Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

14.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 4334 35 36 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

Опираясь на указанные измерения, необходимо найти линейную зависимость между у и Xi, х2, . . хп, которая согласно принципу

наименьших квадратов, наилучшим образом соответствует этим материалам. Решение получается более простым, если рассматри ваются не исходные величины у и ли, х2, ..., хп, а отклонения их

от своих средних значений:

о	_	о	_
у « = У /-у ;		х ^ х ц - x f ,
j =	1.	2, . .	п,
i = 1,		2, . .	т.

В таком случае уравнение множественной линейной регрессии

У =У -И 1 (х и — ^ )-Ь &2 (х2i — лг2)-{- . . . +
-\-kj (Xji — Xj)~f- . . . -\-kn{xni — x ni) . . .	(6.26)

величины у относительно ее аргументов xi,	х2, ..., хп записывается
о	_

как уравнение регрессии величин г/г = г/г — У относительно отклоне-
			о ' о	о
ний аргументов от их средних значений хи х2, . .				хп
0	0	0	о	(6.27)
y x= k lx {Jr k2X2 Jr			. . . -\-knx n.	(6.27)

Таких уравнений, очевидно, будет т в соответствии с числом
наблюдений над величинами у, Xi, х2, ..., хп- При этом т^>п. При
т < п задача определения параметров становится неразрешимой;
при т = п получается решение, в точности	удовлетворяющее ис
ходным данным, однако это решение имеет	смысл лишь для точ

ных функциональных связей.

Случай системы уравнений с числом их, большим числа неиз вестных входящих в них параметров, является основным при по строении уравнений регрессии. Вопрос о наилучшем решении си стемы с избыточным числом уравнений сводится к нахождению таких значений неизвестных величин, связанных между собой уравнениями, составляющими рассматриваемую систему, при под становке которых в данные уравнения будем иметь наименьшее уклонение рассчитанных величин от наблюденных. Принимая в ка честве оценки указанных отклонений их сумму, можно встретиться с такой ситуацией, когда большие отклонения, но имеющие раз ные знаки, могут компенсировать друг друга, в то время как абсо лютные значения отдельно рассматриваемых отклонений могут быть значительными.

Поэтому за наилучшее решение системы уравнений принима ется такое, при котором сумма квадратов всех отклонений (или ошибок расчета с использованием уравнения регрессии) будет иметь

332

минимальную величину, вследствие чего и способ, дающий такое решение, носит название способа наименьших квадратов.

Как указано в	§ 2 настоящей главы, коэффициент регрессии
в корреляционном	уравнении, связывающем две переменные, ра

вен - 2 у. Гху. В уравнении множественной регрессии величина коэф-

0х

фициента корреляции между х и у заменяется комбинацией этих

коэффициентов, вычисленных между каждыми двумя входящими в уравнение регрессии п величинами. Так, в частности, для случая трех переменных у, xi, х2 уравнение регрессии примет вид

о	Г	— г	г	О	Г — г г	о
У=	УХ\		УХ 2 X j X 2	Хх	УХ2 yXj Х хХ 2	(6.28)
У=	1	Г2		Хх	' Х \ Х 2	(6.28)
			х хх 2		' Х \ Х 2

Для случая четырех переменных имеем

У-	1_	Г Х , У О	Г Х 2Х з )		Г Х 2 У Г Х 2 Х ,		Г	Г Х , Х г	■+
		Х 2Х з	_ /*^		_!_ O’*			Г
	1		Х :х 2	X i X 3 ~		А Х хХ 2 ' Х хХ з ' Х 2Х г
	Г х 2х 3 ( г у х / х , х , Т г у х / х , х 2)							о
								Х \	-
			х,Хъ
	х 2х 3	x t x 2			Х хХ 2	XiXz	х 2х 3
	Г у х 2 О		r x , x i )	r y x , r x , x 2			Г у х Т х 2х 3
х 2	1	' Х 2Хз	__ г^		-L 9 Г		Г	Г
	1		Х хХ 2	Х хХ 3 >		Х хХ 2 Х хХ л Х 2Х3
	ГХ, Хз ( г у х , г Х 2Х, +			г у х / х 2х , )
	■r\_r - r l г. - г ХхХг1			+ 2гх
	X i X 'i	х , х г

	Г у х 3 ( ^	г х , х 2)	г у х , г х 3х ,	г у х / . Х з Х 2
Хг	г х 2х 3	Г х , х 2	г Х хХ ъ Т " <^ г х 1х 2Г х , х 3г х 2х 3
	Г х , х 2 ( г у	х / х , х 7 Т	г у х 2г ХзХ,)

