книги из ГПНТБ / Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии

Верхняя граница для ВФИ-распределения при известном сред­ нем арифметическом представлена в табл. 2.13.

Верхняя граница для ВФИ-распределения с двумя известными моментами (средним арифметическим и стандартом) имеет вид:

где а (О ^ а ^ 1) удовлетворяет условию

а параметр од определяется из уравнений:

для некоторого a ^ a i при k, удовлетворяющем условию (2.141). Значения b и со находятся из уравнений:

-Ь ( Л — ш ) 1

k

с 1 - \ - \ = « ? + 2 е ~ Ьш j xebxdx.

Верхняя граница ВФИ-распределения для двух назначаемых

параметров (х и Cv) в виде ординат интегральных кривых распре­

деления (кривых обеспеченностей), т. е. в форме, обычно исполь­ зуемой в гидрологии, представлена в табл. 2.14.

Рассмотрим ограничения, которые накладываются на ВФИ-рас-

пределение с двумя свободно назначаемыми параметрами (х, С„).

Верхняя оценка г-ного начального момента ВФИ-распределения имеет вид

150

откуда после несложных преобразований при г = 2 получаем

Установим ограничения для коэффициента асимметрии, свойст­

Используя известные соотношения между начальными и цент­ ральными моментами и выражениями для коэффициентов вариации

(2.146) получается только при Сщ = 1. Можно показать, что Cs не может быть меньше, чем Cs = 2.

Таким образом, ВФИ-распределение имеет определенные огра­ ничения по коэффициенту вариации (С„) и коэффициенту асим­ метрии (Cs), что несколько ограничивает область применения дан­ ного распределения в гидрологических расчетах. Случай при С„ = = 1,0 и Cs= 2,0 является предельным для ВФИ-распределения. При этом верхняя и нижняя границы сливаются и совпадают с распре­ делением Пирсона III типа. Очевидно, что при расчетах максималь­ ных расходов воды следует использовать верхнюю границу ВФИраспределения, а при расчетах минимальных расходов воды — ниж­ нюю границу.

На рис. 2.25 представлены верхняя и нижняя границы ВФИраспределения при С„ = 0,5 и частные кривые распределения, отно­ сящиеся к классу распределений с возрастающей функцией интен­ сивности. На этом рисунке видно, что различные применяющиеся в гидрологии кривые распределения при различных коэффициентах асимметрии располагаются между верхней и нижней границами ВФИ-распределения, что дополнительно свидетельствует о правиль­ ности теоретических построений ВФИ-распределения. Переломные точки, отмечающиеся на границах рассматриваемого распределе­ ния (как правило, в средней части кривой обеспеченности), есть результат математических обобщений и практически не сказыва­ ются на гидрологических расчетах, в которых обычно используются лишь зоны малых (максимальные расходы воды) и больших (мини­ мальные расходы воды) обеспеченностей.

Применение ВФИ-распределения в практике гидрологических расчетов можно рекомендовать в случаях, когда имеются сведения о норме стока и коэффициенте вариации, которые получены какимлибо косвенным способом, и никакой информации о виде теорети­ ческой кривой распределения и, что особенно важно, о коэффици­ енте асимметрии не имеется. Когда же имеются сведения, лишь

151

глава III

клетчатки вероятностей,

графические и графоаналитические методы определения параметров кривых распределения и величин различной обеспеченности

§ 1

назначение клетчаток вероятностей1

Интегральные кривые распределения вероятностей, применяе­ мые в гидрологии, в декартовых шкалах координат имеют довольно’ сложные выпукло-вогнутые очертания. На концевых участках эти кривые при незначительных приращениях обеспеченности обычно имеют большие приращения исследуемой функции распределения. Это затрудняет выполнение графического сглаживания и особенно экстраполяцию эмпирических кривых в зонах малых и больших обеспеченностей, не освещенных материалами наблюдений.

Для устранения этой чисто технической трудности применяются специальные клетчатки вероятностей, позволяющие выравниватьили даже полностью спрямлять кривые обеспеченности.

Клетчатки вероятностей могут быть использованы для опреде­ ления графическим или графоаналитическим способами парамет­ ров кривой распределения, соответствующей рассматриваемому статистическому ряду.

1 В некоторых областях технического приложения статистики они называ­ ются вероятностными бумагами.

153;

Отметим, что графический способ определения параметров кри­ вых распределения связан с условием полного спрямления рассмат­ риваемого закона распределения на клетчатке вероятностей. При­ менение графоаналитического приема возможно без строгого выполнения этого условия. В этом случае можно ограничиться ис­ пользованием любой из клетчатой вероятностей, обеспечивающей более или менее значительное выравнивание эмпирической кривой обеспеченности. Такое выравнивание облегчает получение опорных значений ординат этой кривой, входящих в схему расчета. Более подробно об этом сказано в параграфе четыре настоящей главы.

