книги из ГПНТБ / Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии

Отдельное изучение каждой из составляющих годового стока

(Qi и а,) может оказаться полезным при исследовании закономер­

ностей многолетних колебаний речного стока во времени и прост­ ранстве [100—105] и при приведении речного стока к длительному периоду [106, 107]. При исследовании колебаний а, открываются некоторые дополнительные возможности их статистического опи­ сания, так как в настоящее время наиболее разработан математи­ ческий аппарат для выборок, произведенных из нормально рас­ пределенных и статистически независимых совокупностей, какими и являются отклонения годового стока от динамической средней.

Методы сглаживания колебаний годового стока проиллюстцируем на примере рек бассейна Днепра. На рис. 7.7 изображены сглаженные скользящие средние 11-, 21-, 31-, 41-летние колебания годового стока с постоянными (рис. 7.7 а) и биномиальными ве­

совыми коэффициентами, симметрично убывающими от централь­

ния, осуществленного с одинаковыми весовыми коэффициентами,

373

Рис. 7.7. Многолетние колебания речного стока р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки и солнечной актив­ ности (числа Вольфа).

наблюдается фазовое смещение циклов при сопоставлении с наблю­ денными данными, причем это смещение зависит как от периода осреднения, так и от продолжительности циклов. При сглаживании же по способу последовательного парного осреднения (биномиаль­ ный фильтр) фазы колебаний практически не изменяются для разных периодов осреднения.

Интенсивность сглаживания различных частот и фазовое сме­ щение сглаженных колебаний по сравнению с наблюденными дан­ ными могут быть заранее оценены частотной характеристикой сгла­ живающей или фильтрующей функции, которая в соответствии с работой [91] имеет вид

Частотная характеристика фильтра представляет собой отно­ шение амплитуды колебания данной частоты после сглаживания к амплитуде колебания этой же частоты исходного ряда наблюде­ ний. Частотная характеристика симметричного фильтра обычно изменяется от единицы для низких частот до нуля для высоких частот. Отрицательные значения частотной характеристики сгла­ живающей функции указывают на изменение фазы колебания дан­ ной частоты отфильтрованного ряда на противоположную по срав­ нению с наблюденными данными.

На рис. 7.8 представлены графики частотных характеристик фильтров скользящей средней арифметической и биномиального фильтра для различных периодов сглаживания (Т = 3, 5, 7, ..., 21).

При сопоставлении частотных характеристик скользящей сред­ ней арифметической и биномиального фильтра обращает на себя внимание более интенсивное сглаживание исходного ряда с ис­ пользованием фильтра скользящей средней арифметической. Ча­ стотные характеристики скользящей средней арифметической имеют отрицательные значения при некоторых частотах, что говорит об изменении фаз колебаний этих частот на прямо противоположные, причем с увеличением периода осреднения отрицательные значе­ ния частотной характеристики по абсолютному значению увеличи­ ваются и смещаются в сторону высоких частот.

Частотная характеристика биномиального фильтра практически во всем диапазоне рассматриваемых частот положительна, и по­ этому изменение фаз колебаний на противоположные при исполь­ зовании этого фильтра не должно наблюдаться.

Таким образом, отмеченные ранее закономерности смещения фазы и интенсивности сглаживания в зависимости от используе­ мого фильтра, иллюстрированные на примере сглаживания годо­ вого стока р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки, теоретически обосновываются с помощью частотных характеристик фильтров. Частотные характеристики сглаживающих функций создают

376

возможность подбирать заранее тот или иной фильтр, отвечающий требованиям поставленной задачи.

Кроме рассмотренных симметричных фильтров, существуют фильтры несимметричные, основанные, например, на принципе экс­ поненциального сглаживания. Фильтры этого типа изменяют по определенному закону фазу исходных колебаний. Частотные ха­ рактеристики подобных фильтров могут не только установить ха­ рактер изменения амплитуд различных частот, но и определить закон изменения фазовых колебаний. Широкое использование не­ симметричных фильтров с определением их частотных характе­ ристик может оказаться полезным при исследовании тех или иных гидрологических наблюдений, полученных по инерционным прибо­ рам, которые, по существу, не только сглаживают наблюдаемый элемент, но и изменяют фазу их колебаний. Частотные характери­ стики фильтров позволяют осуществить пересчет от спектральной функции наблюденного процесса к спектральной функции сглажен­ ных колебаний. Более подробно об этом будет сказано при анализе спектральных функций.

При сглаживании годового стока способом последовательного парного осреднения колебания динамических средних (рис. 7.7 б)

имеют более правильный вид и в диапазоне средних частот лучше отражают исходные колебания по сравнению с обычно применяе­ мым способом скользящих гс-летий. Последний способ целесооб­ разно применять для определения направленных в одну сторону колебаний стока или выделения циклов очень большой продолжи­ тельности. В рассматриваемом выше примере направленного уве­ личения или уменьшения водности не обнаружено.

