книги из ГПНТБ / Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии

Таким образом, уравнения (3.8) — (3.11) устанавливают связь между обеспеченностью Рт членов ряда статистической совокупно­

сти вида

• X т , Ь -Ч м , 2» •X /n t 3> • • -Чгс, N>

где т изменяется от 1 до «, и искомой обеспеченностью Р величины х в генеральной совокупности.

Решая уравнения (3.9) и (3.11) относительно интересующих нас величин Р1 и Рп, имеем

(3.13)

Рп=(Рп)'/п. (3.14)

Чтобы воспользоваться полученными уравнениями для опреде­ ления вероятности Р, необходимо располагать определенными ука­ заниями о назначении величины р. Если рассматривать полученные

соотношения применительно к оценке обеспеченности расходов воды, то можно отметить, что в зависимости от водности рассматривае­ мого «-летнего периода вероятности pi, р%, ..., рп, вообще говоря, могут изменяться в пределах от 0 до 1 .

Следовательно, при наличии наблюдений только за один «-лет­ ний период решение становится неопределенным без использования некоторых дополнительных условий, приобретающих по смыслу за­ дачи уже нормативный характер.

Например, в качестве оценки обеспеченности Рт можно принять,

что рассматриваемый «-летний период по своей водности занимает медианное положение среди всех других «-летних периодов.

Из этого допущения вытекает, что величины

Р\=Р2= ■■■=Рт=- ■■■= Р „= 0,5 .

пустимой практической точностью воспроизводит соотношения, вы­ текающие из теоретических формул ■(3.15) и (3.16) для любого т-го члена выборки.

Если в качестве нормативной оценки обеспеченности Рт принять

обеспеченность математического ожидания (среднего значения) распределения Рт(х), то, по исследованию Е. Г. Блохинова [19],

160

в качестве зависимости, с достаточной для практических целей определяющей, исходную теоретическую обеспеченность величин можно принять формулу

Рассмотренный путь обоснования формул для определения эм­ пирической обеспеченности на основе анализа функции распределе­ ния Рт(х) приводит к построению расчетных зависимостей, кото­

рые, вообще говоря, зависят от типа и параметров исходного рас­ пределения вероятностей Р (х ), т. е. генеральной совокупности, и от объема выборки (п). В частности, применительно к кривым рас­

пределения вероятностей Крицкого и Менкеля при объеме сово­ купности п = 20+70 членов Блохинов рекомендует использовать: при CS = 2C„ формулу

где т — номер членов ряда xi, х2, ..., хп, расположенных в убываю­ щем порядке; п — общее число членов ряда (в частности, число лет

наблюдений).

Указанная рекомендация в принципиальном плане более полно учитывает особенности рассматриваемого построения, чем исполь­ зование одной зависимости (3.17). Однако в практическом отноше­ нии использование указанных трех формул вследствие небольшого различия в результатах расчета не имеет особого преимущества по сравнению с формулой (3.5), тем более что применение ее по срав­ нению с формулами (3.19) и (3.20) приводит к более осторожному решению задачи.

Помимо рассмотренного пути определения приближенного зна­ чения теоретической обеспеченности через функцию распределения рассматриваемой переменной величины х, возможен и второй под­

ход, примененный Крицким и Менкелем. Он состоит в том, что рас­ сматривается распределение не самой варьирующей величины, а обеспеченностей. В этом случае исходная система переменных вы­ ступает не в форме совокупности величин хт,и хт,2 , ..., xmyN,

а в форме совокупности соответствующих этим величинам обеспе­ ченностей Рт , 1, Рт, 2 , ... , Pm, 1V- При этом общая схема решения за­

дачи, изложенная выше, полностью сохраняется, но уже примени­ тельно к так называемой кривой обеспеченности обеспеченностей, понятие о которой впервые было использовано Крицким и Менке­ лем [73].

В этом случае совершенно аналогичным образом, как это было указано, можно получить соотношения (3.15) и (3.16). Но при этом случае в качестве исходных величин Pi, Р2, ..., Рп должны быть со­ ответственно приняты обеспеченности обеспеченностей Pi(p), Pz(p), ■■., Р„(р). В отношении этих величин также необходимо при­

нять некоторые нормативные рекомендации. Если за такую норма­ тивную рекомендацию принять медианное значение обеспеченности

P „ _ ! = = J p d p = ^ p \прп~ х-\-п (п — 1) рп~2 — п2рп~ 1} dp =

оо

/z-Ь 1

Принципиальное различие одного и второго направления обос­ нования формул для определения эмпирической обеспеченности со­ стоит в том, что кривые Рт{р) не зависят от исходного распреде­ ления Р(х), в то время как кривые Рт(х) от него зависят. Соответ­

ственно этому формула (3.21) справедлива при любом законе рас­ пределения Р(х). В практическом отношении по формуле (3.21)

получаем более осторожные решения, поэтому она принята в каче­ стве основной для расчета максимальных расходов и уровней воды. Формула (3.21) рекомендуется для определения эмпирических обе­ спеченностей всех иных характеристик гидрологического режима.

