книги из ГПНТБ / Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии

со

*

Рис. 5.6. Кривые обеспеченности выборочных средних, полученных по данным моделированных методом Монте-

Карло рядов (*==1; С„ = 0,3; С»=0,6) с различными коэффициентами корреляции между смежными членами ряда.

1 ~ Г = 0,0, 2 — г —0,3, 3 — г=*0,5, 4 - г - 0 , 7, 5 - г = 0 . 9 .

совокупностей выборочных средних (х-, Cv~, Cs-). Хорошее

согласование эмпирических и аналитических кривых обеспеченно­ стей дает основание весь дальнейший анализ смоделированных ста­ тистических совокупностей проводить на основании использования статистических параметров, соответствующих моделируемым вы­ боркам. Указанный путь использования информации, содержа­ щейся в моделируемых рядах, имеет и то преимущество, что пере­ ход к аналитическим функциям, описывающим смоделированные статистические совокупности параметров, обеспечивает некоторую генерализацию выборочных данных, сглаживая отдельные их слу­ чайные флуктуации. Кроме того, аналитические функции распреде­ ления выборочных оценок (в частности, средних) позволяют пред­ ставить информацию в компактной форме, что открывает техниче­ ские возможности обработки случайных рядов практически неогра­ ниченной длины.

Действительно, при использовании аналитической формы описа­ ния статистических совокупностей ЭВМ в своей памяти сохраняет сведения лишь о параметрах этих совокупностей. Для воспроизве­ дения же эмпирических функций распределения машина должна полностью сохранять сведения о всех членах, образующих ряды рассматриваемых величин. В данном случае статистические сово­ купности представляют собой ряды, состоящие из выборочных сред­ них. Помимо указанного, следует учесть, что размещение членов выборок в ранжированном порядке занимает много машинного вре­ мени. В итоге расчет на ЭВМ эмпирических функций распределения по 600 выборкам занимает около 40 мин машинного времени, а рас­ чет стандартных статистических параметров аналитических функ­ ций распределения по 2000 выборкам — около 5 мин. Следует также учесть, что ЭВМ может одновременно осуществить (по объему па­ мяти) обработку примерно 700 выборок применительно к задаче построения эмпирических функций распределения, а при использо­ вании ЭВМ для оценки лишь статистических параметров выборок число одновременно рассматриваемых выборок практически неог­ раниченно.

Таким образом, принятая форма выдачи из ЭВМ информации в виде стандартных статистических параметров открывает допол­ нительные возможности в использовании метода статистических йспытаний. Приведенные соображения в полной мере относятся и к исследованию законов распределения выборочных коэффициентов вариации, асимметрии, коэффициентов корреляции между смеж­ ными членами ряда, а также ординат кривых обеспеченностей.

Применение метода статистических испытаний для определения стандарта выборочных средних значений позволяет сделать следую­ щие выводы.

1. Применение для моделирования различных функций распре­ деления (Крицкого—Менкеля, биномиального) не сказывается на величинах случайных средних квадратических ошибок выборочных средних во всем диапазоне задаваемых параметров исходного рас­ пределения (С„, Cs/Cv) при различных г и п.

2 9 2

2. На величинах средних квадратических ошибок выборочных средних не сказывается и величина задаваемого исходного соотно­ шения Cs/Cv.

3. Средняя квадратическая ошибка выборочных средних возра­ стает с увеличением коэффициента вариации исходного распреде­ ления, с уменьшением объема выборки и с увеличением коэффици­ ента корреляции между смежными членами ряда. При величинах коэффициента корреляции 0,3—0,5 стандарт выборочных средних возрастает примерно на 30—40%.

4. Расхождения между величинами средних квадратических оши­ бок, полученных по формуле (5.49) и рассчитанных методом стати­ стических испытаний, обычно очень невелики. Они возрастают с уве­ личением коэффициента корреляции между смежными членами ряда и коэффициента вариации исходного распределения. При не­ больших объемах выборок (/г=10), высоких значениях коэффици­ ента вариации (Сг, = 1,0) и коэффициента корреляции (г = 0,5) эти различия составляют 0,05, а при С„ = 1,0 г = 0,7; п —10 достигают

даже 0,1—0,2. Более высокие значения стандарта ошибок выбороч­ ных средних получаются по формуле (5.49), по сравнению с мето­ дом статистических испытаний. Таким образом, при коэффициентах корреляции между смежными членами ряда, не превышающих г — = 0,5, и при числе членов ряда п > 10 рассматриваемые различия не­

существенны и, следовательно, формула (5.49) имеет практически вполне достаточную точность.

