книги из ГПНТБ / Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии

глава I

начальные сведения

из теории вероятностей

и математической статистики

§ 1

исходные положения, лежащие в основе применения методов теории вероятностей и математической статистики в гидрологии

Методы теории вероятностей и математической статистики ис­ пользуются в различных областях гидрологии. Однако наиболее широкое применение они получили при расчетах и прогнозах ха­ рактеристик речного стока.

При разработке проектов регулирования стока, при проектиро­ вании и эксплуатации гидротехнических сооружений, оросительных систем, мостовых переходов и при осуществлении других инженер­ ных мероприятий, связанных с использованием водных ресурсов, требуется количественно оценивать параметры речного стока, из­ меняющиеся во времени и по территории. Имеется в виду необхо­ димость определения величин средних годовых, максимальных и минимальных расходов воды, распределения стока внутри года, величины стока наносов и т. д.

Принимаемые для проектных разработок величины должны ха­ рактеризовать гидрологический режим используемого водного объекта на будущее — на период эксплуатации водохозяйственной установки, исчисляемый десятками и сотнями лет.

■ Очевидно, что суждение о возможных значениях в будущем тех или иных параметров гидрологического режима можно получить, лишь опираясь на материалы уже проведенных гидрометрических измерений за достаточно длительный период. При этом принци­ пиально возможно использовать три направления.

21

Первое из них заключается в детерминированном определении интересующей нас величины, при этом используются связи стока с обусловливающими его факторами.

Второе направление основано на совместном использовании ге­ нетических и статистических закономерностей, свойственных реч­ ному стоку и определяющим его факторам.

Третий путь связывается с непосредственным использованием статистических закономерностей, проявляющихся в рядах гидроло­ гических величин.

Прогностические построения, основанные на использовании ге­ нетических связей (первое направление), при современном разви­ тии гидрологии позволяют устанавливать величины гидрологиче­ ских характеристик с заблаговременностью, не превышающей нескольких месяцев. Причем точность таких оценок резко умень­ шается с увеличением заблаговременности прогноза.

Возможность прогностических построений некоторые исследова­ тели пытались установить, рассматривая ряды гидрологических величин как периодическую функцию времени. Основой такого представления о стоке является в первую очередь внутригодовой цикл изменения водности, т. е. чередование различных фаз стока, повторяющееся каждый год в одинаковой последовательности и в относительно мало смещающиеся моменты времени. Однако на­ личием годового цикла явление изменчивости стока не исчерпыва­ ется, поэтому в качестве второй причины этих изменений привлека­ ется представление о циклических колебаниях солнечной активно­ сти и других геофизических процессов. Полученные к настоящему времени в этой области результаты свидетельствуют, что еще не достигнуто решение вопроса о том, в какой степени гидрологиче­ ские величины являются определенными функциями времени и каким образом вид последних может быть установлен на основании материалов наблюдений.

Таким образом, следует считаться с тем обстоятельством, что установление хронологического хода какой-либо гидрологической характеристики на период, исчисляемый десятилетиями, в настоя­ щее время является неразрешенной задачей. Тем не менее, прог­ нозы гидрологических характеристик с меньшей заблаговремен­ ностью являются весьма важными, поскольку процесс эксплуата­ ции водохозяйственных установок они позволяют увязывать с ожидаемыми конкретными условиями водного режима. Прогно­ стические рекомендации также широко используются при планиро­ вании многих других хозяйственных мероприятий.

Совместное использование генетических зависимостей, связы­ вающих величины речного стока с определяющими его факторами, и статистических оценок параметров и аргументов этих связей является принципиально наиболее перспективным путем решения рассматриваемой задачи. Однако вследствие малой надежности генетических уравнений связи и слабой разработанности метода статистической композиции использование этого направления огра­ ничено. Наиболее часто оно применяется для расчета характери­

22

стик стока (в частности, максимальных и минимальных расходов воды различной обеспеченности) рек, не изученных в гидромет­ рическом отношении. При этом обеспеченность главного аргу­ мента связи и искомой величины принимается одинаковой, т. е. используется простейшая форма установления обеспеченности функции.

В современных условиях превалирующее значение приобрели приемы оценок расчетных значений гидрологических величин, опи­ рающиеся на статистические закономерности, свойственные рядам гидрологических величин. Возможность использования такого пути для получения расчетных значений параметров гидрологического режима опирается на гипотезу о том, что ряды рассматриваемых величин формируются как случайные совокупности.

Принятие гипотезы о подчинении колебаний гидрологических величин закономерностям колебаний, свойственным случайным числам, означает, что привязка ко времени появления той или иной величины (например, в наблюдаемой последовательности) оказывается несущественной, случайной. Для описания свойств совокупностей таких величин используется путь, связанный с изу­ чением существующих закономерностей в повторяемости различ­ ных значений этих величин в пределах достаточно большой сово­ купности.

Это положение о случайном характере формирования гидроло­ гических рядов не может быть полностью доказано теоретически, однако применительно к рядам речного стока (годового, макси­ мального) оно неоднократно подвергалось проверке путем оценки соответствия эмпирических кривых обеспеченностей стока теорети­ ческим схемам.

