книги из ГПНТБ / Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии

кова нашла широкое применение при описании многолетних ко­ лебаний речного стока для целей многолетнего регулирования стока рек.

Обобщением понятия простой цепи Маркова является сложная цепь Маркова, когда условная кривая распределения последую­ щего члена Xi зависит от k предыдущих Хг-ь х»_г, .. Хг-ь■В связи

с этим в такой последовательности имеет место автокорреляция между членами последовательности при любом %<k.

Марковские случайные процессы обобщаются понятием случай­ ной функции с непрерывным аргументом, в которой рассматрива­ ются лишь значения функции (при t\, t2, .. ., tn), равноотстоящие друг от друга на промежуток At.

Рис. 7.6. Эргодическая y(t) и геэргодическая x(t) стационарные случайные функции.

Стационарные случайные функции подразделяются на эргодические и не эргодические, так как стационарные случайные функ­ ции протекают во времени однородно, то можно предположить, что одна реализация такого процесса за достаточно большой промежу­ ток времени может характеризовать основные характеристики этого процесса. Но это справедливо не для всех стационарных слу­ чайных функций.

Приведем два примера (рис. 7.6). Стационарные случайные функции на рис. 7.6 имеют одно и то же математическое ожидание и один и тот же размах колебаний. Однако процесс y(t) отлича­ ется от x(t). Каждая реализация y(t) за достаточно большой про­ межуток времени Т будет характеризовать его столь же хорошо,

как и много реализаций, но соответственно меньшей продолжи­ тельности t. В этом случае математическое ожидание и дисперсия случайного процесса y(t), полученные по одной его реализации продолжительностью Т, будут равны математическому ожиданию

и дисперсии, полученным по многим реализациям за меньшее время t. Такие стационарные процессы обладают эргодическим

свойством. В отличие от эргодических стационарных случайных функций процесс x(t), представленный на рис. 7.6, не обладает

свойством эргодичности. Действительно, и математическое ожида­ ние и дисперсия этого процесса, полученная по каждой его

36 3

реализации продолжительностью Т, отличаются между собой и от

этих характеристик процесса в целом.

Реализации колебаний речного стока в различных пунктах на­ блюдений одной реки или на разных реках в общем случае не об­ ладают свойством эргодичности, так как и математические ожи­ дания и дисперсии, полученные по каждой реализации, различны. Действительно, норма годового стока северных рек, как правило, больше нормы стока южных рек, в то время как дисперсия много­ летних колебаний рек, расположенных в северных районах, обычно меньше, чем в южных районах. Однако рассматривая речной сток

х

ции речного стока, обладающие свойствами эргодичности по отно­

шению к математическому ожиданию (/г = 1). Если же исходные данные речного стока преобразовать через функцию вида

ф ( А — * V ) ~ т*

<7Г

то подобные преобразованные реализации речного стока будут об­ ладать эргодическим свойством как по отношению к математиче­

скому ожиданию, так и по отношению к дисперсии (Ф = 0; ох=

Используя это свойство эргодичности и принимая как исходное положение отсутствие корреляционной связи между величинами годового стока удаленных друг от друга рек, Г. П. Калинин [58] сравнил кривые распределения параметра Ф годового стока за 1948, 1949, 1950 гг., полученные по совокупности большого числа рек (пространственная кривая), с кривыми распределения пара­ метра Ф, полученными по нескольким реализациям годового стока за достаточно длительный период времени в нескольких пунктах наблюдений (временная кривая обеспеченности). Оказалось, что информация о параметре Ф годового стока, полученная за один год по большому числу пунктов наблюдений и представленная в виде кривой обеспеченности, отражает колебания параметра Ф годового стока в одном или нескольких пунктах наблюдений за многолетний период. В этом, вообще говоря, ничего удивительного

различия в колебаниях речного стока по средним величинам и

коэффициентам вариации lC v= -? rr|, оставляя различия лишь

'х ’

впараметре (Cs), который для годового стока приблизительно равен CS = 2CV-

Однако рассматривая колебания речного стока, выраженные, например, в модулях стока (л/с-км2), нельзя полагать, что реали­

364

зации этого процесса в достаточно удаленных пунктах наблюде­ ний с различными условиями формирования представляют собой эргодические случайные функции. Лишь выбирая реки с анало­ гичными условиями формирования стока, можно рассчитывать, что такие реализации будут обладать эргодическим свойством. На этом основании часто по многолетним колебаниям, например, годового стока в каком-либо створе наблюдений, судят о характе­ ристиках случайной стационарной функции в другом пункте.

Наиболее часто об эргодичности стационарной случайной функ­ ции судят, исходя из физических соображений. Действительно, нет оснований считать, что пульсация скорости течения воды при уста­ новившемся режиме в разных точках живого сечения будет пред­ ставлять собой реализации эргодического стационарного процесса, так как и средние и дисперсии скоростей будут различны по каж­ дой реализации. Если же мы будем рассматривать пульсацию скорости в точках живого сечения потока с равными средними ско­ ростями, то такие реализации будут обладать эргодическим свой­ ством по отношению к математическому ожиданию. Подобный физический анализ случайных гидрологических процессов всегда должен предшествовать математическому анализу свойств эргодич­ ности.