Попутно можно отметить, что сравнительно небольшие разли­ чия в оценке случайных средних квадратических ошибок выбороч­ ных средних, полученных независимо, т. е. методом статистических испытаний и на основе теоретической формулы (5.49), являются до­ полнительным подтверждением правильности выполнения статисти­ ческого моделирования.

оценка выборочных коэффициентов вариации

Выборочное среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации даже для рядов, не обладающих внутрирядной корреля­ цией, представляют собой отрицательно смещенные оценки пара­ метров генеральной совокупности. Эта смещенность частично уст-

В- работах Е. Г. Блохинова [18] и А. Ш. Резниковского [37] от­ мечается, что величина отрицательного смещения выборочных ко­ эффициентов вариации (средних квадратических отклонений) обычно не превышает 3—4%. Однако это справедливо только, если исходное Cs/Cv^:2. С увеличением отношения C$/Cv смещенность

возрастает, и только при коэффициентах вариации меньше 0,5 сме­ щенность мало зависит от отношения Cs/Cv и остается незначитель­

ной. При других значениях параметров ряда это не так. Например, по данным статистического моделирования для рядов, не обладаю­ щих внутрирядной связью, при СsiСи = 4 и при С„ = 1,0 и объеме

2 9 3

выборки п = 10 величина отрицательного смещения составляет 25%; при тех же исходных статистических параметрах, но при п = 25 ве­

личина смещения получена равной 12%. Указанные величины сме­ щения соответствуют биномиальному распределению, принимае­ мому за исходное. Связь между математическим ожиданием (средним значением) выборочных значений коэффициентов вариации

(С„выб) и несмещенной оценкой коэффициента вариации (С„) для рядов, не обладающих внутрирядной корреляцией, выражается фор­ мулой Е. Г. Блохинова [18]

Наличие внутрирядных связей увеличивает отрицательное сме­ щение выборочных коэффициентов вариации. Это обстоятельство учтено в формуле Крицкого—Менкеля [78]

Здесь С' виб— среднее значение выборочных коэффициентов ва­ риации для рядов объемом п членов, обладающих внутрирядным

коэффициентом корреляции (г); Cv Выб — среднее значение выбо­

рочных коэффициентов вариации для рядов, не имеющих внутри­ рядной связи.

Подставляя в зависимость (5.52) равенство (5.51), получаем

Зависимость (5.53) соответствует равенству CS = 2CV в ряду ис­

ходных величин. Из уравнения (5.53) можно получить выражение для несмещенной оценки коэффициента вариации (Cv) в зависи­

мости от среднего значения выборочных оценок коэффициентов вариации (С ввыб), числа членов совокупности п и коэффициента

внутрирядной корреляции г. Однако такое решение громоздко и не­

удобно. Поэтому более целесообразно применять графическую за­ висимость Cv = f (С' б; п; г). Пример такой зависимости при г =

= 0,3 представлен на рис. 5.7.

Использование метода статистических испытаний позволило оце­ нить возможность применения формулы (5.53) при С3ф2Су. Ока­

залось, что при С „^0,5 оценки несмещенных значений коэффициен­ тов вариации, полученные по зависимостям, вытекающим из урав­ нения (5.53), хорошо соответствуют оценкам, получаемым методом статистических испытаний при. всех обычно используемых в гидро­ логических расчетах отношениях Cs/Cv. При коэффициентах вариа­ ции, приближающихся к 1,0, и отношении Cs/Cv> 2 величины не-

2 9 4

смещенных значений С„, получаемые по зависимостям (рис. 5.7), вытекающим из уравнения (5.53), оказываются ниже, чем по ме­ тоду статистических испытаний. Из этого следует, что величина сме­ щения выборочных значений коэффициентов вариации при указан­ ных значениях параметров исходного распределения уравнением (5.53) учитывается не полностью. Более точный учет смещенности

Рис. 5.7. График зависимости Cv= f(C„Bbl6) при различных объемах

выборки (тг=10; п = 25; /г=50), построенной по формуле (6.53) при

Ca=2Cv и /•(,,+1=0,3.