Л3. (6.29)

1 — Г *	— Г ^	— Г *	-I- 9/*	Г	Г
' Х 2Хз	' Х \ Х 2	1 Х 1Х 3~		Х }х 2	Х хХз Х 2Хз

Приведенная система записи уравнений (6.28) и (6.29) может быть существенно упрощена и обобщена на общий случай пере менных с использованием детерминантов или определителей. В та ком случае общее выражение для коэффициента регрессии (k,)

можно записать в форме

D yxj

D	(6.30)
	У У

333

где о у — среднее квадратическое отклонение зависимой перемен

ной (функции);		о х .— среднее квадратическое отклонение независп-
		VXj и D у у — миноры определителя
		1	Г ух ,	г у х 2 ■ • •			r y x j	■ •	.	r vV
			Г ух ,	г у х 2 ■ • •			r y x j	■ •		Ух п
		Гх , у	1	ГХ,Х2		• • •		• ■• Г х . х
		Гх , у				• • •				х Iх п
		Г«-	ГХ 2Х,	1		. . .	Г х 2x j ' ' ■ Г х 2х п
		Г«-	ГХ 2Х,				Г х 2x j ' ' ■ Г х 2х п
	D	=								(6.31)
		Г х ]У	Г х ; х 1	ГХ]Х2 ■ ■			1	. . ' T x j x n
		r * n y	Г х пх 1	Г х п х2 ■■■Г * п * Г					.	1
			Г х пх 1	Г х п х2 ■■■Г * п * Г
Минор	представляет		собой	часть исходного						определителя (D ),
у которого	в рассматриваемом				случае		вычеркнута первая строка

и столбец, соответствующий переменной, указанной в обозначе нии минора.

В частности, первый минор			D v y	означает исходный			определи
тель D , у которого вычеркнута			первая строка и первый столбец.
	1	Г г V • • r x i x J			■ ■ Г х Хх п
	Г х 2х ,	1			■ Г х 2х п
	Г х 2х ,				■ Г х 2х п
D y y =	ГГ .Г,		. . 1		• Г х . х	п
	ГГ .Г,		. . 1		• Г х . х
	х Г 1 Г х ] х 2		■		х г
	Г х п х \	Г х п х 2	. .	Г х х	. . 1
	Г х п х \	Г х п х 2	'	Х п х j
Минор D Vx , представляет исходный определитель D ,							у которого

вычеркнута первая строка и второй столбец. Это второй минор. Третий минор ( D y x i ) получается вычеркиванием в определителе D

первой строки и треть «го столбца, четвертый (D yx3) — первой

строки и четвертого столбца и т. д. Указанные пояснения отно сятся к рассматриваемому случаю определения коэффициентов регрессии. В общем виде минор определителя D i j получается вы

черкиванием i-той строки и /-того столбца.

Рассмотрим связь системы определителей с формой записи, представленной уравнением (6.28). В соответствии с выражением

334

(6.30) коэффициенты регрессии для уравнения с тремя переменными

0		0	0	(6.32)
у --- - k\X\ —j—коХ2				(6.32)
будут:
£ ____	С У		° У Х ,
	СХ,		D y y
k	Су	■ ® у х 2
	°Х,		D y y
	°Х,

Применительно к рассматриваемому случаю определитель имеет вид

	1	УХх	\ ' Х 2
		УХх	\ ' Х 2
D =	г.	1	Х гХ 2	(6.33)
D =	УХх		Х гХ 2	(6.33)
	у х 2	х ,х 2	1

Миноры этого определителя, входящие в выражение коэффици ента регрессии, равны:

			= Г	ух,	г	г	х ,х 2*
		ух 2		ух,		у х 2	х ,х 2*
		ух 2
D	У * \	= — Гг г		—г 1 = /* „ —г _ г
	ух 2	I ух, х,х2			y*aj		У * 2	У*1
	У Х г	Х , Х 2
	DУУ	X \ Х 2		1	Г12*
	DУУ	1	=	1	Г12*
		1

Уравнение регрессии примет вид (6.28). Элементами опреде лителя (6.33) являются коэффициенты парной корреляции между рассматриваемыми переменными, определяемые по уравнению

	2	( X J — x i ) (■** ~		■**)
ГИ<= '	Г т		т	(6.34)
у	2	(xj ~	2	— jr*)2

Полный, или сводный, коэффициент корреляции между зави симой переменной и всеми независимыми переменными определя ется по выражению

r = VГ \

U y y

(б-35>

Если парные коэффициенты корреляции, характеризующие сте пень линейной связанности между двумя переменными, изменя ются от —1 до 1, то полный коэффициент корреляции имеет пре делы изменения от 0 до 1.