В качестве формального признака эргодичности стационарной случайной функции может служить затухание автокорреляционной функции до нуля. Поэтому простая цепь Маркова, автокорреля­ ционная функция которой R(x) = /?(1)т = /?^ при п —>- оо зату­

хает до нуля, представляет собой эргодическую последователь­ ность, или, как говорят, стационарную эргодическую случай­ ную функцию с дискретным временем. Если же автокорре­ ляционная функция при увеличении расстояния между двумя сече­ ниями t2t1 стремится к некоторой положительной или отрицатель­

ной величине, то такая функция не обладает эргодическим свойством.

В гидрологических исследованиях статистические характери­ стики эргодических стационарных случайных функций обычно определяются по одной реализации случайного процесса. Это свя­ зано с тем, что многие гидрологические процессы вообще не мо­ гут быть представлены многими реализациями. Действительно, трудно представить себе речной сток нескольких рек с совершенно одинаковыми условиями его формирования. Поэтому определение характеристик эргодической стационарной случайной функции рас­ смотрим на примере одной реализации.

Объем сведений эргодической стационарной случайной функ­ ции, заключенный в одной реализации продолжительностью Т,

сматривать одну реализацию эргодической стационарной случай­ ной функции продолжительностью Т. Оценка математического

3 6 5

ожидания такой функции (тх) может быть вычислена по выраже-

нию

Если случайная функция задана в дискретных точках, то выра­ жение (7.7) представляется в виде

где п — объем последовательности.

Автоковариационная функция, представляющая собой второй смешанный момент, зависит лишь от интервала сдвижки x = tt— t-i.

R{i)=M {\x{t) — mx\ [jc(^-t-т) — mjc]) =

Г - Т

Наконец, для стационарной эргодической случайной последо­ вательности объема п будем иметь

П—Т

(7Л1>

где Axi = Xi — mx^Xi — х, a i= 1, 2, ..., п.

В гидрологических расчетах обычно при описании стационар­

При т = 0 г(т)= 1, поскольку автоковариационная функция при т = 0 равняется дисперсии процесса R(0) =Dx= a2x.

Автокорреляционная функция стационарной случайной функ­ ции симметрична г(т) = г(—т) и является функцией лишь разно­ сти двух аргументов ii — h = x.

Автокорреляционная функция стационарной случайной функции при х-*- оо стремится к нулю

[/? (т)]т^.со= 0 .

366

Ненормированная автокорреляционная функция не превосходит по абсолютной величине дисперсию процесса

а нормированная автокорреляционная функция имеет пределы ко­ лебаний

ментом /, для которых необходимо рассчитать взаимную корреля­ ционную функцию

где Axi = Xi — тх, A«/, = */*— ту.

При нормировании взаимной корреляционной функции по дис­ персии имеем

В гидрологических исследованиях иногда используется струк­ турная функция D (т), которая однозначно связана с автоковариационной функцией R(т) отношением

Если стационарная функция задана в дискретных точках изме­ рения, то выражение (7.18) представится в виде

367

Помимо основных характеристик эргодической стационарной случайной функции (математическое ожидание и корреляционная функция), в гидрологических исследованиях часто используется функция спектральной плотности S(co).

Функция спектральной плотности эргодической стационарной случайной функции определяется из автокорреляционной функции с использованием преобразования Фурье

1во всех других случаях;

—весовая функция (например, весовая функция Хаминга с ве­

совыми коэффициентами 0,23; 0,54; 0,23); т = 0, 1, 2, ..., т ; —

число значений автокорреляционной функции, принятой для расчета спектра.

Весовая функция лт применяется для сглаживания ординат ав­ токорреляционной функции. Операция сглаживания эмпирической автокорреляционной функции улучшает оценку спектральной плот­ ности. Расчет спектральной плотности по эмпирическим данным без введения весовой функции иногда приводит к отрицательным зна­ чениям спектральной плотности, что противоречит физической ее сущности. Действительно, спектральная функция показывает вклад каждой гармоники эргодической стационарной случайной функции в общую дисперсию процесса. Поэтому этот вклад не может быть отрицательным, как не может быть отрицательной дисперсия про­ цесса.

Если при расчете спектральной функции используется нормиро­ ванная автокорреляционная функция г(т), то площадь спектраль­

ной функции равна единице. Если же применять ненормирован­ ную автокорреляционную функцию R(i), которую иногда называФт

автоковариационной функцией, то площадь спектральной функции равна дисперсии процесса.

Автокорреляционная функция и функция спектральной плот­ ности связаны между собой преобразованием Фурье, поэтому для задания стационарной случайной функции вполне достаточно знать одну из этих функций.

