книги из ГПНТБ / Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии

В этом уравнении х0— среднее значение; у и b — параметры, свя­

занные с коэффициентом изменчивости С„ и коэффициентом асим­ метрии Cs следующими уравнениями:

где Г (у), Г(у + Ь) и т. д .—-символы гамма-функции соответствую­ щих аргументов.

Как видно из уравнения (5.26), рассматриваемое распределе­ ние характеризуется тремя параметрами: средним значением Хо,

коэффициентом вариации С„ и коэффициентом асимметрии Cs. Для этих параметров и требуется установить оценки наибольшего прав­

доподобия.

Образуем функцию правдоподобия (5.14), для чего предвари­ тельно найдем логарифмы величин Р, (х{, х0, у, Ь)

+ “Г 1п Г(Г ( У ) - ln I Ь | - 1п Г (т) - In х 0.

В таком случае функция правдоподобия (в логарифмической форме) примет вид

Для последующего анализа удобнее иметь дело со средним гео­ метрическим значением плотности вероятностей рассматриваемой выборки, т. е. с величиной L' = (L)lln, где п — объем выборки. Это

преобразование функции правдоподобия не вносит принципиаль­ ного изменения в искомые оценки параметров. Учитывая указанно^ замечание, уравнение (5.29) можно записать в виде

Для получения зависимостей, позволяющих определить по ме­ тоду наибольшего правдоподобия интересующие нас параметры (хо, у, Ь), продифференцируем выражение (5.30) последовательно

270

Г(7 + 6) 1

Г (7) J

где

фициента асимметрии (Cs). Ввиду того что рассмотренный прием оценки параметров Хо, Cv и Са хотя и является в принципиальном

отношении вполне строгим, однако приводит к технически трудно разрешаемым трансцендентным уравнениям (5.31), ограничимся приведенными сведениями по общей схеме решения, не вдаваясь в дальнейшие детали математических образований. Указанное тем более целесообразно, что Е. Г. Блохинов [22] разработал на прин­ ципе наибольшего правдоподобия упрощенные способы оценки па­ раметров трехпараметрического гамма-распределения. Точность оценок, получаемая упрощенным методом, мало отличается от оце­

271

б) для оценки коэффициента изменчивости С„ при произволь­ ном фиксированном отношении Cs/Cv. При этом, конечно, устанав­ ливается и оценка хо.

В целях упрощения основной полной схемы Блохинов предло­ жил вместо указанных выше статистик Яь Я2 и Я3 использовать ста­

Использование первой из приведенных статистик означает, что в качестве оценки среднего х0 принимается среднее арифметиче­

ское х, в то время как в соответствии со статистикой Ях в качестве измерителя выборочной оценки параметра Хо используется среднее

степенное. В § 2 показано, что такая оценка среднего является достаточно эффективной для многих законов распределения, включая и трехпараметрическое гамма-распределение. Вторая ста­ тистика Я2, как видно, полностью соответствует ее оценке, вытекаю­ щей из полной схемы применения метода наибольшего правдоподо­ бия для определения параметров трехпараметрического гамма-рас­ пределения. Третья статистика Я' в рассматриваемом варианте

Для связи новой третьей статистики Я' с коэффициентом асим­ метрии Блохинов получил уравнение

Совместное рассмотрение уравнений (5.32) и (5.33) позволяет образовать систему:

272

ров у и Ь. Зная величины у и Ь, по уравнениям (5.27) и (5.28) можно перейти к оценкам параметров Cv и Cs. Даже при указан­

ном упрощении схемы использования метода наибольшего правдо­ подобия решение системы (5.34) для каждой выборки может быть получено лишь подбором и связано с громоздкими вычислениями. Поэтому, чтобы получить возможность практического использова­ ния рассмотренного приема, Блохинов построил номограммы. По оси абсцисс номограмм отложено значение л', по оси орди­

нат— значение У. Точка пересечения значений Я2 и Я' определяет

величины искомых параметров Cv и Cs.

Номограммы построены для диапазона С„= 0,25ч-1,5. Однако учитывая, что оценки методом наибольшего правдоподобия и ме­

= 0,5-=-1,5 при Cs/Cv= 1-4-6.

Смысл применения рассмотренного упрощенного приема оценки параметров трехпараметрического гамма-распределения вытекает из следующего. Как видно в системе уравнений (5.31), статистики

Рис. 5.1. Номограмма для определения параметров С» и Cs трехпарамет­ рического гамма-распределения методом наибольшего правдоподобия.

276

построенной путем подбора применительно к условию, записанному в форме уравнения (5.35).

Рассмотрим порядок использования упрощенного способа оценки параметров трехпараметрического гамма-распределения. Расчет по методу наибольшего правдоподобия параметров ряда максимальных расходов воды р. Тисы у с. Делового (Д=1190 км2) представлен в табл. 5.1.

На основании статистик Я2 и А,з по номограмме (рис. 5.1) опре­

деляем: С„= 0,51, CS = 5C„ = 2,55. По статистике Я2, используя дан­ ные табл. 5.1, можно определить величину Cv, если принять неко­ торое фиксированное отношение Cs/Cv. Имея в виду, что в данном

случае ведется расчет максимальных расходов дождевых паводков, принимаем Cs = iC v, в таком случае при Я2= —0,044 имеем Cv=

= 0,49.