335

Линейная (а не всякая) зависимость между двумя перемен ными отсутствует при г = Опри R = Омежду п переменными. В слу

чае наличия функциональной зависимости между переменными r = ± i , o , /г= 1,0 .

Полный коэффициент корреляции R при п> 1 всегда больше

любого парного коэффициента корреляции, входящего в опреде

литель D,		кроме диагональной линии, где г	=г	= г	=••• =
= г	=	УУ	Х\Х\		Х 2Х 2
= г	=	1.

х п х п

Заметим, что полный коэффициент корреляции может быть рассчитан как парный коэффициент корреляции между наблюден ными величинами зависимой переменной и рассчитанными по урав нению регрессии.

Среднее квадратическое отклонение наблюденных величин (ум) от рассчитанных по уравнению регрессии (г/р), характери

зующее точность используемого уравнения регрессии, может быть рассчитано по формуле

У (>'н — Ур) 2

	j_____	(6.36)
	т	(6.36)
	т
	или
	Оу= а 0] / Ь = Ж	(6.37)

При R = 1 cTy = 0, что свидетельствует о полном совпадении на блюденных и вычисленных по уравнению (6.30) величин. При R = 0 оу= а0 и, следовательно, использование уравнения регрессии не

имеет смысла.

Для оценки средней	квадратической ошибки коэффициента ре
грессии ( k j ) используется формула
ЧГ Y-	(т — п) Р к.	У = 1,	(6.38)

где т — число членов ряда, использованных при составлении урав нения регрессии; п — число независимых переменных;

/ 4 =

л/7

А — определитель, равный

/газ*, п г с х Р х Т х 2х,	•	■ ■ fn a XiaXnr XnXl
n i l x p x 2г х ,х 2 т - х 2	■ •	• т а х р Хпг х пх 2

mox aXnrXlXn maXtoXnrXtXa . . . т с 2Хп

Ал — минор определителя А, полученный в рассматриваемом слу

чае вычеркиванием в определителе А /-той строки и /-того столбца.

336

Из уравнения (6.38) следует, что ошибки коэффициентов ре грессии (при прочих равных условиях) возрастают с увеличением числа переменных. Учитывая сравнительно небольшую длитель ность рядов гидрологических величин, использование для построе ния уравнений множественной регрессии более четырех перемен ных приводит к получению малонадежных коэффициентов регрес сии и менее статистически устойчивых решений.

Общее выражение средней квадратической ошибки коэффици ента регрессии (kj) применительно к случаю трех переменных за

пишется в виде:

		3/;,=					r2XiXi)			(6.39)
			axt У (т -		2 ) (1	-	r2XiXi)
		°к2	°х2V ^ ~ 2 ) 0 -							(6.40)
			°х2V ^ ~ 2 ) 0 -				' U
Для случая четырех переменных имеем:
t v					1 -	Гх*хг
t v		( т	3 ) ( 1	г х - х 2	г х . х		Г Х 2Х 2 У ^ Г х , Х 2Г Х 2х / х 2Х ^ )
	А				1_		,2
_____ У	1 / __________________________________ ____________						Х , Х з ____________________________________________
° - г 2	'	( / Я — 3 ) (l		Г х , Х 2 ~	r X t X 3 ~ ~ Г Х 2Х 3 "V^ Г Х 2Х 2Г Х , Х гГ Х 2Х г )
	V				1 — гх,х2					г
х2		( т -	3)(1	1 Х\Х%	1 Х хХ г		-4- 9 г	х хХг	г	г
				1 Х\Х%	1 Х хХ г		' Х 2Х 3 О	х хХг		Х гх / Х 2Х у ) ■

Возможность использования аппарата множественной линей ной корреляции в практике гидрологических исследований появи лась в связи с применением ЭВМ. В частности, программа, со ставленная на языке АЛГОЛ’-бО, применяется в ГГИ для исследо вания зависимостей между многими переменными применительно к задаче приведения коротких гидрологических рядов к длитель ному периоду и для решения других задач, опирающихся на стати стические связи многих переменных.

Учитывая, что ряды наблюдений за характеристиками гидро логического режима обычно имеют разную длительность и пропу ски наблюдений, программой предусматривается задание исходной информации в такой ситуации путем заполнения отсутствующих данных нулями. Программой предусматривается автоматический поиск наиболее эффективных независимых переменных и вос становление по этим переменным отсутствующих данных наблю дений.

1 Программа составлена М. В. Зориным.