При использовании биномиального фильтра амплитуда коле­ баний сглаженных величин стока затухает значительно медлен­ нее при увеличении периода осреднения, чем при использовании способа скользящей средней арифметической, что хорошо согла­ суется с частотными характеристиками рассматриваемых фильтров. Кроме того, это можно объяснить тем, что весовые коэффициенты в способе парного последовательного осреднения перераспределя­ ются при увеличении периода осреднения таким образом, что влия­ ние крайних членов при увеличении периода осреднения стано­ вится все меньше за счет увеличения веса центральных членов. По этой причине при использовании биномиального фильтра на­ блюдается меньшее расхождение в сглаженных колебаниях годо­ вого стока, полученных при различных периодах осреднения по сравнению со скользящими средними арифметическими.

лебаний, чего нельзя сказать о скользящих средних арифметиче­ ских (рис. 7.7 а ).

Таким образом, преимущества способа последовательного пар­ ного осреднения, при котором весовые коэффициенты симметрично убывают от центрального члена осреднения, неоспоримы по срав­

378

нению со способом скользящих n-летий. Поэтому в дальнейшем сглаживание годового стока осуществлялось только с использова­ нием биномиального фильтра. Заметим, что в принципе может быть предложено бесчисленное множество способов сглаживания, при которых весовые коэффициенты симметрично убывают от цент­ рального члена по какому-либо закону, например, по закону нор­ мальной кривой распределения.

Модульные коэффициенты годового стока, вычисленные по от­ ношению к динамической средней, определенной с использованием биномиального фильтра со скользящим 11-летним осреднением, представляют собой некоррелированные во времени колебания, подчиняющиеся нормальному закону распределения (рис. 7.7 в).

Изложенный путь выявления основных колебаний рядов гидро­ метеорологических характеристик может быть применен, в част­ ности, для оценки влияния солнечной активности на различные геофизические процессы. Наличие подобных связей обычно уста­ навливается статистическими методами, так как физические зако­ номерности этих связей не установлены. Указанное проиллюстри­ руем сопоставлением колебаний солнечной активности (рис. 7.7 г)

с колебаниями стока в рассматриваемом створе наблюдений.

На всех графиках, изображенных на рис. 7.7, наибольшая со­ гласованность с числами Вольфа отмечается в ходе колебаний годового стока, сглаженных с помощью биномиального фильтра. Однако эта согласованность наблюдается лишь за отдельные пе­ риоды времени (1825—1840, 1890—1920 гг.), в то время как в дру­ гие периоды (1865— 1895, 1830—1950 гг.) фазы колебаний проти­ воположны.

Таким образом, если и можно говорить о некоторой согласо­ ванности хода этих элементов, то лишь в сравнительно непродол­ жительные периоды времени. Подметить какую-либо закономер­ ность в ходе изменений фаз колебаний чисел Вольфа и динамиче­ ских средних годового стока невозможно. Поэтому отмеченные периоды с совпадающими фазами и противоположными фазами в ходе колебаний этих элементов не могут считаться закономерно обусловленными. Скорее всего, это лишь случайные совпадения, относящиеся к сравнительно непродолжительным периодам вре­ мени. Это исключает возможность опираться на отмеченное слу­ чайное совпадение при построении прогностических схем.

Рассмотрим порядок применения парного последовательного осреднения членов исходного ряда до 10-й ступени на примере рек бассейна Днепра.

Для характеристики многолетних колебаний речного стока в бассейне Днепра использовано 10 наиболее продолжительных рядов наблюдений за годовым стоком (табл. 7.2).

Отфильтрованные колебания годового стока в бассейне р. Днеп­ ра позволяют обнаружить довольно четкую закономерность уве­ личения абсолютных величин модулей стока с юга на север (рис. 7.9 а), что объясняется его зональными изменениями. Вну-

тривековые же колебания водности в рассматриваемом бассейне

373

имеют общие закономерности. Экстремальные величины динами­ ческих средних наступают в преобладающем числе случаев по всем рекам в одни и те же годы. Лишь в единичных случаях на­ блюдаются некоторые различия в деталях.

Для получения обобщенной характеристики колебаний водно­ сти динамические средние целесообразно выражать в виде модуль­ ных коэффициентов по отношению к норме стока (рис. 7.9 б). Как и следовало ожидать, общая полоса рассеивания динамиче­ ских средних в данном случае значительно уменьшилась по срав­ нению с полосой рассеивания на рис. 7.9 а, что позволило рассчи­

тать осредненную по бассейну р. Днепра динамическую состав­ ляющую годового стока.

Рассеивание динамических средних годового стока относительно осредненной кривой, видимо, связано с некоторыми климатиче­ скими особенностями в различных частях бассейна р. Днепра, а также с погрешностями при определении нормы стока и исход­ ных данных годового стока.

Таким образом, осредненные по району или бассейну в целом колебания динамических средних модульных коэффициентов яв­ ляются климатически обусловленными характеристиками стока, которые свойственны всем рекам рассматриваемого водосбора.