Рассмотрим некоторые принципиальные положения, лежащие

воснове методов определения параметров кривых распределения

сиспользованием клетчаток вероятностей. Предварительно напом­ ним, что основной, наиболее распространенный прием заключается

ввычислении этих параметров по методу моментов или по методу наибольшего правдоподобия.

Использование полученных таким образом значений параметров для вычисления членов статистической совокупности заданной ве­ роятности превышения непосредственно связано с выбором анали­ тической кривой распределения, наилучшим образом (в соответст­ вии с общими принципами, изложенными в главе II) соответствую­ щей эмпирическим данным.

В качестве параметров, определяющих конкретное очертание используемой аналитической кривой, принимаются полученные их эмпирические значения.

Таким образом, вычисленные по имеющимся статистическим вы­ боркам значения параметров выступают в форме приближенных оценок тех «истинных» параметров, которые отвечают гипотетиче­ ской генеральной совокупности. Использование этого принципа оценки параметров обеспечивает с точки зрения метода наимень­ ших квадратов наилучшее соответствие аналитической кривой эм­ пирической совокупности.

Возможен и другой путь определения параметров рассматривае­ мой статистической совокупности — с помощью эмпирической кри­ вой обеспеченности, без выполнения расчетов параметров по фор­ мулам (1.1), (1.16), (1.22), (1.27).

Однако и в случае использования этого приема необходимо ус­ тановить тип теоретического распределения, который можно при­ нять в качестве модели рассматриваемой статистической совокуп­ ности, ибо без этого задача установления параметров распределе­ ния становится неопределенной.

Таким образом, использование как аналитического, так и гра­ фического (графоаналитического) способов определения парамет­ ров кривых распределения в равной мере связано с решением этого важного вопроса. Различие состоит в том, что аналитический рас­ чет параметров по имеющейся статистической выборке приводит к единственному (однозначному) решению задачи — в соответствии с принципом наименьших квадратов.

154

Использование графических и графоаналитических приемов сводится к замене этого принципа глазомерной оценкой степени со­ ответствия проведенной через эту совокупность линии (эмпириче­ ской кривой) наблюденным данным (точкам). Очевидно, что по­ добное обобщение (сглаживание) эмпирических данных содержит известную неопределенность, обусловленную субъективностью вы­ полнения этой операции. В этом, конечно, заключается определен­ ный недостаток графического (и графоаналитического) метода оп­ ределения параметров распределения.

Вместе с тем графическое (и графоаналитическое) решение за­ дачи определения параметров обладает и определенными положи­ тельными свойствами. Это прежде всего простота и наглядность расчетных построений.

Графическая интерполяция статистических совокупностей на клетчатках вероятностей позволяет наглядно убедиться в соответ­ ствии принятой теоретической модели распределения эмпириче­ скому материалу, оценить влияние отдельных «выскакивающих» точек, уклоняющихся от общей закономерности, на общий вид рас­ пределения.

Наглядность графических построений позволяет более отчет­ ливо представить операцию приведения к длительному периоду па­ раметров эмпирической кривой распределения и т. д.

Имея в виду указанные положительные свойства графического приема обобщения эмпирических данных, необходимо вместе с тем отчетливо представлять, что соответствие какой-либо теоретической

Лишь совместный анализ общих свойств принятого закона рас­ пределения и степени соответствия его эмпирическим данным поз­ воляет в известной мере убедиться в адекватности, или тождествен­ ности, принятой теоретической кривой материалам наблюдений. Очевидно, что в случае наличия такой уверенности графическая кри­ вая обеспеченности, построенная на клетчатке вероятностей, спрям­ ляющей этот закон распределения, может быть экстраполирована для получения значений случайной переменной любой заданной обеспеченности и использована для определения параметров рас­ пределений графическим способом.

Здесь рассматриваются лишь те клетчатки вероятностей, кото­ рые могут найти применение в практике гидрологических расчетов. При этом используются уже в известной мере проверенные схемы построения этих клетчаток. Не рассматривая этот вопрос в целом,, заметим, что для выражения одного и того же закона распределе­ ния можно построить несколько внешне различающихся между со­ бой клетчаток, применяя всевозможные взаимно связанные преоб­ разования осей координат.

1 5 5

где т изменяется от 1 до п. Теоретическая вероятность превыше­ ния каждого члена ряда при п->- оо выражается формулой

При выполнении гидрологических расчетов теоретическая веро­ ятность не известна, так как отсутствуют выборки сколь угодно большого объема. Эту характеристику статистического ряда при­ менительно к решению гидрологических задач не удается получить и из априорных положений, основанных, в частности, на оценке ус­ ловий проведения эксперимента.

