книги из ГПНТБ / Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии

корреляции преобразуется в ряд, обладающий внутрирядной кор­ реляцией. Используя обеспеченности членов такого преобразован­ ного ряда в качестве аргументов, через закон гамма-распределения воспроизводят ряд случайных величин, отвечающих этому закону и обладающих внутрирядной связанностью. Это предложение рас­ смотрено Н. А. Картвелишвили [61] и Г. А. Алексеевым [9]. Наибо­ лее подробно эта схема рассмотрена Г. Г. Сванидзе [129]. Приме­ няя ее более широко, в частности, для группового моделирования гидрологических рядов, Сванидзе называет ее унифицированной методикой статистического моделирования.

2 . Используется совокупность равномерно распределенных слу­

чайных величин (обеспеченностей); эта совокупность преобразуется с помощью специально разработанного И. О. Сармановым [118] аппарата корреляции в ряд, обладающий внутрирядной связанно­ стью. Ряд величин, преобразованных указанным способом, по за­ кону гамма-распределения трансформируется затем в статистиче­ скую совокупность, подчиняющуюся этому распределению. Эта модель широко используется Д. Я. Ратковичем [95—97] при иссле­ довании группировок лет различной водности.

3. Статистическая совокупность случайных величин, подчиняю­ щаяся гамма-распределению, преобразуется в ряд, обладающий внутрирядной связанностью. Преобразование осуществляется с помощью аппарата гамма-корреляции. Эта модель разработана Е. Г. Блохиновым и И. О. Сармановым [25, 118] и использовалась в дальнейшем Блохиновым при исследовании законов распределе­ ния выборочных оценок параметров.

4. В ряд, обладающий внутрирядной связанностью, преобразу­ ется исходная статистическая совокупность, подчиняющаяся гаммараспределепию. Преобразование осуществляется с помощью аппа­ рата нормальной корреляции (предложение Крицкого—Менкеля). Эта так называемая регрессионная модель широко использовалась А. Ш. Резииковским и другими [37] при оценке параметров рас­ пределения и выполнении водноэнергетических расчетов.

Вообще говоря, выбор того или иного способа статистического моделирования должен прежде всего основываться на изучении эмпирических рядов, в частности рядов речного стока, для которых и составляются статистические модели. Не опираясь на материалы фактических наблюдений, из чисто умозрительных заключений, трудно отдать предпочтение тому или иному способу моделирова­ ния. Не подвергая этот вопрос специальному анализу, изложим ре­ зультаты применения регрессионной модели, использованной в ГГИ для выполнения многочисленных расчетов по оценке законов рас­ пределения выборочных параметров и ординат кривых обеспечен­ ностей.1

281

Смысл уравнения (5.36) выясняется из следующих рассужде­ ний. Вследствие наличия корреляционной связи между членами статистической совокупности ряды величин хг-.ц и х* можно рас­ сматривать как две совокупности, связанные линейным уравне­ нием регрессии

Здесь х,+1,уел—-условное математическое ожидание (среднее

значение) ряда величин хг+ь соответствующих заданному значе­ нию Xi\ o*i+1, о*— безусловные средние квадратические отклоне­

ния рядов величин хг-+1 и хг-; х,+ь х*— безусловные математические ожидания (средние значения) рядов величин хш и х*; ritM — ко-,

эффициент корреляции между членами рядов, образованных из ве^

Л И Ч И Н Xi И Хг+1.

Поскольку рассматривается корреляция между членами неко­ торого ряда, смещенными на один порядковый номер (xj и Х ш ) , то

ставляют собой условное математическое ожидание члена кш в за­ висимости ОТ k f .

При моделировании рядов, обладающих внутрирядной корреля­ цией, необходимо учесть случайное рассеивание вокруг указанного

условного математического ожидания (ki+i, усл). Это рассеивание

определяется условной кривой обеспеченности, параметрами кото­ рой являются:

чайной переменной относительно условного математического ожи­ дания. Имея в виду (5.39) и (5.40), уравнение (5.36) можно пред­ ставить в виде:

^и-1= ^ (+ 1+ С г,услФ/+1. -

Вгидрологической литературе рассмотренную схему иногда на­ зывают моделированием внутрирядно связанных величин с исполь­

282

зованием аппарата нормальной корреляции. Указанное название связано с тем, что в данном способе моделирования условная дис­ персия принимается постоянной по равенству (5.40), что, строго говоря, справедливо для нормально распределенных совокупно­ стей.

В частном случае, когда рассматриваются ряды, не обладающие внутрирядной связанностью (г», i+i = 0), уравнение (5.37) прини­ мает обычный вид

для безусловной кривой обеспеченности, об использовании которой для моделирования случайных чисел сказано выше.