Отмеченная закономерность позволяет предложить способ по­ лучения ряда динамических средних. Действительно, получив норму стока по тому или иному створу наблюдений известными в настоя­ щее время методами и умножив ее на осредненные порайонно зна­ чения модульных коэффициентов динамической средней, получим колебания динамической средней для интересующего створа на пе­ риод наиболее продолжительных наблюдений в рассматриваемом районе.

381

Надежность восстановления динамической средней зависит от точности расчета нормы стока по данному створу наблюдений и от надежности осредненной по площади и во времени характери­ стики многолетних колебаний годового стока, или, что то же са­ мое, осредненной (по площади) динамической средней (во вре­ мени) модульных коэффициентов годового стока.

Для завершения операции конструирования многолетнего ряда годового стока (в пределах продолжительности, охватываемой ко­ лебаниями динамической средней) необходимо, например, мето­ дом множественной линейной корреляции восстановить в интере­ сующем нас пункте отклонения годового стока от динамической средней (а,-). В силу того, что величины а» не коррелированы во времени и, как правило, нормально распределены, применение ме­ тода множественной линейной корреляции в этом случае явля­ ется более правомерным и, следовательно, более эффективным, чем при использовании его для непосредственного восстановления величин годового стока.

§ з

анализ автокорреляционных и взаимных корреляционных функций (на примере многолетних колебаний речного стока)

Наличие внутрирядной связи в рядах годового стока впервые было отмечено П. А. Ефимовичем [54], который рассчитал для ряда створов коэффициенты автокорреляции со сдвижкой т=1, 2, 3 годам. В последующем внутрирядные связи в более полной форме (например, со сдвижкой до т = 30 лет) представлялись в виде эмпирических автокорреляционных функций. Эти функции использовались Ю. М. Алехиным [12— 14] для сверхдолгосрочного прогнозирования годового стока и других геофизических явлений и И. П. Дружининым и др. [51] для выявления циклических коле­ баний речного стока. Попытки применения эмпирических автокор­ реляционных функций для решения иных гидрологических задач встречаются в работах и других исследователей.

При этом основные выводы работ этого цикла в значительной мере определяются тем, в какой мере достоверными являются за­ кономерности поведения эмпирических автокорреляционных функ­ ций. Так, например, некоторые авторы [51] приходят к выводу о нестационарное™ процесса годового стока на основании того, что эмпирические автокорреляционные функции, рассчитанные по раз­ личным интервалам времени, существенно изменяются.

Однако формулируя такой вывод следует учесть, что изменение эмпирических автокорреляционных функций, может быть объясне­ но и ошибками вычисления коэффициентов автокорреляции, возни­ кающими в связи с ограниченной длительностью рядов наблюде­ ний.

382

Следовательно, оценка получаемых выводов связана с выясне­ нием того, насколько достоверны суждения о внутрирядных ли­ нейных связях г(т) генеральной совокупности, получаемые по вы­

борочной автокорреляционной функции наблюденного ряда. Иначе говоря, необходимо выяснить, отражает ли выборочная ав­ токорреляционная функция свойства внутрирядной связанности генеральной совокупности или же колебания эмпирической авто­ корреляционной функции могут быть объяснены случайными флук­ туациями выборочных данных, связанных с ограниченной длитель­ ностью рядов наблюдений. Для решения этого вопроса необходимо оценить среднюю квадратическую ошибку выборочной автокорре­ ляционной функции г(т)

Расчеты по приведенной формуле, выполненные применительно к наиболее продолжительным рядам годового стока, показали, что средние квадратические ошибки эмпирических автокорреляцион­

(т. е. соответствующие генеральной совокупности) эмпирические автокорреляционные функции при т>1 даже в наиболее продол­ жительных рядах годового стока.

Поскольку теоретические оценки разработаны для выборок, про­ изведенных из нормально распределенных совокупностей, возникла задача оценить выборочные флуктуации г{т) путем сопоставления

функций, полученных по наблюденным и моделированным рядам. Указанное сопоставление осуществлено для нескольких рядов годо­ вого стока. При моделировании рядов использовались параметры

наблюденных рядов (х, Cv, Cs); характеристики внутрирядной свя­

занности принимались в двух вариантах:

1) г(т) = 0 при всех т (полное отсутствие внутрирядной свя­ занности) ;

2) учитывались лишь связи между смежными членами ряда. В целях выяснения устойчивости во времени эмпирических кор­ реляционных функций все расчеты осуществлялись с различным

нулевым отсчетом и по выборкам различного объема. Рассмотрим применение намеченного пути исследования на при­

мере годового стока р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки. Общий период наблюдений (141 год) разбивался на выборки объемом 36, 60 и 34 члена. Начало отсчета по каждой выборке смещалось на 12 лет. Объемы выборки, кратные 12, и смещение на 12 членов обусловлены объемом перфокарты, вмещающей 12 лет наблю­ дений.

На рис. 7.10 представлены автокорреляционные функции годо­ вого стока, рассчитанные по различным указанным отрезкам вре­ менных рядов. На этом графике видно, что дисперсия колебаний

383