2 2 Зак . № 88

337

§4

применение метода множественной линейной корреляции для приведения коротких гидрологических рядов

к длительному периоду

Рассмотрим порядок приведения к многолетнему периоду ве личин годового стока с использованием рек-аналогов на примере р. Свири у с. Мятусово. В качестве аналогов принимаем р. Вуоксу — X ГЭС (xi) и р. Неву у г. Петрокрепости (х2).

На р. Свири у с. Мятусово имеются наблюдения за периоды 1881—1940 и 1945—1951 гг. Для иллюстрации методики построе: ния уравнения регрессии полагаем, что в этом пункте имеются све дения о годовом стоке лишь за 20 лет (1928—1940 и 1945—1951 гг.) совместных наблюдений по всем трем рассматриваемым рекам. Опираясь на данные совместных наблюдений за указанные 20 лет, находим следующие значения парных коэффициентов корреляции: гух, = 0,74; гУх2= 0,88; гж,х.г= 0,55. В таком случае определитель (D)

и его миноры будут равны:

1	0,74	0,88	= 1 -
D-- 0,74	1	0,55	= 1 -			Х 0,55=0,1,
0,88	0,55	1				Х 0,55=0,1,
	= --	0,74	0,55	= -	(0,74 - 0,88 • 0 ,5 5 )= -0 ,2 6 ,
	= --	0,88	1	= -	(0,74 - 0,88 • 0 ,5 5 )= -0 ,2 6 ,
		0,88	1
	о уя =	0,74	1	= 0,74 • 0,55 —0 ,8 8 = —0,47,
	о уя =	0,88	0,55	= 0,74 • 0,55 —0 ,8 8 = —0,47,
	D уу		1	0,55	= 1 -0 ,5 5 2= 0,70 .
	D уу		0,55	1	= 1 -0 ,5 5 2= 0,70 .
Полный коэффициент корреляции равен
	r	= Y	\		0,10	0,93.
	r	= Y	\		0,70	0,93.
					0,70

Подсчет средних значений и средних квадратических отклоне ний исходных рядов дает следующие оценки:

у=8,76,	=9,79,	лг2=8,57,
зу= 1,71,	а*,= 1,96,	0^=1,58.

Коэффициенты регрессии уравнения связи равны:

1,71 • 0,26 = 0,32,

1,96 • 0,70

1,71 • 0,47

k-i= 1,58 • 0,70 = 0,73.

338

Имея указанные исходные данные, строим уравнение регрессии в виде

У— y = k \ (-*1 — X\)-\-k-2 ( х 2— х 2),
или
у _ 8,76=0,32 (jc, - 9,79)—j—0,73 (х 2- 8,57),
т. е.
y = 0 ,3 2 x ,+ 0,73 л;2-0 ,6 3 .	(6.41)
Среднее квадратическое отклонение полученной связи	равно
а_= зу +1 _ ^ 2 =1>71 Y 1 — 0,932= 0,63.

Средние квадратические отклонения коэффициентов регрессии k\ и k2 по формулам (6.39) и (6.40) равны:

0,63

=0,09,

1,96 Y (20 — 2) (1 - 0.552)

1 ,5 8 /(2 0 - 2) (1 -0,552)

Полученные значения а , ок свидетельствуют о достаточной

надежности коэффициентов регрессии.

Уравнение регрессии (6.41) использовано для расчета величин годового стока р. Свири у с. Мятусово за период 1859— 1958 гг., т. е. за весь период, по которому имеются наблюдения в пунктаханалогах. Из восстановленного за указанный период ряда величин годового стока произведены выборки для отдельных отрезков вре мени. Средние значения и коэффициенты вариации наблюденных и восстановленных отрезков рядов приведены в табл. 6.2. Приве денное в табл. 6.2 сопоставление рассчитанных значений с наблю денными выполнено с целью оценить точность уравнения, исполь зуемого для приводки. В практических задачах приведения, очевидно, такое сопоставление не может быть выполнено. Сопостав

ление рассчитанных и	наблюденных	величин годового стока
р. Свири у с. Мятусово	(рис. 6.4) показывает достаточно хорошее
их соответствие.	Таблица	6.2

Наблюденные и рассчитанные с использованием корреляционного уравнения средние значения и коэффициенты вариации годового стока р. Свири

у г. Мятусово за различные периоды

	Н аблю денны й ряд		В осстановленны й ряд
П ериод , годы	среднее	коэф ф и ц и ен т	среднее	коэф ф и циент
	зн ачен ие,	вариации	зн ачен ие,	вариац ии
	л / с • км 2		л /с * к м 2

1928-1940, 1945-1951	8,76	0,19	8,76	0,19
1881-1927	9,38	0,16	9,25	0,18
1881-1940, 1945-1951	9,31	0,16	9,11	0,18
1859-1958	—	—	9,16	0,18
		—

2 2 *

3 3 9

Более полную форму использования множественной линейной корреляции рассмотрим на примере приведения годового стока р. Сож у г. Славгорода с использованием 8 аналогов, представлен ных в табл. 6.3.