Результаты такого анализа, рассматриваемые в главе IV, сви­ детельствуют о правомерности использования статистического на­ правления в качестве основы многих приемов гидрологических расчетов.

Теоретическими положениями, привлекаемыми для обоснования возможности рассматривать ряды различных гидрологических вели­ чин как совокупности случайных событий, являются так называе­ мые предельные теоремы теории вероятностей.

числе случайных однородных явлений средний их результат прак­ тически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

Указанное свойство случайных явлений проявляется достаточно отчетливо и в рядах гидрологических величин в том смысле, что по мере увеличения числа членов совокупности кривая обеспечен­ ности получает устойчивое очертание. Конкретные примеры по этому вопросу приведены в главе V.

Второе положение сводится к так называемой центральной предельной теореме, согласно которой явления (события), возника­

ющие под воздействием суммы или произведения большого числа

23

независимых (слабо зависимых) случайных факторов, образуют случайную совокупность, подчиняющуюся определенным статисти­ ческим законам.

Очевидно, что многие гидрологические явления могут рас­ сматриваться как удовлетворяющие этой схеме.

Действительно, рассматривая условия формирования какойлибо гидрологической характеристики, например максимального расхода воды весеннего половодья, можно легко установить, что возникновение этого явления происходит ежегодно в форме опре­ деленной детерминированной закономерности. Однако величина максимального расхода воды в данном конкретном году формиру­ ется под влиянием очень большого числа факторов, определяющих величину запасов воды в снеге, степень увлажненности водосбора, количество осадков, выпадающих в виде дождей в период форми­ рования максимального расхода воды, хода интенсивности снего­ таяния и т. д. Под воздействием указанных и иных причин прояв­ ление в данном конкретном году известной закономерности приобретает уже форму случайного события.

Опираясь на указанные статистические положения, следует иметь в виду, что они предполагают отсутствие односторонних из­ менений в условиях формирования рассматриваемого гидрологиче­ ского явления или сохранение относительной устойчивости средних значений рассматриваемой величины в пределах каждой достаточно большой совокупности (в частности, за каждое n-летие достаточ­ ной длительности). Если условия формирования меняются одно­

коррективы. Очевидно, что указанные коррективы имеет смысл осу­ ществлять, если те или иные односторонние изменения в условиях формирования столь значительны, что сказываются на величинах рассматриваемых гидрологических параметров в размерах, выхо­ дящих за пределы точности расчета.

Считая положение среднего уровня неизменным, исходят из того, что выводы, получаемые на основе анализа имеющихся рядов гидрологических величин, относятся к современной геологической и климатической эпохе, поскольку изменения, связанные с геологи­ ческой историей земли (и соответствующие изменения климата), осуществляются в периоды, далеко превосходящие отрезки времени, рассматриваемые в инженерных расчетах. Поэтому имеющийся ряд фактических измерений рассматривается как некая выборка из генеральной совокупности, включающей теоретически бесконечно

большое число величин интересующей нас гидрологической харак­ теристики. При этом имеющаяся выборка должна быть репрезен­ тативной, т. е. достаточно представительной для всей генеральной совокупности. Иначе говоря, она должна достаточно полно осве­ щать многоводные, маловодные и средние по водности годы, если рассматривать характеристики речного стока. Аналогичным обра­ зом должны быть сформированы и ряды иных гидрологических

.24

величин, для оценки которых привлекаются методы теории вероят­ ностей.

Следующим важным условием применимости методов теории вероятностей в гидрологии является требование соблюдения одно­ родности включенных в одну совокупность гидрологических величин. В частности (применительно к характеристикам речного стока), это выражается прежде всего в отборе генетически одно­ родных величин стока (расходов воды), включенных в одну совокупность. Показателем такой однородности может служить принадлежность рассматриваемых величин стока к одной фазе внутригодового цикла изменения водности. В этом смысле иногда используется понятие о фазовооднородных расходах воды. Вслед­ ствие колебания по годам дат начала и окончания различных фаз внутригодового цикла выборка указанных фазовооднородных вели­ чин стока не может быть жестко связана с этими датами, а осуще­ ствляется, исходя из оценки их генетической однородности, по существу.

Так, к генетически однородным относят максимальные расходы воды весеннего половодья, дождевые паводки, объемы стока за одинаковые фазы года (весна, межень), годовые величины суммар­ ного стока и его различных частей (поверхностного, подземного) и т. д.

§ 2

простейшие способы обобщения статистических данных

Результаты гидрологических измерений и наблюдений могут быть представлены в табличном, графическом или аналитическом видах.

Многочисленные примеры можно найти в Гидрологических ежегодниках, в монографиях «Ресурсы поверхностных вод СССР» и других изданиях, в которых представлены данные об элементах гидрологического режима рек с различной степенью их обобщения. Сводки этих данных уже сами по себе являются примером описа­ тельной статистики. Часто основная исходная информация заклю­ чена в громоздких по объему таблицах. В этом случае использо­

информации (вычисление средних величин, сводка экстремальных значений по тому или иному элементу гидрологического режима

И др.).

