книги из ГПНТБ / Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии

° кз

ний представлена в табл. 6.4. В этой таблице приведены также множественные коэффициенты корреляции (R) , число лет наблюде­ ний (п), использованных для составления уравнения регрессии, и

общая длительность ряда (Лт), включающего наблюденные и вос­ становленные значения стока.

342

нию следует отдать предпочтение. В отношении уравнений, вклю­

Применительно к уравнениям, включающим 2, 3 и более перемен­ ных, лучшим будет уравнение, у которого больше наименьшая ве­

личина умин . Так, применительно к уравнению (3) имеем:

наименьшее значение уМин=—kj- = 3,49, но одновременно эта вели-

°Ч

чина является наибольшей среди других наименьших величин (2,07; 2,42). Таким образом уравнение (3) оказывается более на­ дежным.

Высокие значения множественных коэффициентов корреляции обусловлены высокими величинами парных коэффициентов корре­ ляции пункта приведения с принятыми аналогами, которые полу­ чены по наблюденным данным за весь период.

Матрица парных коэффициентов корреляции симметрична и поэтому приведена лишь до главной диагонали. Нумерация столб­ цов и строчек приведена в соответствии с номерами табл. 6.3.

По уравнениям регрессии (1) — (19) восстанавливался речной сток р. Сож у г. Славгорода за период наблюдений в пунктах-ана­ логах. Далее, по ряду в N лет, включающему наблюденные вели­

чины годового стока за период с 1957 по 1968 г. и восстановлен­

ные значения, рассчитывались параметры ряда (у, Cr, Cs), кото­

рые сведены в табл. 6.6. Из данных этой таблицы следует, что наилучшая сходимость выборочных параметров восстановленных

рядов с наблюденными данными за весь период (у = 6,10; Cv= 0,29; Cs= 1,11) отмечается для первых трех вариантов (приведение по

трем аналогам). При наличии 19 вариантов приводки, естественно, возникает вопрос, как наиболее рационально использовать эти ва­ рианты. Очевидно, что в соответствии с оценками уравнений, при­ веденными в табл. 6.4 и 6.6, прежде всего целесообразно использо­ вать уравнение (3), у которого более высокие значения умин =

= — —= 3,49. Однако это уравнение позволяет удлинить ряд стока

р. Сож в пределах совместных наблюдений, имеющихся по рекаманалогам х2, Хв, х8 (р. Сож — г. Гомель, р. Днепр — г. Речица,

р. Припять — г. Мозырь), т. е. за 1900—1930; 1935—1940; 1944— 1956 гг. На втором месте по надежности стоит уравнение (2), ко­ торое использовано для восстановления стока тех лет, для которых имеются совместные наблюдения на реках-аналогах х2, х2, х8, не

343

совпадающие с тем периодом, который уже использован при рас­ четах по уравнению (1). В данном случае это оказался период

1931—1934 гг.

Аналогичным образом использовано уравнение (3), которое по­ зволило дополнить уже восстановленный ряд сведениями за

1886—1887 и 1895—1899 гг.

П р и м е ч а н и е . Фактические значения параметров ряда годового стока р. Сож у г. Славгорода за весь период наблюдений (1897—1968 гг.) равны: (/=6,10 л/с-км 2, С„ = 0,29, С*=1,11.

344

Таким образом, получился ряд с использованием трех аналогов по различным уравнениям регрессии. Параметры ряда величин го­ дового стока р. Сож у г. Славгорода, восстановленного указанным образом, оказались равными: у = 6,03; Cv = 0,29; Cs= 0,76, т. е. хо­

рошо соответствующими наблюденным значениям за весь период наблюдений.

Аналогичным образом был получен восстановленный ряд с использованием двух аналогов и одного аналога. В этих случаях эффект приведения оказался несколько меньшим, чем для трех аналогов. Действительно, параметры распределения для восста­ новленного ряда по двум аналогам с использованием уравнений

(4), (5) и (9) равны: г/ = 5,45, Cv = 0,23, Cs= 0,78, что хуже соот­

ветствует наблюденным данным по сравнению с приведенным по

Представим общую сводку периодов восстановления речного

Помимо хорошей сходимости параметров распределения, по­ лученных по наблюденным и восстановленным рядам, отмечается вполне удовлетворительное соответствие самих рядов (наблюден­ ных и восстановленных), что следует из рис. 6.5.

Рассмотренные примеры использования математического аппа­ рата множественной линейной регрессии для приведения коротких гидрологических рядов к длительному периоду не исчерпывают возможностей его применения в гидрологических расчетах. Так, множественная линейная корреляция применяется в прогностиче­ ских целях, когда составляется уравнение множественной линей­

3 4 5

уравнение регрессии речного стока в замыкающем створе с дан­ ными речного стока в пунктах-индикаторах.

Кроме того, известны многочисленные примеры, когда аппа­ рат множественной линейной регрессии используется для установ­ ления зависимостей какой-либо гидрологической характеристики (годового стока реки, стока наносов, минимального стока реки, коэффициента внутригодовой зарегулированное™ и других) от факторов, ее обусловливающих.

Математический аппарат линейной корреляции с полным пра­ вом может быть использован, лишь когда между исходными пе­ ременными имеют место линейные зависимости или близкие к ним. Оценка линейности связи может быть установлена из физических соображений или на основании предварительного анализа исход­ ных данных.