Так например, при бросании монеты теоретическая вероятность выпадения «решки» или «орла» равна 0,5, что вытекает из условия однородности монеты, ее геометрически правильной формы и неиз­ менности условий проведения эксперимента.

Условия формирования величин, характеризующих' гидрологи­ ческий режим, много сложнее, и они отражаются в рассматривае­ мых статистических совокупностях в сложившейся интегральной форме. Очевидно, что в такой ситуации отсутствует возможность априорной оценки вероятности появления тех или иных гидрологи­ ческих величин.

Устанавливая эмпирические вероятности по выражению

когда п конечно, получаем оценку теоретической вероятности с не­

которой систематической погрешностью.

Формула эмпирической вероятности (3.2) дает приемлемые ре­ зультаты при не очень малом п и применительно к членам ранжи­

рованного ряда, расположенным в зоне, примыкающей к центру распределения. Для членов совокупности, занимающих последнее место в ранжированном ряду случайной переменной, при любом ко­ нечном значении п всегда будем иметь Рт =100%, а для первого

члена ряда Рт=\/п, что, конечно, является весьма грубой оценкой.

Для получения большего приближения эмпирической оценки обеспеченности к теоретическому ее значению предложено не­ сколько формул, рассматриваемых ниже:

формула А. Хазена

формула С. Н. Крицкого и М. Ф. Менкеля

157

Формула (3.3) заимствована из практики инженерно-гидрологи­ ческих расчетов США и использовалась в СССР до 1948 г., когда был утвержден ГОСТ 3999-48 по расчету максимальных расходов воды, в котором рекомендовалась формула (3.4).

Формула (3.3) предполагает замену ступенчатого графика эм­ пирической обеспеченности сглаженной кривой, проходящей через середины ступенек графика. Обеспеченность первого члена ряда по

гичной, и поэтому формула (3.3) в практике гидрологических рас­ четов в СССР в настоящее время не используется.

Сущность формул (3.4) и (3.5) вытекает из следующего ана­ лиза, выполненного Крицким, Менкелем [66, 70] и Алексеевым [2,

7, 8].

Любую генеральную совокупность случайной переменной (ха­ рактеризующей гидрологический режим), включающую Nn членов, можно представить состоящей из достаточно большого числа N ча­ стных совокупностей объемом в п членов. В таком случае рас­

сматриваемую генеральную совокупность можно записать в сле­ дующей форме ранжированных рядов:

кривых обеспеченностей. Каждая из этих кривых будет характери­ зовать обеспеченность Рт(х) рассматриваемой переменной хт среди совокупности Х т , 1 , Х т , 2 , . . ., Х т , jy.

Рассмотрим соотношения, существующие между обеспечен­ ностью величины Х т в генеральной совокупности Р(х) и обеспечен­ ностью величины Х т В совокупности Х т , 1 , Х т , 2 , . . ., Хт, ;у. Эту ОбвС- печенность обозначим через Рт(х) .

Искомое соотношение устанавливается на основе следующего известного из математической статистики положения: если веро­ ятность наступления некоторого случайного события при одно­ кратном испытании составляет Р (что в нашем случае соответст­ вует определению величины Р по генеральной совокупности), то при выполнении N независимых испытаний (что в нашем случае соответствует ряду хт, и хт,2, ..., хт, iv) вероятность появления со­

158

числу сочетаний из п по k.

Приведенное уравнение применительно к рассматриваемой за­ даче может быть получено из следующих рассуждений.

Явление превышения или непревышения рассматриваемой пере­ менной среди членов совокупности представляет независимые со­ бытия; поэтому по теореме умножения вероятностей р и 1 — р и по теореме сложения вероятностей всех возможных сочетаний из k пре­ вышений и 1 — k непревышений за п испытаний ровно k раз оно со­

ставит

получаем вероятности рт(р) превышения данной величины хт не менее т раз в пределах совокупности объемом п членов

Рт( Р ) = Ч т [ Р ( х ) |4-срш+ 1 [Я(л:)] + . . . + [Я(*)].

Поскольку сумма всех членов бинома (3.6) равна единице, веро­ ятности рт для значений т, близких к единице, т. е. для больших

членов выборки, занимающих в убывающем порядке первые, вто­ рые и т. д. места, проще вычислять по формуле

Так, для самых больших членов выборок (т= 1) получим

Для вторых по величине членов (т — 2) аналогичное выражение

запишется в виде

Р п - \ — 9 л - 1 ( л О + ' - Р л [ Я ( х ) ] ,

159