§ 4

применение метода статистических испытаний для оценки параметров распределения

Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло) находит все большее применение в гидрологических расчетах. Этому спо­ собствует реализация метода на электронных вычислительных ма­ шинах (ЭВМ). Впервые в советской гидрологической литературе основные принципиальные положения статистического моделирова­ ния были рассмотрены С. Н. Крицким и М. Ф. Менкелем, однако широкое применение этого метода в расчетах речного стока нача­ лось с исследований Г. Г. Сванидзе [123]. Исследование группиро­ вок маловодных и многоводных лет с использованием моделируе­ мых методом статистических испытаний гидрологических рядов предпринял В. Г. Андреянов и другие [1]. Впоследствии это напра­ вление было развито Д. Я. Ратковичем [95—97]. Е. Г. Блохинов [18, 20, 22] и А. Ш. Резниковский [37] использовали метод стати­ стических испытаний для получения распределения выборочных оценок стандартных параметров (среднего значения, коэффициен­ тов вариации и асимметрии).

В исследованиях Блохинова основное внимание уделяется сравнению распределений выборочных оценок, вычисленных мето­ дами моментов и наибольшего правдоподобия, а в работах Резниковского изучается влияние степени связанности гидрологических рядов на выборочные оценки их стандартных параметров. Блохи­ нов [20], кроме того, исследовал особенности распределений орди­

нат кривых обеспеченностей трехпараметрического гамма-распре­ деления при выборочной оценке двух (х, С„ при фиксированном

отношении Cs/Cv) и трех (х , С„, Cs) параметров. При этом, как и

ранее, для выборочных оценок параметров Блохинов проводит

277

сравнение распределений выборочных оценок ординат кривых обе­ спеченности, полученных методами моментов и наибольшего прав­ доподобия. Для такой сравнительной оценки 100 выборок вполне достаточно. Однако для выяснения случайных ошибок ординат кри­ вых обеспеченностей не в форме сравнения двух методов их полу­ чения, а в виде абсолютных величин, указанное число выборок уже недостаточно. Такое суждение необходимо основывать на зна­ чительно большем числе выборок, чтобы получить допустимую слу­ чайную ошибку рассматриваемой варьирующей величины. Поэтому 3. Ф. Волкова [39] выполнила оценку случайных ошибок ординат гамма-распределения, доведя число выборок до 1000. Она исполь­ зовала выборки различного объема (« = 25,5 и 100); исследование проведено для соотношения CS = 2CV. Оценка параметров распре­

деления осуществлялась методами моментов и наибольшего прав­ доподобия.

Исследования Блохинова, Резниковского и других, опираю­ щиеся на метод статистических испытаний, имели важное методи­ ческое и практическое значение, но рассматриваемую задачу вы­ яснения точности статистической оценки параметров законов рас­ пределения случайных величин решают лишь для некоторых частных случаев. Так, Блохинов исследовал совокупность внутрирядно не связанных величин. Резниковский внутрирядную корреля­ цию учитывал для частного случая г = 0,3 и 0,5 и только примени­ тельно к соотношению CS — 2CV. Учитывая, что внутрирядная кор­

реляция оказывает существенное влияние на смещенность оценок параметров и особенно на величину случайных их колебаний, це­ лесообразно было осуществить более полное исследование влияния этого параметра (г,, г+i) на законы распределения гидрологических параметров.

Важным следствием наличия внутрирядной связанности явля­ ется систематическое преуменьшение (отрицательная смещенность) выборочных оценок некоторых параметров статистической совокуп­ ности. Влияние внутрирядной связанности на структуру модели­ руемых последовательностей иллюстрирует рис. 5.2. В качестве ис­

ходных параметров при моделировании принято: д: == 1,0; С. = 0,3; Cs= 0,6; п, ,+1 = 0,0; 0,3; 0,6; 0,9. Общий объем совокупности N =

= 100, выборок п=10. Наличие корреляционной связи между смеж­ ными членами ряда понижает репрезентативность выборки задан­ ной численности и приводит к получению смещенных значений вы­ борочных параметров по сравнению с параметрами генеральной совокупности. Непосредственной причиной этих искажений явля­ ется то обстоятельство, что возрастание связи между членами ряда приводит к сглаживанию колебаний в пределах относительно мало­ численных выборок (коротких отрезков времени). Следствием этого является накопление отклонений одного и того же знака, входящих в случайную выборку ограниченной численности. В результате та­ кого накопления отклонений определение среднего значения ряда, обладающего внутрирядной связанностью, может быть выполнено

278

с меньшей точностью, чем по выборке независимых величин такой же численности. Кроме того, на распределение оценок некоторых параметров (коэффициента вариации и особенно коэффициента

Рис. 5.2. Моделируемые методом статистических испытаний последо­ вательности при различных коэффициентах корреляции между смеж­ ными членами ряда.

асимметрии) существенное влияние оказывает величина коэффици­ ента асимметрии или отношения Cs/Cv. Учет этого обстоятельства

также необходим при достаточно полном анализе точности стати­ стической оценки параметров распределения величин, изучаемых гидрологией. Поскольку аналитическое решение рассматриваемой

279

метод статистических испытаний выступает в качестве основного оперативного средства решения рассматриваемой задачи в общей ее постановке.

Статистическое моделирование случайной независимой совокуп­ ности, подчиняющейся определенному закону распределения, по схеме, принятой в гидрологических и водохозяйственных расчетах, осуществляется достаточно просто. Для этого совокупность равно­ мерно распределенных случайных чисел принимается за обеспечен-

X

Рис. 5.3. Схема, иллюстрирующая преобра­ зование равномерного закона распределения в любое заданное распределение.

пости, исходя из которых по заданной кривой обеспеченности опре­ деляются значения величин случайной последовательности с задан­

280