книги из ГПНТБ / Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии

для значений обеспеченности р* = 100— р и при положительном значении коэффициента асимметрии С* = | Cs I. В соответствии с по­

следним выражением ординаты биномиальной кривой обеспеченно­ сти вычисляются по формуле

Из условия совпадения кривой обеспеченности с тремя опорными точками эмпирической кривой обеспеченности хь, х50, *95 получаем

следующие три уравнения:

Далее находим формулы для определения среднего квадратиче­ ского отклонения и среднего значения:

Установив указанным образом параметры статистической сово­ купности и используя таблицу биномиальной кривой обеспеченно­ сти, легко подсчитать величины различной обеспеченности.

Применительно к логарифмически-нормальному закону распре­

деления графоаналитический способ определения параметров осно­ ван на следующих положениях.

Как показано в § 9 главы II, асимметричный закон распределе­ ния вероятностей xP = f(p) можно трансформировать в нормальный

где z —x — а. Для осуществления такого преобразования необхо­

димо определить величину параметра а, использование которого позволит на клетчатке вероятностей нормального закона распреде­ ления представить асимметричное распределение в виде прямой.

В качестве простейшего элементарного приема для определения

180

величины а можно использовать способ подбора этого параметра,

исходя из условия спрямления эмпирической кривой обеспеченности

на клетчатке вероятностей логарифмически-нормального распреде­ ления. Эта клетчатка, как показано ранее, имеет логарифмическую шкалу ординат у = lg (x — а) и шкалу нормального закона распре­ деления по оси абсцисс tp = f(p). Эта шкала соответствует таблице

нормированных отклонений от среднего значения

Величина у совпадает в данном случае с медианной величиной (/so, поскольку новая статистическая переменная у подчиняется нор­

мальному закону распределения.

Из выражения (3.40) следует, что в координатах у Р и tp лога-

рифмически-нормальная кривая распределения выражается урав­ нением прямой

Ур—Уво+Зу^,. (3.42)

Очевидно, что уравнение (3.42) относительно исходной перемен­

Приведенные распределения, и в частности уравнение (3.43), позволяют, не применяя способа подбора, однозначно решить за­ дачу о назначении параметра а с помощью трех опорных ординат А’г,%’ л’5о% А95%' снятых со сглаженной эмпирической кривой обес­ печенности xP — f(p). Для этого уравнение (3.43) запишем относи­

тельно указанных опорных ординат:

Сложив левые и правые части приведенных уравнений и приняв во внимание, что ^5=1,64, t95= — 1,64, для нормального закона рас­

пределения получим

lg (*s - a) f lg (х95 - a)= 2 lg (*„ - a)

181

или

Для определения параметров статистического ряда переменной х можно воспользоваться однозначной функциональной зависи­ мостью между коэффициентом асимметрии CSx и коэффициентом

скошенности логарифмически-нормальной кривой распределения

где t'a, t'5Q, t' — нормированные отклонения от среднего значения

х ординат соответственно 5, 50 и 95%-ной обеспеченности при рас­ сматриваемом значении коэффициента асимметрии Csx для лога­

рифмически-нормальной кривой. По известному коэффициенту ско­ шенности S, вычисленному по трем опорным ординатам Х 5, *5 0, *9 5.

по таблице, приведенной в работе [9], определяется коэффициент

асимметрии. Два других стандартных параметра ах и х определя­

ются аналогично тому, как это изложено выше применительно к би­ номиальной кривой распределения, по формулам:

Необходимо отметить, что функции преобразования вида (3.38) и соответственно выражение (3.46) пригодны только для кривых распределения с положительной асимметрией. Преобразование кри­ вой распределения xP = f(p) с отрицательной асимметрией в нор­

мальную кривую распределения достигается с помощью функции преобразования

При этом значению хР заданной обеспеченности Р% соответст­ вует значение у*р —ут-р с обеспеченностью Р* = 100— Р, равной

дополнению до 100%, т. е.

ytoo-p=lg ( д ^ - °)>

и наоборот,

182

глава IV

статистическая проверка исходной гидрометеорологической информации в отношении гипотез однородности,

случайности и согласия

Применение теоретических кривых распределения для описания статистических совокупностей, строго говоря, возможно в том слу­ чае, если эти совокупности сформированы из качественно однород­ ных и независимых элементов. В связи с этим выяснение статисти­ ческой однородности изучаемых совокупностей и случайности фор­ мирования выборок выступает в качестве важного элемента оценки достоверности статистических обобщений.