Техника моделирования случайной последовательности, обла­ дающей внутрирядной связанностью и подчиняющейся заданному

Генерирование равномерно распределенных случайных чисел в интервале от 0 до 1 осуществлялось по программе, предложенной

В. С. Губенко и А. И. Черкуновым, изложенной в книге В. Д. Ля­ щенко [86]. Длина отрезка апериодичности равна 233— 1 = = 8 589 934 591, т. е. датчик имеет практически бесконечный период,

и, следовательно, используя данную программу, можно получить случайный равномерно распределенный ряд чисел практически бесконечной длины. Ввиду того что таблицы трехпараметрического

Указанное преобразование осуществляется потому, что при до­ статочно больших N в зоны обеспеченностей 0,0—0,001% и 99,9— 10 0 % может попадать сколь угодно много случайных чисел, в то

время как используемые таблицы трехпараметрического гаммараспределения и биномиального закона эти интервалы обеспечен­ ностей не включают.

Принимая полученные равномерно распределенные случайные числа в интервале (0,001—99,9%) за обеспеченности в процентах, входим с ними в таблицу трехпараметрического гамма-распреде­ ления (или биномиального закона) при заданных С* и Cs/Cv

и определяем модульные коэффициенты. Затем по уравнению (5.36)

283

рассчитываем моделированный ряд, отвечающий исходным пара­

к вполне достаточной точности интерполяции. Расчет по рассмот­ ренной схеме выполнялся на ЭВМ. Алгоритм программы расчетов

Маркова, соответствующей трехпараметрическому гамма-распреде­ лению или биномиальной кривой обеспеченности2. Для этой цели

вЭВМ вводятся:

1Работа выполнена под руководством А. В. Рождественского. Программа составлена В. М. Зверевой.

2Биномиальная кривая обеспеченности рассматривается так же, как трех­

параметрическое распределение при С ,^2С „.

284

а) стандартные параметры распределения (среднее арифмети­ ческое значение х*, коэффициент вариации С* и асимметрии С*

ное таблицами Блохинова—Никольской, или таблица биномиаль­ ного закона распределения;

285

которые при счете на ЭВМ выражались через начальные моменты. Следовательно, в результате расчетов на: данном этапе получаем

Хр 1)

деления или биномиального распределения. Для этой цели исполь­ зуются параметры Xj, Cv . от / = 1 до }= L, получаемые на втором

286

этапе расчета. Значение коэффициента асимметрии принимается для распределения Крицкого-—Менкеля по нормативному соотно­ шению с коэффициентом вариации (Cs = kCv). Следовательно, ис­

97; 99; 99,5; 99,7; 99,9%. Для биномиального же закона распределе­ ния предусматривается расчет с использованием двух (х, Cv и Cs =

—kCv) и трех свободно назначаемых параметров (х, Cv, Cs)■

Взаключение по формулам (5.44) — (5.46) определяются выбо­ рочные параметры ординат трехпараметрического гамма-распреде­

(определяющих исходную таблицу трехпараметрического гаммараспределения или таблицу биномиального распределения, которые также вводятся в ЭВМ), г* и, наконец, N, определяющее число

выборок L — N/n.

В результате расчетов выдаются на печать следующие харак­ теристики:

1. Параметры распределения (хлг, CVn , CsN ) и коэффициент

корреляции между смежными членами ряда (гщг+р^ ) по модели­

рованной последовательности заданного объема N. На основании

этой информации производится оценка качества моделирования пу­ тем сравнения полученных параметров с заданными. При этом за­

параметры генеральной совокупности, a xN, CgN , CSn, rN— выбо­

рочные параметры по ряду конечного объема N. При достаточно большом N заданные и рассчитанные параметры будут отличаться

на сколь угодно малую величину, и тогда моделированная после­ довательность объема N приближенно может приниматься за гене­

ральную совокупность.

2. Стандартные параметры выборочных параметров распреде­

287

щенность выборочных параметров. Случайные средние квадратиче­ ские погрешности выборочных параметров распределения задан­

нат при Р = 0,001; 0,0 1 ; ...; 99,9%. Смещенность ординат кривой

обеспеченности может быть установлена путем сравнения таблич­ ного (истинного) значения х* с рассчитанным хр. Зная параметры

распределения ординат кривой обеспеченности и применяя гаммараспределение в качестве закона, описывающего колебания выбо­ рочных ординат, легко установить любые доверительные границы для всех принятых обеспеченностей, или, в конечном счете, довери­ тельные границы для распределения Крицкого—Менкеля или би­ номиального, описывающего выборочные данные конечного объ­ ема. Заметим, что подобные доверительные границы по данной про­ грамме реализуются при двух свободно назначаемых параметрах

(х, Cv) и при фиксированном отношении Cs/Cv для распределений

Крицкого—Менкеля и биномиального, а также при трех свободно

назначаемых параметрах (х, Cv, C.s) для биномиального закона.