Наиболее часто линейность между гидрологическими перемен­ ными устанавливается графическим путем с одновременным ана­ лизом наиболее уклоняющихся точек от предполагаемой линии связи. Производя графический анализ зависимостей, следует, как

в поле графика и при значительном их рассеивании кажущаяся нелинейность может оказаться обусловленной случайным располо­ жением точек. Подобного анализа графических зависимостей обычно бывает вполне достаточно. При этом могут быть исполь­ зованы также разработанные в математической статистике количе­ ственные приемы оценки линейности связей. В случае нелинейности исходных связей наиболее перспективным способом установления уравнения регрессии является предварительная нормализация и линеарализация исходных переменных. Некоторые приемы

к линейному виду приводит логарифмическое преобразование переменных.

§ 5

оценка пространственных корреляционных функций гидрологических характеристик (на примере речного стока)

В последнее время аппарат множественной линейной корреля­ ции начинает применяться в целях пространственной интерполяции гидрологических характеристик и рационализации гидрологиче­ ской сети. Решение этих задач опирается на использование прост­ ранственной корреляционной функции рассматриваемого элемента гидрологического режима с оценкой ее статистической однород­ ности. Кроме того, пространственные корреляционные функции мо­

348

гут оказаться полезными при приведении рядов речного стока к длительному периоду, при анализе синхронности и асинхронно­ сти колебаний речного стока. Впервые пространственная корреля­ ционная функция годового стока, представляющая собой коэффи­ циенты парной корреляции между стоком рек в зависимости от

крупных и средних рек СССР, расположенных на расстояниях до

9000 км.

Рассчитанные Н. В. Сомовым пространственные корреляцион­ ные функции позволили оценить синхронность и асинхронность стока крупных рек, которые учитывались при разработке схемы единой энергетической системы, в пределах которой осуществля­

функции годового стока некоторых крупных и средних рек зем­ ного шара. Было установлено, что коэффициенты парной корре­ ляции (г) с увеличением расстояния (L) убывают. В диапазоне

расстояний 0—2500 км преобладает положительная корреляция между стоком рассматриваемых рек; при дальнейшем увеличении расстояния отмечается в среднем слабоотрицательная корреляция, которая при L— 9000 км равна примерно нулю. Заметим, что эм­ пирические зависимости r = f(L) обычно получаются при осредне­

нии по градациям расстояний большого количества парных коэф­ фициентов корреляции, что, строго говоря, справедливо для одно­ родной и изотропной пространственной корреляционной функции, когда отклонения парных коэффициентов корреляции от осредненной зависимости r = f(L) объясняются случайными флуктуациями

выборочных коэффициентов корреляции. В случае же неоднород­ ности функции r(L) осреднение ее может привести к искажению природной истинной зависимости r = f(L). Оценка однородности

пространственной корреляционной функции особенно важна, если предусматривается использовать r = f(L) при дальнейших стати­

стических расчетах, например при оценке точности пространствен­ ной интерполяции и рационализации сети.

Попытка осуществить оценку статистической однородности про­ странственной корреляционной функции и использования ее в це­ лях пространственной интерполяции предпринята Г. А. Алексее­ вым [9].

Рассмотрим порядок расчета пространственных корреляцион­ ных функций и оценку их однородности на примере годового стока рек бассейна верхнего Днепра. Отметим, что такой расчет прак­ тически возможен лишь с использованием ЭВМ. В частности, рассматриваемый ниже пример выполнен по программе, составлен­ ной на языке АЛГОЛ М. В. Зориным.

Алгоритм программ предусматривает расчеты следующих па­ раметров:

3 4 9

Помимо этого основного способа оценки однородности прост­ ранственных корреляционных функций, могут использоваться и другие более простые, но иногда менее эффективные приемы. К числу этих приемов относятся критерии согласия теоретической функции распределения эмпирическим данным, рассмотренные в главе IV. В случае использования критерия согласия устанавли­ вается соответствие между теоретической и эмпирической функ­ циями распределения выборочных коэффициентов корреляции. В качестве эмпирической функции распределения выборочных ко­ эффициентов корреляции используются парные коэффициенты кор­ реляции, попавшие в диапазон расстояний (AL = 50 км). За теоре­ тическую функцию распределения принимался нормальный закон со средним квадратическим отклонением для выборочных коэффи­ циентов корреляции

V п с р — 1

а для распределения величин z

1

Л'

&

i

где пСр = — ^— ; N — число точек в интервале AL.

В качестве оценки математического ожидания целесообразно принимать среднее взвешенное по числу совместных лет наблюде­ ний значение парных коэффициентов корреляции (или параметра г) для градации расстояний (AL).

Согласие полученных эмпирических функций распределения теоретическим устанавливалось с использованием критерия Кол­ могорова. Для решения рассматриваемой задачи могут использо­ ваться и другие критерии согласия, например %2 или о>2, обладаю­ щие большей мощностью, но требующие больше вычислительных операций. Установление согласия эмпирической функции распре­ деления теоретической для градации расстояний AL равносильно

признанию однородности пространственной корреляционной функ­ ции для этой градации. Если устанавливается согласие эмпириче­ ских и аналитических распределений для всех AL, то, следова­ тельно, связь r = f(L) однородна во всем диапазоне расстояний.

Кроме того, оценку однородности пространственных корреля­ ционных функций по градациям расстояний можно осуществить с использованием Е-распределения Фишера для оценки однород­ ности эмпирических и теоретических дисперсий. При этом уста­ навливается однородность эмпирической дисперсии парных коэф­ фициентов корреляции, вычисленная по обычной формуле

352