Кроме указанного, при использовании теоретических кривых распределения необходимо достаточно четко представлять, на­ сколько полно принятая теоретическая схема согласуется с эмпири­ ческим материалом.

Изложение статистических приемов, позволяющих решать ука­ занные задачи, и составляет содержание настоящей главы.

§ 1

анализ однородности рядов гидрологических величин

1. общие сведения

Ряды гидрологических величин не представляют собой генераль­ ных совокупностей, а являются некоторыми случайными выборками из них. Поэтому непосредственно судить по этим рядам о принад­ лежности их к определенной генеральной совокупности невозможно.

184

В теории вероятностей известно много критериев однородности, используя которые можно определить однородность выборочных значений параметров распределения, в частности средних значений и дисперсий, или непосредственно установить принадлежность не­ скольких выборок к одной и той же генеральной совокупности. Не­ которые из этих критериев, рассматриваемых ниже, уже нашли применение в практике гидрологического анализа.

Отметим, что оценка статистической однородности рядов гидро­ логических величин приобретает особую сложность в связи с тем, что эта операция применительно к рассматриваемым выборкам во многих случаях становится недостаточно определенной.

Действительно, вследствие многофакторности большинства па­ раметров гидрологического режима часто бывает трудно отделить причины, нарушающие состояние однородности ряда наблюдений, от факторов, формирующих гидрологический ряд как совокупность случайных переменных.

Например, наибольший в году расход воды формируется, как указывалось ранее, под действием большого числа факторов, к чи­ слу которых, в частности, относится снежный покров, определяю­ щий сток весеннего половодья, и жидкие осадки, формирующие до­ ждевые паводки. При этом возникает естественный вопрос, следует ли для исследуемой реки снежный покров и жидкие осадки отнести к числу многих других факторов, под действием которых и форми­ руется случайный характер многолетних колебаний максимального весеннего стока, или, наоборот, каждый из этих факторов оказы­ вает в различные годы настолько сильное самостоятельное действие на исследуемое явление, что вызывает неоднородность в его форми­ ровании.

Впервом случае наибольшие расходы воды, независимо от ус­ ловий их формирования (дождевые паводки и весеннее половодье), образуют единую статистическую совокупность, а во втором случае следует отдельно рассматривать дождевые паводки и весеннее по­ ловодье как две самостоятельные статистические совокупности. При этом возникает вопрос, как использовать суммарную информацию, заключенную в этих двух самостоятельных совокупностях, если при проектировании гидротехнического сооружения необходимо учесть наибольший расход воды заданной обеспеченности независимо от условий его формирования (дождевые паводки или весеннее поло­ водье). Один из возможных приемов статистического описания по­ добных совокупностей рассмотрен в этой главе.

Внекоторых случаях оценка однородности данных гидрологи­ ческих наблюдений приобретает вполне самостоятельное значение. Примером такого рода задач может служить выбор пункта-аналога,

когда устанавливается однородность физико-географических и кли­ матических факторов стока на основании их качественного анализа на двух водосборах.

В других случаях следует оценить внутрирядную однород­ ность величин стока реки, когда она нарушена различными естественными или искусственными причинами, к числу которых

185

можно отнести, например, изменение естественного стока благодаря регулированию его водохранилищем. В качестве естественной при­ чины, нарушающей однородность ряда наблюдений, назовем влия­ ние бессточных микро- и макропонижений местности в зоне недо­ статочного увлажнения. Существенно важно выяснять степень однородности рядов стока, относящихся к разным рекам, при объ­ единении их в единый пространственно-временной статистиче­ ский ряд.

Во всех отмеченных выше примерах необходимо оценить одно­ родность различных гидрологических характеристик. В равной мере сказанное относится к тем случаям, когда на однородность анали­ зируются факторы, определяющие различные гидрологические ха­ рактеристики (осадки, испарение, температура воздуха и пр.). Часто анализ однородности осуществляется лишь на основании качествен­ ных оценок без использования объективных количественных крите­ риев. В ряде случаев этого бывает достаточно. Действительно, едва ли вызовет сомнение неоднородность ряда максимального стока до и после создания водохранилища, осуществляющего сезонное регу­ лирование стока. Что же касается влияния, регулирующего сток водохранилища, на годовой сток, то оно бесспорно будет меньшим. Возможно, в некоторых случаях, с практической точки зрения, го­ довой сток реки до и после создания ГЭС окажется однородным.