Реализация рассмотренной программы для различных исходных параметров х*, С*, С*, г* , п и N может вскрыть статистиче­

ские закономерности, точная оценка которых на основе аналитиче­ ского анализа не получена или настолько сложна, что этот путь не может быть практически использован при решении статистических задач. Следует также учесть, что точность решений на основе ста­ тистического моделирования, вообще говоря, может быть сколь угодно высокой, что достигается назначением достаточно боль---

того N. Однако при постановке подобных численных эксперимен­

тов обычно приходится искать оптимальные условия, при которых и погрешности решения не будут слишком велики, и реализация программы даже на современных быстродействующих цифровых машинах будет практически возможной. Отметим, что программой

чены значениями этих параметров, приведенными в таблицах Бло-

288

§ 5

результаты оценок выборочных параметров распределения

Как было отмечено в § 3, определить статистические оценки па­ раметров законов распределения в полном объеме (т. е. в зависи­ мости от объема выборки, изменчивости и асимметрии ряда при различных значениях коэффициента внутрирядной корреляции) на основе аналитического анализа не удается. Такие оценки возможны на основе использования метода статистических испытаний. Приво­ димые ниже основные выводы, полученные в этом направлении, опираются на статистическое моделирование, выполненное по про­ грамме, изложенной в § 3. При реализации этой программы ряды представлялись в форме модульных коэффициентов. В этом слу­

1,0, коэффициенты асимметрии — Cs= 0; CS = CV; CS=2CT; CS = 3CV; CS = 4CV, коэффициенты корреляции между смежными членами

ряда — 0,0; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9. Выборки включали следующее число членов: 10, 25, 50, 100 и 200. Общее число вариантов расчета со­ ставило 500 для каждого испытанного распределения (Крицкого— Менкеля и биномиального) и 125 вариантов, относящихся к нор­ мальному распределению (С5 = 0).1

Полученный материал, весьма полно освещающий рассматри­ ваемый вопрос, будет опубликован в специальных научных изда­ ниях. Здесь приведем лишь основные выводы.

оценка выборочных средних

В § 2 настоящей главы отмечалось, что средняя арифметическая представляет собой состоятельную, несмещенную, достаточную и эффективную оценку математического ожидания (х0), или нормы, по принятой в гидрологии терминологии. Средние арифметические

значения (х ), полученные по многочисленным выборкам, входя­

щим в состав генеральной совокупности независимых величин,

1 Расчеты осуществлялись В. М. Зверевой и М. В. Зориным на ЭВМ типа

М-220. В анализе и обобщении результатов расчетов принимала участие В. М. Зверева.

подчиняющейся нормальному закону распределения, образуют ряд, также распределенный нормально, с параметрами:

где <т~ — среднее квадратическое отклонение ряда, составленного из

величин х; ох — среднее квадратическое отклонение генеральной со­ вокупности; п — число членов в выборке.

Приблизительно нормальный закон распределения выборочных средних сохраняется и для выборок, уклоняющихся от нормального распределения, если объемы выборок достаточно велики.

Для статистических совокупностей, обладающих внутрирядной корреляцией между смежными членами (простая цепь Маркова), Крицкий и Менкель [78] получили зависимость

Л ( л - 1 ) (1 =75 (— £ f )

где г — коэффициент корреляции между смежными членами ряда.

Остальные обозначения указаны выше. При г= 0 формулы (5.48) и (5.49), очевидно, совпадают. При малых значениях г формула

(5.49) может быть представлена в виде приближенной зависимости

рекомендуемой для практического применения.

Иллюстрация интегральных законов распределения выборочных средних представлена на рис. 5.6.

Кривые обеспеченности, изображенные на рис. 5.6, построены на основании рядов, смоделированных методом статистических испы­

таний при исходных параметрах1: х —1; Cv= 0,3; Cs=0,6; п=25; N=

= 15 000; Д= 600; ru i +1= 0,0; 0,3; 0,5; 0,9.

Результаты моделирования показывают, что выборочные сред­ ние арифметические при всех исходных параметрах практически не имеют смещения (все кривые обеспеченности пересекаются в точке

х=1 при Р = 50%). Дисперсия выборочных средних увеличивается

с увеличением коэффициента корреляции между смежными членами ряда. Распределение выборочных средних имеет положительную асимметрию, которая увеличивается с возрастанием г.

На рис. 5.6 одновременно с эмпирическими кривыми обеспечен­ ности представлены аналитические биномиальные функции распреде­ ления. Аналитические функции построены на основании параметров

1 По техническим причинам здесь и В дальнейшем при изображении кривых обеспеченностей нанесены не все точки.

.2 9 0