книги из ГПНТБ / Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии

Рис. 3.5. Биномиальные кривые обеспеченности при С„ = 0,5 и различных С„ на клетчатке лог-нормального распределения.

, - c - i c v- г - с , - о - з —С5=—2С„; 4 - С , - Ь С , .

Ьдк

Рис. 3.6. Схема построения клетчатки вероятности распределения Гудрича.

интегральной кривой распределения, соответствующей уравнению Гудрича при указанных соотношениях между параметрами Cv и Cs.

Очертания кривых обеспеченностей Гудрича на-рассматривае­ мой клетчатке иллюстрирует рис. 3.7.

5. Клетчатка вероятности Гумбеля, изображенная на рис. 3.8, получена путем трансформации закона распределения Гумбеля (см. табл. 2.7). Схема трансформации исходной кривой обеспеченности не отличается от уже рассмотренных ранее. Вследствие того что

Рис. 3.7. Кривые распределения Гудрича при С„ = 0,5 и различных С,.

1 — С в = 0 , 2 — С , *=0,5, 3 — С , “ 1,0.

распределение Гумбеля характеризуется одним фиксированным значением коэффициента асимметрии (Cs= l,14), не возникает не­ обходимости иметь набор клетчатой, как, например, при использо­ вании распределения Крицкого—Менкеля (или биномиального за­ кона).

§ 4

применение клетчаток вероятностей

Порядок использования клетчаток вероятностей рассмотрим на конкретных примерах.

Пример I. В одной из точек живого сечения р. Турунчук (ру­ кав р. Днестра) произведено 300 измерений скоростей те­ чения. Требуется установить соответствие полученной статистиче­ ской совокупности нормальному закону распределения и определить величину коэффициента вариации.

171

Сгруппированные характеристики рассматриваемой совокупно­ сти представлены в табл. 3.2. Среднее значение скорости для всей рассматриваемой совокупности равно 68 см/с.

Т а б л и ц а 3.2

Сгруппированные значения скоростей течения (в модульных коэффициентах) и соответствующие им эмпирические обеспеченности (р. Турунчук)

Эмпирические данные, нанесенные на клетчатку вероятностей, спрямляющую кривые обеспеченности при Cs—0 (рис. 3.9), показы­

вают, что рассматриваемая статистическая совокупность достаточно хорошо аппроксимируется прямой линией.

Учитывая физическую сущность рассматриваемой статистиче­ ской совокупности и произведенное сопоставление, можно с доста­ точным основанием считать, что эта совокупность подчиняется нор­ мальному закону распределения. Продолжая полученную прямую до пересечения со шкалой коэффициента вариации, находим вели­ чину этого параметра (Си = 0,05). Эта величина совпадает с ана­ литическим расчетом, который здесь не приведен.

Пример II. Требуется построить эмпирические кривые обеспе­ ченности годового стока (в модульных коэффициентах) р. Припяти у г. Мозыря и р. Сож у г. Славгорода, определить параметры кри­ вых распределения и величин годового стока различной обеспе­ ченности.

Для построения располагаем каждый исходный ряд в порядке убывания модульных коэффициентов (k) и для каждого члена ряда

определяем по формуле (3.5) величину эмпирической обеспеченно­ сти (Рт ) - Соответственные значения k и Рт наносим на клетчатку

вероятностей. Выполненное построение на клетчатке, соответствую­ щей соотношению CS = CV, показывает, что применительно к сово­

купности величин модульных коэффициентов годового стока р. При­ пяти у г. Мозыря эта клетчатка обеспечивает трансформацию инте­ грального закона распределения в прямую (рис. 3.10). Пользуясь

173

шкалой коэффициента вариации, определяем величину этого пара­ метра Cv = 0,32. Из условия спрямления кривой обеспеченности рас­

сматриваемого ряда на использованной клетчатке заключаем, что Cs= 0,32. Экстраполируя полученную прямую в зону интересующих

нас обеспеченностей, можно установить величины годового стока различной обеспеченности, учитывая, что норма годового стока равна 372 м3/с.

Построенная аналогичным образом эмпирическая кривая обес­ печенности годового стока р. Сож у г. Славгорода на рассматри­ ваемой клетчатке не спрямляется, а образует прогиб в сторону оси абсцисс. Это свидетельствует о том, что ряд годового стока р. Сож характеризуется более высоким коэффициентом асимметрии.