Когда физического анализа однородности тех или иных гидро­ логических характеристик или факторов, их обусловливающих, оказывается недостаточно, целесообразно использовать статистиче­ ские методы, которые позволяют оценить однородность исследуе­ мых рядов наблюдений также и в количественном выражении. Больше того, часто возникает необходимость оценить однородность гидрологических рядов, когда никакой информации об источниках, нарушающих состояние однородности, не имеется. В таких случаях статистические приемы анализа однородности эмпирического мате­ риала являются единственными. Больше того, с их помощью можно определить область, в которой целесообразно искать физическую причину, нарушающую однородность рядов наблюдений, и тем са­ мым помочь исследователю найти эту причину.

Может возникнуть и такая ситуация, когда физическая причина, нарушающая состояние однородности, известна, но неизвестно, до каких пор, с практической точки зрения, эту причину можно не учи­ тывать. На подобные вопросы также могут дать ответ статистиче­ ские приемы.

Таким образом, уже на рассмотренных примерах видно, что фи­ зический анализ и статистические приемы исследования однород­ ности вскрывают различными способами одни и те же закономерно­ сти (физические, статистические), свойственные тем или иным рядам наблюдений. Больше того, наиболее эффективным оказывается со­ вместное использование статистических и физических приемов ана­ лиза эмпирических данных при оценке их однородности, поскольку эти приемы обычно взаимно дополняют и уточняют друг друга. При исследовании однородности рядов наблюдений с физической точки

186

зрения часто могут быть сформулированы лишь качественные вы­ воды без каких бы то ни было количественных характеристик; ста­ тистические методы исследования однородности позволяют эти ка­ чественные выводы дополнить количественными оценками.

В качестве примера рассмотрим распределение высоты снежного покрова в лесу и в поле. Исходя из чисто физических представлений о формировании снежного покрова, можно прийти к выводу о том, что в среднем высота снежного покрова в лесу должна быть больше, а ее изменчивость меньше, чем в поле при прочих равных условиях. Действительно, результаты наблюдений подтверждают это предпо­ ложение. Однако насколько существенны эти расхождения, можно определить, используя статистические приемы анализа однородно­ сти. Кроме того, статистическая структура снежного покрова на больших пространствах внутри поля (или леса) также претерпевает изменения под влиянием, например, климатических факторов. Ста­ тистические приемы и в данном случае могут оказаться полезными при выделении однородных характеристик снежного покрова уже внутри поля (или леса).

Прежде чем перейти к статистическим методам анализа одно­ родности результатов наблюдений, остановимся на некоторых осо­ бенностях и ограничениях использования статистических крите­ риев однородности при гидрологических расчетах.

Статистические критерии однородности разработаны для внутрирядно независимых случайных последовательностей. Гидрологи­ ческие же ряды наблюдений, как мы увидим в следующих главах, часто не удовлетворяют этому требованию. Использование же изве­ стных критериев однородности для гидрологических рядов, имею­ щих внутрирядную корреляционную связь, может привести к не­ правильным выводам. Действительно, внутрирядная корреляция уменьшает объем независимой информации, которая содержится в данных наблюдений. Это приводит к увеличению диапазона коле­ баний (рассеяний) выборочных значений параметров по сравнению с рассеянием значений параметров, определенных по статистиче­ ским совокупностям того же объема, но состоящим из статистиче­ ски независимых величин. Увеличение диапазона рассеяния приво­ дит соответственно к расширению доверительного интервала для критерия однородности.

Следовательно, использование того или иного критерия одно­ родности, разработанного для внутрирядно некоррелированных по­ следовательностей, применительно к коррелированным гидрологи­ ческим рядам наблюдений, приводит к тому, что заведомо одно­ родные данные наблюдений могут быть признаны неоднородными, т. е. критерии однородности в подобных случаях оказываются из­ лишне требовательными при оценке однородности.

Подобное неправильное применение критериев однородности иногда встречается в практике гидрологических расчетов и приво­ дит к излишне страхующим результатам оценки степени однород­ ности. Правильное применение критериев однородности для корре­ лированных случайных величин заключается в оценке объема

187

независимой информации, которая должна учитываться при расче­ тах однородности.

Оценка степени случайности гидрологических рядов будет рас­ смотрена в следующем параграфе настоящей главы. Здесь же лишь подчеркиваются те ограничения, которые необходимо иметь в виду при применении статистических критериев однородности.

Второе ограничение при использовании статистических крите­ риев однородности применительно к гидрологическим данным заключается в наличии корреляционной связи между рядами гид­ рологических наблюдений, которая уменьшает доверительный ин­ тервал критериев однородности. Применение же статистических критериев однородности без учета корреляционных связей между рядами гидрологических наблюдений приводит к тому, что заведомо неоднородные данные могут быть признаны однородными. Ошибки подобного рода довольно часты при оценке однородности гидроло­ гических наблюдений, так как гидрологические данные по многим явлениям гидрологического режима (годовой, максимальный сток, сток по сезонам и мн. др.) на близко расположенных реках, как правило, корреляционно связаны. Неучет этих связей может при­ вести к признанию заведомо неоднородных данных однородными.