Иногда применяется взаимный спектральный анализ двух ста­ ционарных случайных функций x(t) и y(t) с одним аргументом t. Взаимный спектр двух процессов состоит из коспектра Со (ш) и квадратурного спектра Qh

368

Коспектр определяется по выражению

(7.22)

где L(x) — взаимная ковариационная функция двух процессов,

осредненная при сдвижках т и —т.

Квадратурный спектр определяется по формуле

(7.23)

где М(т) — разность взаимной ковариационной функции двух про­

цессов при т и —т, деленная на два.

Коспектр учитывает синхронные зависимости между двумя ста­ ционарными случайными функциями, а квадратурный спектр из­ меряет вклад различных гармоник в суммарную ковариацию.

Зная коспектр и квадратурный спектр двух случайных стацио­ нарных функций, легко определить относительную фазу гармоник в процессах x ( t ) и y ( t ):

(7.24)

В качестве меры связи между двумя стационарными процес­ сами x(t) и y(t) для различных периодов (частот) обычно исполь­

зуется когерентность, определяемая по формуле

(7.25)

Пределы изменения когерентности заключаются от нуля до еди­ ницы. Можно представить себе такие два процесса, в которых име­ ется прямая связь, допустим, для короткопериодичных колебаний и обратная для длиннопериодичных колебаний. В таком случае корреляционный анализ, оценивающий эту связь в целом, не выя­ вит ее, в то время как когерентность представит эти связи для различных частот.

Вывод приведенных зависимостей по корреляционному и спек­ тральному анализам эргодических стационарных случайных про­ цессов приводится в монографиях по теории случайных функций.

Обратим лишь внимание на то, что расчет этих характеристик по эмпирическим данным гидрологических наблюдений, как пра­ вило, ограниченной длительности, может привести к значительным погрешностям. Математический же аппарат оценок эмпирического корреляционного и спектрального анализов недостаточно разра­ ботан, особенно для процессов, отличных от нормальных.

Использование эмпирического корреляционного и спектрального анализов без оценки статистической надежности полученных ре­ зультатов расчета может привести к неправильным выводам; это

в значительной мере относится и к случаям применения некоррект­ ных способов оценки. Поэтому при изложении примеров использо­ вания эмпирического корреляционного и спектрального анализов в гидрологии будет акцентироваться внимание именно на оценку надежности полученных результатов расчета.

Расчеты по корреляционному и спектральному анализам обычно осуществляются на электронных вычислительных цифровых машинах ввиду огромного объема вычислительных работ.

Прежде чем перейти к гидрологическим примерам использова­ ния методов корреляционного и спектрального анализов, рассмот­ рим сглаживание и фильтрацию исходных данных наблюдений, тем более что сглаживание исходных данных наблюдений во мно­ гих случаях осуществляется до расчета корреляционных функций и функций спектральной плотности.

§2

методы сглаживания гидрологических рядов (на примере годового стока рек)

Наличие достаточно существенных случайных колебаний годо­ вого стока затрудняет выявление закономерностей их временного хода, выражающихся в форме длиннопериодичных циклов измене­ ния годового стока. Для выделения таких циклов издавна приме­ нялись способы сглаживания, или фильтрации, с использованием скользящей средней арифметической. Подобное сглаживание обычно осуществляется по формуле

где Qi — сглаженные колебания годового стока; Qi — годовой сток (i= l, 2, 3, ..., л); п — число членов ряда; Т — интервал осред­

нения.

Естественно, что чем больше период сглаживания, тем больше уменьшается амплитуда высокочастотных (малой продолжитель­ ности) колебаний и, следовательно, более четко могут быть пред­ ставлены колебания низких частот.

Однако, как показали исследования В. Г. Андреянова [1], при сглаживании по выражению (7.26) происходит сдвиг фаз осред-

ненных колебаний Qi по сравнению с исходным рядом Qi вплоть

до противоположного. Причем этот сдвиг фазовых колебаний зави­ сит как от периода сглаживания Т, так и от частотного спектра

исходного ряда.

370

В последнее время для исключения или во всяком случае умень­ шения смещений фаз осредненных величин годового стока по срав­ нению с наблюденными данными применяются другие способы сглаживания, или фильтрации. К их числу можно отнести способ последовательного парного осреднения членов ряда, при котором весовые коэффициенты симметрично убывают от центрального члена осреднения и представляют собой биномиальные коэффици­ енты:

-32'(Qi+5Q; + I-i-1 0 Qi+ 2-b 10Q;-t-34"5Q/+4+Q(-)-5) — пятая ступень;

з!)(* 2)-&+з+

Таким образом, отмеченная фильтрация выражается форму­ лами

Qi — сглаженные колебания годового стока; Qi — годовой сток от t = l до i = n (п — число членов ряда); Т — интервал осреднения; Си — весовые коэффициенты.

Заметим, что сглаживание с использованием данного фильтра равносильно применению способа последовательного парного осреднения членов исходного ряда.