1 6 2

В заключение отметим, что, приняв для оценки вероятности еже­ годного превышения формулу (3.21), имеем для первого члена ряда

P1= i - ( i - A ) . = i - ( l - _ L r y',

а для последнего члена ряда

Результаты расчетов по этим формулам, выполненные Алексе­ евым [8] при разном числе лет наблюдений п, показывают, что наи­

большие и наименьшие члены рассматриваемой статистической со­ вокупности xi и хп (например, наибольшие и наименьшие расходы воды Qi и Qn, наблюденные за рассматриваемый n-летний период)

жении, что n-летний период среди других n-летних периодов харак­ теризуется повышенной обеспеченностью высоких расходов и пони­ женной обеспеченностью низких расходов. Производя аналогичные вычисления, согласно формулам (3.3), (3.5) и (3.17), получаем

р1~40% и рп~ 60%.

Иначе говоря, формула (3.4) основана на предположении, что рассматриваемый n-детний период среди других n-летних характе­ ризуется, наоборот, пониженной обеспеченностью высоких и повы­ шенной обеспеченностью низких расходов. Если имеется лишь один n-летний период, принять указанные допущения, очевидно, меньше оснований, чем допустить, что этот n-летний период занимает ме­ дианное положение среди других n-летних периодов. Это допуще­ ние, как показано выше, приводит к формуле (3.5).

Величины эмпирических обеспеченностей, полученные по раз­ личным формулам, представлены в табл. 3.1.

Формула (3.4) рекомендуется «Указаниями по определению рас­ четных гидрологических характеристик» СН435-72 для определения эмпирической обеспеченности максимальных расходов воды и уров­ ней, поскольку ее применение приводит к некоторому запасу в рас­ четах. Во всех остальных случаях используется формула (3.5).

Как следует из приведенного анализа, можно построить много различных зависимостей для определения эмпирических обеспечен­ ностей. Коэффициенты, входящие в эти формулы, строго говоря, за­ висят от объема выборки, от вида и параметров исходного распре­ деления. Однако практическая реализация этих предложений не имеет существенных преимуществ по сравнению с результатами, по­ лучаемыми по формулам (3.4) и (3.5).

Формула (3.13) по смыслу ее построения пригодна для оценки вероятности ежегодного превышения (Р) по известному превыше­ нию рассматриваемой гидрологической характеристики за п лет

(р). В частности, она используется для получения ежегодной веро­ ятности превышения максимальных расходов воды, определенных по меткам высоких вод, в отношении которых известно, что они не были превышены за период п лет.

§ 3

практические приемы построения клетчаток вероятностей

Для построения клетчаток вероятностей принципиально воз­ можно использовать аналитические или графические схемы. Смысл каждого из этих приемов заключается в том, чтобы трансформиро­ вать шкалу случайной переменной или шкалу обеспеченностей (или обе их) таким образом, чтобы в системе этих координат рассматри­ ваемый интегральный закон распределения (кривая обеспеченно­ сти) выражался прямой линией.

Более простым, наглядным и обладающим вполне достаточной практической точностью является графический прием. Следует лишь иметь в виду, что использование этого приема возможно примени­ тельно к тем законам распределения, которые представлены в .таб­ личной форме (табулированы) в зависимости от их статистических параметров.

1. Клетчатка вероятностей нормального закона распределения может быть получена по схеме, представленной на рис. 3.1. В каче­ стве исходной принимается кривая обеспеченности модульных ко­ эффициентов (k), распределенных по нормальному закону, изобра­

женная в декартовых координатах в левой части рис. 3.1. Пара­

метры этой кривой: £ = I; С„ = I; С«= 0.

Осуществим трансформацию шкалы оси абсцисс (обеспеченностей) через прямую, расположенную в правой части графика, как это показано стрелками. В результате, очевидно, получим новую

1 6 4

трансформированную шкалу обеспеченностей, которая совместно

сравномерной шкалой оси ординат образует систему координат,

вкоторых кривая обеспеченности нормального закона независимо от величины коэффициента вариации и среднего значения транс­ формируется в прямую линию. Угол наклона прямой, расположен­ ной в правой части рис. 3.1, определяет масштаб шкалы обеспечен­ ностей.