Таким образом, если неучет внутрирядных корреляционных свя­ зей в наблюденных данных приводит к страхующим решениям од­ нородности (заведомо однородные данные могут быть отнесены к разряду неоднородных), то неучет корреляционных связей между рядами гидрологических наблюдений приводит, наоборот, к рас­ ширению понятия однородности (заведомо неоднородные данные могут быть отнесены к разряду однородных).

Кроме отмеченных ограничений, часто упускаемых при исполь­ зовании статистических критериев однородности, имеются и другие, которые обычно излагаются при описании этих критериев и поэтому принимаются во внимание при их использовании. К числу таких учитываемых ограничений, например, относится условие подчине­ ния исследуемых статистических совокупностей тому или иному тео­ ретическому закону распределения, чаще всего нормальному. Кри­ терии подобного рода (например, критерий однородности средних значений Стьюдента или критерий однородности дисперсий Фише­ ра) называют параметрическими в отличие от непараметрических критериев, которые не зависят от вида распределения исходных данных (например, критерий Вилькоксона). Заметим, что парамет­ рические критерии обычно более эффективны по сравнению с непа­ раметрическими за счет более полного использования исходной ин­ формации. Указанное деление критериев статистической оценки ги­ потез на параметрические и непараметрические относится в равной мере и к следующим разделам настоящей главы. Непараметриче­ ские критерии обычно более просты и не требуют дополнительного обоснования правомерности их применения в отношении типа ис­ ходного распределения. При использовании параметрических кри­ териев на однородность оцениваются параметры распределения (среднее значение, коэффициенты вариации и асимметрии).

188

Рассматриваемые ниже классические критерии оценки однород­ ности, за исключением обобщенного на случай нескольких совокуп­ ностей критерия Стьюдента и критерия Бартлета, пригодны для анализа однородности лишь двух эмпирических совокупностей. При наличии большого числа рядов, подлежащих оценке на однород­ ность, попарное сравнение их средних значений или дисперсий при­ водит к появлению ряда значений соответствующего критерия. Наличие такого ряда позволяет оценивать однородность рассмат­ риваемых рядов по степени соответствия теоретического распреде­ ления рассматриваемого критерия однородности эмпирическому. В случае достаточного соответствия указанных распределений ги­ потеза однородности подтверждается, в случае несоответствия этих

согласия, рассматриваемыми в § 3 настоящей главы.

2. основные этапы анализа однородности рядов наблюдений

Статистический анализ однородности рядов наблюдений вклю­ чает следующие основные этапы: формулировку нулевой и альтер­ нативных гипотез, определение уровня значимости, выбор критиче­ ской области, браковку или признание нулевой гипотезы. Так как эти этапы являются, как правило, неотъемлемой частью любого ста­ тистического исследования однородности рядов наблюдений, оста­ новимся кратко на них. Прежде всего условимся, что результаты наблюдений будем считать однородными тогда, когда они принад­ лежат к одной и той же генеральной совокупности. При этом все наблюдения будем считать независимыми как внутри рядов наблю­ дений (иными словами соблюдено условие случайности отбора), так и между исследуемыми рядами наблюдений.

Формулировка нулевой и альтернативных гипотез. Любое ста­ тистическое суждение об однородности тех или иных рядов наблю­ дений всегда имеет вероятностный характер. Статистический ана­ лиз однородности рядов наблюдений начинается с предположения отсутствия существенного различия между параметрами сравни­ ваемых рядов (нулевая гипотеза). При этом обычно предпола­ гается, что закон распределения сопоставляемых рядов наблюде­ ний один и тот же, что следует из физических соображений или накопленного предыдущего опыта, но могут иметь место лишь раз­ личия в параметрах распределения, к числу которых могут быть отнесены: среднее значение, коэффициент вариации и коэффициент асимметрии. Во многих случаях подлежат проверке на нулевую ги­ потезу все параметры распределения. Гипотезы, противоположные нулевой, называются альтернативными.

Предположим, что требуется оценить однородность средних зна­ чений запаса воды в снежном покрове, полученных по данным двух

снегомерных маршрутов. При этом хи хг — средние значения запаса

воды в снежном покрове на двух маршрутах. Нулевой гипотезой

189