Отметим, что фактически наблюдения за годовым стоком р. Сож у г. Славгорода велись в течение длительного периода (1897— 1968 гг.), и поэтому излагаемая ниже схема приводки примени тельно к этому створу имеет лишь методическое значение. Изла гаемые ниже расчеты, и в том числе выбор эффективных аналогов,

м л /с км2

Рис. 6.4. Многолетние колебания годового стока р. Свири у с. Мятусово.

I—наблюденные данные; 2—восстановленные по уравнению регрес

сии.

Т а б л и ц а 6.3

Сведения о реках-аналогах, использованных для выполнения операции приведения годового стока р. Сож у г. Славгорода к многолетнему периоду

№

п /п

	П лощ адь	Число		П ар ам етр
	П лощ адь	Число
Р ока — пункт	водосбора,	лет	X
Р ока — пункт	водосбора,	н аб лю де	X	cv
	к м 2	ний	л /с км 2	cv
Сож — г. Славгород	17 700	68	6,10 ■	0,29	1,11
Днепр — г. Смоленск	14 100	81	6,88	0,27	0,91
Сож — г. Гомель	38 900	66	5,26	0,30	0,87
Березина — г. Бобруйск	20 200	79	5,89	0,20	0,99
Десна — г. Брянск	12 400	70	5,47	0,30	0,94
Десна — г. Чернигов	81 400	75	3,97	0,29	0,79
Днепр — г. Речица	58 200	68	6,34	0,23	0,52
Днепр — г. Орша	18 000	81	6,96	0,27	0,92
Припять — г. Мозырь	97 200	83	3,78	0,30	0,30

340

выполнены на электронной вычислительной машине М-220. При выполнении излагаемого ниже методического исследования при нято, что период совместных наблюдений на р. Сож и на рекаханалогах составляет 12 лет (1957—1968 гг.).

Программой предусматривается составление уравнений мно жественной линейной регрессии зависимой переменной (пункт при ведения) со всеми независимыми переменными (пункты-аналоги). При этом осуществляется перебор всех возможных сочетаний пунк тов-аналогов, что приводит к построению Ch уравнений, где п —

общее число пунктов-аналогов, использованных при построении уравнений, k ■— число аналогов, использованных для построения от

дельных уравнений. В рассматриваемом случае число аналогов

Следовательно, число уравнений с одним аналогом равно С*= 8, с двумя аналогами — С28—28, с тремя аналогами — С| = 56, с че тырьмя аналогами — С*=70, с пятью — С^=56, с шестью — С®=

= 28 и семью аналогами — С^=8. Из построенных указанным об-

разом уравнений для непосредственного использования отбирались

k ’

те, у которых — —7=j2, т. е. уравнение регрессии признается надеж-

0,13

ным, если средняя квадратическая ошибка коэффициента рег

рессии в 2 раза меньше абсолютной величины коэффициента рег рессии.

Если в каком-либо уравнении хотя бы в отношении одного ко-

эффициента регрессии имеет место	kj	то такое	уравнение
	—J-< 2 ,
	%	из этого	условия,
регрессии в расчетах не используется. Исходя

в рассматриваемом примере приведения годового стока к длитель ному периоду не прошло ни одно уравнение регрессии с четырьмя и более аналогами. Из 56 уравнений с тремя аналогами (4 пере менных) по этому признаку прошло лишь три уравнения; из 28 урав нений с двумя аналогами прошло восемь и, наконец, с одним анало гом прошли все восемь уравнений.

Приведем уравнения регрессии, удовлетворяющие				условию
ft, — ct			при переменных соответствует
-^— ^	2	; в этих уравнениях индекс	при переменных соответствует
номеру реки в табл. 6.3:
		У= 1 ,367+0,495+	О.бЭх:, - 0,50,	(1)
		у =0,287+0,882 -	0,28*8+ 0,51,	(2>
		у = 0,712+0,536 —0,38*8+0,29,		(3)
		у = 0 ,3 7 * ,+ 0 ,6 1 * з-0 ,72,		(4)
		у=0,347+ 0 ,622+0,35,		(5)
		у =0,467+0,50з —0,56,		(б>

341

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3334 / 4334 35 36 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