Более полное и вместе с тем более компактное представление данных гидрологических наблюдений может быть осуществлено на основании использования методов математической статистики, ко­ торая является наукой количественного анализа массовых явлений, учитывающих одновременно и качественное их своеобразие.

25

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих приемы, используемые при статистической обработке гидрологических дан­ ных, и одновременно введем некоторые статистические понятия и определения.

Таблица 1.1

Среднегодовые расходы воды р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки

В табл. 1.1 представлены результаты наблюдений за средне­ годовым стоком р. Днепра в створе у пгт Лоцманской Каменки с 1818 по 1962 г. Для лучшей обозримости результатов наблюде­ ний и для более удобного их представления при дальнейшей обра­ ботке исходные данные обычно сводятся в сгруппированные таблицы. Для этой цели из табл. 1.1 выбираются наибольшее

26

(QiviaKc) и наименьшее (Qmhh) значения расходов и вычисляется между ними разность (R), которая называется амплитудой, или

размахом варьирования,

R = С?макс — Qmhh= 3040 — 717=2323 м3/с.

Общую амплитуду колебания случайной величины можно раз­ делить на отдельные части, за границы между которыми прини­ маются некоторые характерные точки (величины) ряда. Так, деля ряд случайных величин, расположенных в убывающем порядке, на четыре части, выделяют квартили: верхнюю, или первую, представ­

ляющую то значение переменной, ниже которой находится 3Д чи­ сла членов совокупности, вторую, занимающую положение по се­ редине ряда, и нижнюю, или третью, ниже которой находится iU

членов совокупности. Нередко осуществляют более дробное деление амплитуды на части, выделяя ее десятые доли. Значения случай­

ных величин, располагающихся на этих границах, именуют деци-

лями.

В общем случае принимая статистическую совокупность как не­ прерывно распределенную в пределах всей амплитуды, имеется воз­ можность рассматривать любые участки этой совокупности, заклю­ ченные между произвольно назначенными границами. В этом слу­ чае любые (в том числе и вышеуказанные) значения переменной, принимаемые за определенные характерные (по условиям задачи) точки, именуют квантилями.

Полученную амплитуду можно разбить на интервалы, или гра­ дации, н подсчитать число попаданий варьирующего признака (рас­ ходы воды) в каждую градацию. Эти интервалы могут быть равные и неравные по величине. В гидрологии чаще используются равные по величине градации. Число градаций обычно назначается в зави­ симости от объема рассматриваемого материала так, чтобы отра­ зить типичные черты рассматриваемого ряда наблюдений. При этом с увеличением длины интервала число попаданий исследуемой пере­ менной в каждый интервал будет возрастать, что увеличивает ста­ тистическую надежность представляемого материала. Но при не­ большом объеме наблюдений и при большой длине интервала число градаций будет небольшое, и тем самым могут оказаться снивели­ рованными типичные черты того или иного ряда наблюдений. При уменьшении длины интервала число попаданий в них будет умень­ шаться и возникает опасность появления закономерностей, не свой­ ственных данному статистическому ряду. Для грубой оценки числа

наблюдений.

Заметим, что подобные формулы не представляют общего пра­ вила и поэтому могут рассматриваться лишь в самом первом при­ ближении, когда никакой дополнительной информации, кроме ис­ следуемого ряда наблюдений, не имеется и когда объем исходных данных не слишком большой и не слишком малый. При малом объеме статистических данных группирование по интервалам

27

случаев попадания расхода воды в каждую градацию. Очевидно, что сумма случаев по всем градациям равна общему числу лет на­ блюдений. Составленная таким образом таблица называется табли­ цей эмпирического распределения, или таблицей абсолютных ча­

стот. Выражая абсолютные частоты в процентах от общего числа случаев, получаем распределение относительных частот (строка 2 табл. 1.2), последовательно суммируя которые, получаем абсолют­ ные и относительные накопленные частоты (строки 3 и 4 табл. 1.2).

а м 3/с

пра у пгт Лоцманской Каменки наблюдаются в диапазоне 1500— 1700 м3/с; с уменьшением и увеличением расходов воды число случаев закономерно уменьшается, не считая отдельных отклоне­ ний от этого правила, которые могут быть отнесены к случайным колебаниям (флуктуация).

Данные табл. 1.2 можно представить в виде графика (рис. 1.1), на котором по оси ординат отложены принятые градации расходов воды, а по оси абсцисс в виде прямоугольников — относительные частоты. Здесь же в форме плавной кривой показано нарастание от­ носительных частот. Нарастающая сумма частот относится к боль­ шему значению каждого интервала.

Полученный график относительных частот называется гисто­ граммой, а график относительных накопленных частот — огивой, или кумулятивной кривой. Табличное и графическое изображение частот называется- эмпирическим распределением, в данном случае

годового стока р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки.

29