Полученная таким образом система координат образует клет­ чатку вероятностей нормального закона распределения. В гидроло­ гической литературе эта клетчатка часто называется неточно клет­

чаткой вероятностей для кривых с умеренной асимметричностью.

к

Рис. 3.1. Схема построения клетчатки вероятности нормального закона распре­ деления.

Это название возникло вследствие того, что рассматриваемая клет­ чатка иногда применяется для выравнивания не только нормаль­ ного закона распределения, но и тех эмпирических кривых обеспе­ ченности, у которых коэффициенты асимметрии незначительно от­ клоняются от нуля.

При этом следует иметь в виду, что при положительной асим­ метрии кривые обеспеченности на клетчатке вероятностей нормаль­ ного закона распределения будут иметь вогнутое к оси обеспечен­ ностей очертание, а при отрицательной — выпуклое. При этом ве­ личина прогиба будет тем больше, чем больше по абсолютному значению коэффициент асимметрии (рис. 3.2).

Аналогичные уклонения кривых обеспеченностей от линии, спрямляющей рассматриваемый закон распределения, наблю­ даются и для иных клетчатой вероятностей, если величина коэффи­ циента асимметрии рассматриваемого ряда оказывается больше или меньше значения этого параметра, соответствующего распреде­ лению, выражающемуся на этой клетчатке вероятностей в виде прямой.

При принятом фиксированном масштабе осей координат, иначе говоря, для конкретной формы клетчатки вероятности угол наклона прямой линии, выражающей закон нормального распределения,

165

определяет величину коэффициента вариации. Это свойство клет­ чатки вероятностей позволяет легко построить шкалу значений ко­ эффициентов вариации. Отмеченное положение сохраняется и для других рассматриваемых далее клетчатой вероятностей.

Очевидно, что построенная таким образом шкала коэффициен­ тов вариации позволяет по углу наклона линии, соответствующей расположению эмпирических данных (точек), графически опреде­ лить величину этого параметра. Напомним, что полученное таким

Рис. 3.2. Биномиальные кривые обеспеченности на клетчатке вероятностей нормального закона распределения при С* = 0,5 и различных значениях С„.

/ ~ С а = 2С„; 2 - С „ = 0; 3 - C , — 2 C V.

образом значение коэффициента вариации применительно к рас­ сматриваемой совокупности будет однозначно определено при ис­ пользовании различных клетчатой вероятностей только в том слу­ чае, когда на этих клетчатках осуществляется полное спрямление эмпирической кривой обеспеченности.

Нормальная кривая распределения на рассматриваемой клет­ чатке при коэффициенте вариации более 0,3 уходит в отрицатель­ ную область. Применительно к совокупности существенно положи­ тельных величин, наиболее часто встречающихся в гидрологии, эк­ страполяция кривых обеспеченностей в эту область противоречит физическому смыслу рассматриваемых процессов. Поэтому область отрицательных значений модульных коэффициентов на клетчатке не отражена.

2. Клетчатки вероятностей, спрямляющие трехпараметрическое гамма-распределение при различных соотношениях коэффициентов вариации и асимметрии. В практике гидрологических расчетов до­ вольно часто встречаются ряды, асимметрия которых существенно отличается от нуля. Кривые обеспеченности таких рядов, как ука­ зано выше, на клетчатке вероятностей нормального закона не спрямляются. В связи с этим возникает необходимость создания си­

1 6 6

стем координат, в которых кривые обеспеченности, обладающие различной асимметрией, выражались бы в форме прямых линий.

Непосредственная оценка величины коэффициента асимметрии по недостаточно большой совокупности исходных дан­ ных связана с большой по­ грешностью. Поэтому часто величину коэффициента асимметрии устанавливают по соотношению с величиной коэффициента вариации.

Вследствие этого клетчатки вероятностей, спрямляю­ щие кривые обеспеченности асимметричных рядов, прак­ тически целесообразно стро­ ить не по признаку абсолют­ ных значений коэффициен­ тов асимметрии, а в зависи­ мости от соотношения Cs/Cv.

Опыт гидрологических рас­ четов показывает, что во многих случаях это отноше­ ние может быть принято ра­ вным 1,0; 1,5; 2,0; 3,0; 4,0;

для которых и целесообраз­ но иметь соответствующие клетчатки.