Применение клетчатки, соответствующей соотношению CS = 3C„, позволяет осуществить преобразование кривой обеспеченности рас­

ряда равна Cs~3Ct, = 0,9. Определение коэффициента вариации и величины годового стока различной обеспеченности производится аналогично тому, как это указано выше.

Рассмотренные примеры в равной мере являются иллюстрацией использования и иных клетчатой вероятностей.

§ 5

графоаналитические методы определения параметров статистических рядов

Графическое изображение статистического ряда на клетчатке вероятностей может быть использовано не только для непосредст­ венного определения членов статистической совокупности различ­ ной обеспеченности, но и для вычисления параметров распределе­ ния графоаналитическим методом.

Необходимость использования графоаналитического способа, в частности, может возникнуть в том случае, когда на имеющейся клетчатке вероятностей рассматриваемая статистическая совокуп­ ность спрямляется недостаточно полно, вследствие чего появляется некоторая неопределенность в выполнении операции экстраполя­ ции. Кроме того, в некоторых случаях оценка основных статистиче­ ских параметров изучаемых совокупностей выступает в качестве самостоятельной задачи. Графоаналитические способы позволяют упростить решение этой задачи.

Например, часто выбор расчетного значения коэффициента асим­ метрии производится на основании построения нескольких аналити­ ческих кривых обеспеченности, соответствующих различным вели­ чинам коэффициента асимметрии Cs или различным величинам от­ ношения Cs/Cv. В качестве расчетного принимается то значение

рассматриваемого параметра, при котором достигается лучшее

176

соответствие аналитической кривой расположению эмпирических точек. Этот способ подбора коэффициента асимметрии, кроме того, требует предварительного определения среднего значения и коэф­ фициента вариации.

Графоаналитический способ позволяет установить величину па­ раметров аналитической кривой непосредственно применительно к той кривой обеспеченности, которая в большей мере соответствует расположению эмпирических точек.

Наиболее полно графоаналитические способы определения па­ раметров биномиальной и логарифмически-нормальной кривых рас­ пределения рассмотрены Г. А. Алексеевым [3, 5]. Изложенная в ука­ занных работах попытка получить аналогичное решение в отноше­ нии схемы Крицкого и Менкеля не привела к удовлетворительным результатам, особенно при коэффициентах скошенности 5> 0,5 .

При использовании графоаналитического способа в качестве ис­ ходного и основного принимается условие совпадения аналитиче­ ской кривой обеспеченности по крайней мере в трех точках с эмпи­ рической кривой, достаточно хорошо соответствующей расположе­ нию эмпирических точек.

Применительно к биномиальному закону распределения исполь­

зование графоаналитического способа основывается на следующих положениях.

Аналитическая биномиальная кривая обеспеченности xp=f(p),

как показано в главе II, строится на основе таблицы вероятностей превышения нормированных отклонений от среднего значения

В соответствии с этим применительно к трем опорным точкам хР , хр„ Хр3, лежащим на эмпирической кривой обеспеченности,

например, соответствующим значениям обеспеченности P i = 5%, р2 —50% и рз = 95%, через которые должна пройти искомая анали­

тическая кривая обеспеченности, можно записать три уравнения:

стремя неизвестными параметрами х, ох и Cs. Параметр Cs входит

вуказанные уравнения в силу того, что величина tP является функ­ цией Cs.

178

Для определения коэффициента асимметрии воспользуемся ве­ личиной коэффициента скошенности (S), определение которого дано

в § 4 главы II,

или применительно к избранным ординатам кривой обеспеченности

По таблице ординат биномиальной кривой обеспеченности1 можно установить величины f5, /50 и £95 при различных значениях Cs

и, следовательно, найти по формуле (3.28) значения 5.

Таким образом, определив по равенству (3.28) величину 5, по таблице биномиальной кривой обеспеченности легко определить па­ раметр Cs.

Для получения выражения, определяющего величину среднего квадратического отклонения, вычтем из левой и правой частей урав­ нения (3.22) соответствующие части уравнения (3.24) и получим

Если коэффициент скошенности, вычисленный по формуле (3.28), получается отрицательным, то это свидетельствует об отрицатель­ ной асимметрии (С8< 0) кривой обеспеченности xp= f(p). В таких

случаях пользуются таблицей нормированных отклонений ординат биномиальной кривой обеспеченности от середины в зеркальном отображении, т. е. приведенные в таблице величины берутся с об­ ратным знаком

хр— X

<*х

1 См. «Руководство по определению расчетных гидрологических характери­ стик» (приложение 3).