выборочных оценок коэффициентов вариации возможен на основа­ нии использования зависимостей Cv = f ( С 'выб, г, п, Cs/Cv), полу­

ченных методом статистических испытаний.

Примеры таких зависимостей, соответствующих биномиальному распределению и распределению Крицкого—Менкеля, при Cs/Cv=

= 3 и 4 и при г= 0 и г= 0,3 представлены на рис. 5.8. Эти примеры показывают, что выборочные оценки коэффициентов вариации, полученные с применением кривой Крицкого—Менкеля, имеют

295

меньшее отрицательное смещение, чем оценки, соответствующие би­ номиальному распределению. Следует, однако, отметить, что это различие является достаточно существенным лишь при малых объ­ емах выборок и при больших значениях отношения С«/С„; эти раз­ личия увеличиваются также с возрастанием внутрирядной связанно­ сти. При истинных значениях С„=1,0, CS = 4CV, г = 0,3 и п=10 ве­

личина смещения достигает при биномиальном распределении 27%, а при использовании распределения Крицкого—Менкеля 19%. С уменьшением C„, Cs/Cv и увеличением r u n отрицательное сме­

щение выборочных коэффициентов вариации уменьшается. Рассмотрим случайное рассеивание выборочных коэффициентов

вариации (0^ ,). Общее представление о случайных колебаниях выборочных значений коэффициентов вариации, определенных для

генеральной совокупности с параметрами х=1,0, С„ = 0,3, С«= 0,6, дают кривые обеспеченности, приведенные на рис. 5.9. Для построе­ ния этих кривых использовано 600 выборок, включающих 25 членов каждая. Выборочные значения коэффициентов вариации опреде­ лены методом моментов при различных коэффициентах корреляции между смежными членами (г = 0,0; 0,5; 0,7; 0,9). На рис. 5.9 видно, что рассеяние выборочных коэффициентов вариации увеличивается с возрастанием коэффициента корреляции между смежными чле­ нами ряда; при этом также возрастает положительная асимметрия закона распределения. На рис. 5.9, наряду с эмпирическими пред­ ставлены и аналитические кривые обеспеченности, соответствующие биномиальному закону распределения. Аналитические кривые по­

строены по параметрам (С®, Cv , Cs ) смоделированных рядов.

Хорошее совпадение эмпирических и аналитических кривых обеспе­ ченностей дает основание при обработке рядов, полученных мето­ дом статистических испытаний, использовать не всю совокупность величин, образующих статистический ряд коэффициентов вариации, а лишь статистические параметры этих рядов. Такой вывод был сде­ лан при рассмотрении выборочных оценок средних.

Для рядов, не обладающих внутрирядной связью, среднее ква­ дратическое отклонение выборочных коэффициентов вариации (Ocv), полученных методом статистических моментов, может быть

определено по формуле [18]

(5.54)

которая рекомендуется в «Указаниях по определению расчетных гидрологических характеристик» СН 435-72.

Впоследствии Е. Г. Блохинов [18] ввел поправку, установленную эмпирическим путем,

(5.55)

298

Рис. 5.9. Кривые обеспеченности выборочных коэффициентов вариации по данным моделируемых

методом Монте-Карло рядов (дс=1; Си=0,3; Cs= 0,6) с различными коэффициентами корреляции между смежными членами ряда.

/ — г - 0; 2 — г - 0 . 5 ; 3 — г - 0 . 7 ; 4 — г = 0,9.

где п —-объем выборки; С„ — коэффициент вариации величин ис­

ходного ряда.

Формула стандартных ошибок выборочных коэффициентов ва­ риации, полученных методом наибольшего правдоподобия, имеет вид

в «Указаниях по определению расчетных гидрологических харак­ теристик» СН 435-72. Формулы (5.54) — (5.56) соответствуют усло­ вию, когда внутрирядные связи отсутствуют, и получены примени­ тельно к соотношению CS = 2C„.