Схему построения сово­ купности указанных клет­ чатой применительно к кри­ вым Крицкого и Менкеля рассмотрим на примере со­ отношения Cs/Cv= 2,0 (клет­

чатка Бровковича).

В качестве исходной при­ мем уже рассмотренную клетчатку вероятностей нор­ мального закона. На этой клетчатке в нижней части графика (рис. 3.3) построим

биномиальную кривую обеспеченности с параметрами: х=1, С„=1,

ется. Для выполнения операции спрямления необходимо транс­ формировать оси ординат в соответствии со схемой, указанной на рис. 3.3. При этом угол наклона трансформирующей прямой, расположенной в верхней части графика, определит масштаб

167

Аналогичным образом получены клетчатки вероятностей при

Cs/Cv, равном 1,0; 1,5; 2,0; 3,0; 4,0.

к

1 CS*=3CV, 2 Cg=2Cv, 3 —Ca —Cv.

Рассмотренная система клетчатой пригодна для статистической обработки большинства рядов параметров гидрологического^ ре­ жима, обладающих положительной асимметрией. Очертание бино­ миальных кривых обеспеченностей на клетчатке Бровковича при различных значениях Cs (при Сг, = 0,5) иллюстрирует рис. 3.4.

На основании изложенных принципов могут быть получены клетчатки вероятностей и для рядов с отрицательной асимметрией. Такой асимметрией, например, обладают ряды уровней воды. Од­ нако изучение структуры таких рядов показывает, что обычно от­ рицательная асимметрия возникает как следствие статистической неоднородности рассматриваемой совокупности. Так, уровни воды, формирующиеся в пределах основного русла реки и в пойме, пред­ ставляют собой самостоятельные совокупности, каждая из которых не имеет отрицательной асимметрии.

168

В этих условиях более целесообразно использовать прием по­ строения кривой обеспеченности, изложенный в главе IV, чем при­ менять клетчатку вероятности для всей неоднородной совокупности в целом. По этим соображениям клетчатки вероятностей для рядов

сотрицательной асимметрией здесь не приводятся.

3.Клетчатка вероятностей логарифмически-нормального закона

распределения может быть получена из клетчатки нормального за­ кона, если у нее ось ординат выразить в виде логарифмической шкалы. На такой клетчатке спрямляются те статистические сово­ купности, которые в результате логарифмического преобразования исходной переменной трансформируются в совокупности, подчиняю­ щиеся нормальному закону распределения. Аналитические основы такого преобразования рассмотрены в § 3 главы II.

Рассматриваемую клетчатку в гидрологической литературе ча­ сто называют клетчаткой вероятности для кривых со значительной асимметричностью. Это наименование возникло в связи с тем, что логарифмически-нормальная кривая является достаточно асим­ метричным распределением, коэффициент асимметрии которого примерно соответствует соотношению Cs~3Cv+ C%. Более полно

этот вопрос рассмотрен в § 9 главы II.

Очертания биномиальных кривых обеспеченностей (при Cv—

=0,5) на рассматриваемой клетчатке иллюстрирует рис. 3.5.

4.Клетчатка вероятностей распределения Гудрича может быть получена путем трансформации кривой обеспеченности логарифмов

модульных коэффициентов, представленной в системе координат

сравномерными шкалами. Для построения, выполненного на рис. 3.6,

вкачестве исходной использована кривая обеспеченности с пара­

метрами: k= \\ С„ = 1,0; Cs= 2.

Полученная шкала обеспеченностей может быть использована или в сочетании с равномерной шкалой ординат (на которую нано­ сятся значения логарифмов случайной переменной), или в сочета­ нии с логарифмической шкалой (на которую наносятся значения случайной переменной).

Рассмотренная система координат обеспечивает спрямление ин­ тегрального закона распределения Гудрича при тех соотношениях между параметрами Cs и С„, при которых это распределение при обеспеченности 10 0 % проходит через нулевое значение случайной

переменной. Эти соотношения представлены на рис. 2.12.

Закрепляя ось ординат в виде модульных коэффициентов, мо­ жно, как указано выше, получить дополнительные шкалы коэффи­ циентов вариации.

Клетчатку Гудрича в гидрологической литературе иногда назы­ вают клетчаткой асимметричной частоты. Это название нельзя при­ знать удачным, так как все распределения, характеризующиеся ко­ эффициентом асимметрии, отличным от нуля, являются асиммет­ ричными, и, следовательно, соответствующие им клетчатки также можно считать клетчатками асимметричной частоты. Фактически рассмотренная клетчатка пригодна лишь для спрямления

1 6 9