционные функции динамических средних моделированных рядов с параметрами годового

стока р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки (Q = 3,5 л/с-км2,

С» = 0,25, С„ = 0,25, t f i, i+i=0,22).

а — /1=36, б — /1=60, в — л=131, г — /1=1000.

Автокорреляционные функции динамических средних годового стока р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки, рассчитанные по различным выборкам объема п и с различным нулевым отсчетом

(рис. 7.13), имеют значительно большую амплитуду колебаний по сравнению с подобными расчетами годового стока. Аналогичный характер имеют автокорреляционные функции, рассчитанные по динамическим средним моделированных рядов (рис. 7.14).

Для анализа годового цикла иногда используются автокорреля­ ционные функции речного стока, подсчитанные по месячным, де­ кадным и даже суточным данным. Заранее заметим, что речной сток, представленный такими отрезками времени, является, безус­ ловно, нестационарным процессом с переменным математическим ожиданием, обусловленным годовым циклом стока. В этом случае при корректной постановке задачи корреляционный анализ сле­ дует выполнять с помощью переменного математического ожида­ ния. Неучет этого обстоятельства может приводить к выводам, достоверность которых требует специального анализа.

Результаты расчета автокорреляционных функций, выполнен­ ного по месячным, декадным и ежедневным данным, представлен­

3 9 0

ные на рис. 7.15, показывают, что для месячного стока период функции г (г) равен 12, для декадного — 36 и для суточного — 365.

Для расчета указанных функций использовались данные по ме­ сячному стоку за 1881—1962 гг., по декадному — за 1953—1962 гг., по суточному — за 1960—1962 гг.

Таким образом, применение корреляционного анализа к заве­ домо нестационарному процессу в данном случае подтвердило три­ виальный факт наличия годового цикла.

На приведенных автокорреляционных функциях прослежива­ ется влияние степени зарегулированности речного стока. Так, авто­ корреляционная функция стока р. Невы является более плавной,

R ( v )

Рис. 7.15. Автокорреляционные функции месячного (а),

стока р. Днепра имеет более островершинное очертание и более растянутую отрицательную область.

Всплески автокорреляционных функций декадного стока при т=18 и 57 для р. Днепра и при т = 23 и 39 для р. Невы, видимо, связаны со второй волной весеннего половодья, которая продол­ жается не более одной декады. Автокорреляционные функции еже­ дневного стока отчетливо показывают повышенную внутрирядную связанность стока р. Невы.

Таким образом, автокорреляционные функции речного стока, рассчитанные по интервалам времени, меньшим чем год, не допол­ няют известную информацию о наличии внутригодовых циклов и большей естественной зарегулированности стока р. Невы по срав­ нению с р. Днепром, которые могут быть получены с использова­ нием обычных, к тому же менее трудоемких методов.

Более правильным в этом случае было бы применять корре­ ляционный анализ не к самим рядам речного стока, а к их от­ клонениям от переменного математического ожидания. Тем самым

391

нестационарный процесс речного стока с дискретностью меньше 1 года представляется в виде суммы двух составляющих: перемен­ ного во времени математического ожидания и условно стационар­ ного от него отклонения.

В заключение данного раздела рассмотрим взаимные корре­ ляционные функции рек бассейна Днепра, которые рассчитывались за период совместных наблюдений с 1900 по 1954 г. между сто­ ком р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки и всеми остальными рядами годового стока. Взаимные корреляционные функции опре­ делялись между рядами годового стока и между рядами динами­ ческих средних (табл. 7.4).

При т = 0 взаимная корреляционная функция равна коэффи­ циенту корреляции между рассматриваемыми рядами наблюде­ ний. При т>1 г(т) обычно меньше, чем г(0). Вследствие значи­ тельной связи между рассматриваемыми рядами годового стока и тем более между рядами динамических средних взаимные кор­ реляционные функции в общих чертах повторяют соответствующие автокорреляционные функции при т > 1.

По взаимным корреляционным функциям также выделяются пе­ риоды 6—8 и 25 лет, прослеживающиеся в автокорреляционных функциях. Цикл со средней продолжительностью 25 лет является искусственным, на что указывалось при описании автокорреляци­ онных функций.

Взаимные корреляционные функции так же, как и автокорреля­ ционные, изменяются в зависимости от начала отсчета и продол­ жительности выборок наблюдений. Аналогичный характер измене­ ний носят и взаимные корреляционные функции, рассчитанные по моделированным рядам, в которых учтена связь лишь между смеж­ ными членами ряда.

Особый интерес представляет анализ статистической достовер­ ности связей солнечной активности с гидрологическими процессами, поскольку механизм передачи изменений солнечной активности на гидрологические процессы в настоящее время не установлен. В этих условиях оценка надежности статистических расчетов при обнаружении этих связей имеет важное значение при учете, в част­ ности, ограниченности продолжительности наблюдений за гид­ рологическими явлениями. Исследование этого вопроса было осу­ ществлено с использованием взаимных корреляционных функций между солнечной активностью, представленной числами Вольфа, и динамическими средними годового стока р. Днепра у пгт Лоц­ манской Каменки. Динамические средние годового стока исполь­ зованы по той причине, что они по своей структуре лучше соот­ ветствуют колебаниям чисел Вольфа, поскольку в них отфильтро­ ваны высокочастотные колебания годового стока, которые могут затушевывать исследуемые связи.

Сопоставление автокорреляционных функций динамических средних годового стока р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки (рис. 7.13) с автокорреляционными функциями чисел Вольфа; представленными на рис. 7.16, позволяет сделать следующие

39 2

Т а б л и ц а 7.4

Взаимные корреляционные функции годового стока и динамических средних р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки с другими рядами наблюдении

393