А. Ш. Резниковский [37] для выборочных Cv, полученных ме­

тодом моментов, опираясь на метод статистических испытаний, оце­ пил влияние внутрирядной корреляции для случая CS=2CV на ве­ личину ocv. Введя в зависимость (5.55) эмпирическую поправку,

Резниковский представил ее в виде

На основании указанного выше обширного материала, получен­ ного в ГГИ методом статистических испытаний, была произведена оценка формулы (5.57) в отношении возможности ее применения при соотношениях Cs/Cv ^=2 и при использовании в качестве исход­

ных законов распределения кривых Крицкого—Менкеля и бино­ миального закона. Указанное сопоставление выполнялось в отно­ шении коэффициентов вариации выборочных коэффициентов вариа­ ции, в связи с чем формула (5.57) применялась в виде

Результаты сопоставления показывают, что при отсутствии вну­ трирядной корреляции в исходном ряду (г = 0) и при CS = 2C'„ фор­ мула (5.58) показала хорошее согласование с данными статистиче­ ского моделирования. При исходных соотношениях, уклоняющихся от CS = 2CV, по формуле (5.58) получаются меньшие значения оце­

нок, чем оценки, полученные методом статистических испытаний. Это различие особенно существенно при малых п и больших значе­ ниях коэффициента вариации исходного ряда (Cv), отношения Cs/Cv и коэффициента внутрирядной корреляции (г). Для этих условий

эмпирическая поправка Резниковского, введенная в зависимость (5.55), должна быть уточнена. Впредь до завершения такого иссле­ дования оценку случайного рассеивания выборочных коэффициен­ тов вариации для соотношения CS¥=2CV и при наличии внутриряд­

ной корреляции можно осуществить, .используя данные, полученные методом статистических испытаний.

300

Коэффициенты вариации выборочных коэффициентов вариации (Cv ), полученные по выборкам, смоделированным с использова-

нием биномиального закона и распределения Крицкого—Менкеля при С8ф2Съ, различаются несущественно. Ряды выборочных коэф­

фициентов вариации имеют положительную асимметрию. Эта асим­ метрия увеличивается с возрастанием отношения Cs/Cv, Cv и г и

уменьшается с увеличением объема выборки. Отношение коэффи­ циента асимметрии к коэффициенту вариации выборочных коэффи­ циентов вариации (Csc /С„с ) увеличивается с возрастанием ис-

ходного коэффициента вариации.

оценка выборочных коэффициентов асимметрии

В качестве иллюстрации случайных рассеиваний выборочных коэффициентов асимметрии на рис. 5.10 представлены кривые обес­ печенности этого параметра. При построении указанных кривых обеспеченности использовано 600 значений Cs, полученных для вы­ борок, включающих каждая 25 членов; общий объем смоделиро­ ванной последовательности jV = 15 000; исходные параметры, приня­

тые при моделировании, следующие: х=1, С„ = 0,3, Cs= 0,6; коэф­ фициенты корреляции между смежными членами ряда принимались равными г= 0,0; 0,5; 0,7; 0,9.

Как и при исследовании смоделированных статистических сово­ купностей других параметров (среднего значения, коэффициента ва­

риации), были рассчитаны стандартные параметры (Cs, С» , Cs )

рассматриваемых совокупностей. На основании этих параметров построены биномиальные кривые обеспеченности (рис. 5.10), кото­ рые вполне удовлетворительно соответствуют распределению выбо­ рочных Cs.

На рис. 5.10 видно, что распределение выборочных коэффициен­ тов асимметрии обладает большим случайным рассеиванием, чем

ряды выборочных значений х и Cv. Это распределение характери­

зуется существенным отрицательным смещением, которое увеличи­ вается с увеличением коэффициента корреляции между смежными членами ряда. Отрицательное смещение выборочных коэффициентов асимметрии при отсутствии внутрирядных связей может быть уст­ ранено путем расчета несмещенной оценки (С8цесм) по одной из сле­ дующих формул:

(формула, применяемая американскими гидрологами),

301