книги из ГПНТБ / Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии

В выражении (2.119) второй член от у не зависит и, следова-

Используя зависимость (2.122) и формулы перехода от началь­ ных моментов к центральным (1.38), получаем соотношения между параметрами рассматриваемых рядов х и г/= 1пх:

1 3 0

Решая уравнение (2.127) с использованием формулы Кардана, имеем

С, = 1/ 4 " + / ' +

Из уравнения (2.127) следует, что если колебания случайной пе­ ременной, подчиняющейся логарифмически-нормалыюму закону распределения, заключены в пределах от 0 до оо, то коэффициент асимметрии определяется однозначно. Следовательно, логарифми- чески-нормальное распределение, распространяющееся в указан­ ных пределах, является двухпараметрическим. Это обстоятельство ограничивает ее применение теми статистическими совокупностями, для которых характерно соотношение CS^ 3 C V+ СР. В частности,

это распределение достаточно удовлетворительно соответствует рядам максимального дождевого стока и суточных максимумов осадков.

Для величин х р различной обеспеченности можно написать

ния переменной х, распределенной по логарифмически-нормаль- ному закону. Величина tP, x в зависимости от параметров нормаль­ ной кривой, характеризующих распределение у = \пх, может быть

представлена в виде

позволяющую определять величину iP, х в зависимости от величины коэффициента асимметрии ряда величин х. Эта таблица с некото­

рыми дополнениями, произведенными Г. А. Алексеевым, приведена в работе [9].

Выше указано, что использование преобразования исходной ве­ личины х в форме х — еУ или у — \пх приводит к установлению

однозначной связи между величинами коэффициентов вариации и асимметрии логарифмически-нормальной кривой распределения в виде (2.127).

Рассматриваемому преобразованию можно придать более об­ щую форму, приняв исходную зависимость в виде

у = In Z,

где z — x — а. В таком случае однозначная связь между коэффици­

ентами вариации и асимметрии устанавливается уже для величин z=-x— а, поскольку, производя указанное преобразование, мы счи­

таем, что по нормальному закону распределяются не величины 1пх, а значения In2 = In (х — а)

Известно, что для двух случайных величин х и z = x — а, отли­ чающихся на постоянную величину а, их средние квадратические отклонения равны oz = ox. В таком случае можно написать

Таким образом, преобразование исходной переменной х.по ра­ венству у = In (х — а) приводит к различным соотношениям между

коэффициентами вариации и асимметрии исходной случайной пере­ менной х в зависимости от величин а.

Из уравнения (2.132) следует, что при k0 = 0 получается зависи­

мость (2.127), что соответствует пределам простирания логариф­ мически-нормальной кривой от 0 до оо; при k > 0 пределы прости­ рания кривой будут от а до оо; при k < 0 кривая при некоторых зна­

чениях обеспеченности выйдет в область отрицательных значений х. Рассмотрим пример, иллюстрирующий использование приема преобразования исходной переменной х в величину у, по соотноше­ нию y = \gx с целью применить для аппроксимации преобразован­

ного ряда нормальный закон распределения. За исходный ряд при­ нимаем величины среднегодовых значений расходов воды р. Дне­ пра у пгт Лоцманской Каменки (см. табл. 1.1). Находим значения логарифмов исходных величин и по ним в соответствии с эмпириче­ ской обеспеченностью каждого члена ряда получаем эмпирическую кривую обеспеченности, определяемую расположением эмпириче­ ских точек (рис. 2.19). Построение выполняем на клетчатке вероят­ ности, спрямляющей нормальную кривую обеспеченности. Располо­ жение эмпирических точек вдоль прямой линии свидетельствует о том, что принятое преобразование обеспечивает трансформацию исходного ряда в нормальный закон.

132

Вычисление величин модульных коэффициентов различной обес­ печенности можно выполнить двумя способами:

1) используя эмпирическую кривую обеспеченности (в данном случае прямую линию), проведенную на глаз применительно к имеющейся совокупности точек;

Рис. 2.19.. Лсгарифмически-нормальное распределение годового стока р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки.

1—эмпирические точки, 2—логарифмически-нормальная кривая.

2) осуществляя построение аналитической кривой обеспеченно­ сти нормального закона на основании параметров ряда величин

lgx. Эти параметры в данном случае равны: lg x = —0,02: (%ж= = 0,12; Cs = 0.

По указанным значениям параметров, используя таблицу бино­ миального распределения для случая С«= 0, находим логарифмы модульных коэффициентов для нескольких произвольно выбранных значений обеспеченности (\gkP).

Величины lg&p различной обеспеченности вычисляем по обыч­ ной схеме. Например, для Р= 1 % имеем

lg £1%= 2,33 • 0 ,1 2 -0,02= 0,26 .

Определив таким образом величины \gk для нескольких значе­

ний вероятности, строим линию, характеризующую в данном случае закон распределения величин \gk. По логарифму k находим рас­

четное значение модульного коэффициента £ 1%=1,84 л/с*км2.

133

§1 0

кривая распределения Г. Н. Бровковича

Уже неоднократно отмечалось, что биномиальная кривая рас­ пределения в случае CS<2CVпри экстраполяции нижней части кри­

вой за пределы наблюденных данных уходит в область отрицатель­ ных величин. Поскольку многие характеристики гидрологического режима, в том числе и расходы воды, по своей физической сущности не могут быть отрицательными, отмеченное свойство биномиаль­ ной кривой следует считать ее принципиальным недостатком. С це­ лью устранить этот недостаток биномиальной кривой были пред­

кривой при CS — 2CV проходить при 100%-ной обеспеченности через

нулевое значение признака сохранить это свойство при иных соот­ ношениях между параметрами Cv и Cs.

Один из приемов такого преобразования предложен С. И. Крицким и М. Ф. Менкелем, в результате которого получено так назы­

кривой распределения была предпринята Г. Н. Бровковичем [29]. Использованный им прием преобразования отличается от приема Крицкого и Менкеля. Он состоит в разложении функции распреде­ ления вероятностей по полиномам Лагера. Возникающий при этом многочлен в качестве первого элемента включает уравнение бино­ миальной кривой распределения при CS = 2C„.

В результате для распределения плотности вероятностей полу­

гд еа = 1 /С*; М2=1 + С*; М3 = (1 + С^) (1+ 2(7 ).

В многочлен, представленный уравнением (2.133), можно вклю­ чить и большее число слагаемых, но вычисление их требует знания эксцесса и моментов более высоких порядков, определить которые по имеющимся, сравнительно непродолжительным рядам наблюде­ ний с необходимой точностью невозможно. Сомножитель, заклю­ ченный в фигурные скобки (пертурбационный многочлен), позво­ ляет преобразовать исходный закон распределения

/3o W = r ^ r JC“" le"“

в более общее выражение, что обеспечивает получение лучшего со­ ответствия аналитической кривой эмпирическому ряду в пределах наблюденных значений.

1 3 1

Однако в гидрологии при построении кривых обеспеченностей главное значение имеет не это соответствие, а возможность экстра­ поляции кривой обеспеченности за пределы имеющегося ряда на­ блюдений.

Возможность такого применения рассматриваемой кривой ис­ следована Е. Д. Сафаровым [119] и Г. А. Алексеевым [10].

Приступая к исследованию характера кривой распределения (2.133), запишем ее уравнение в таком виде

казывает, что кривая Бровковича сохраняет положительные значе­ ния плотности вероятности при следующих величинах параметров:

при С„ = 0,05, если Cs изменяется в пределах до ±59С„;

некоторых значениях параметра а и соотношений Cs/Cv дают

рис. 2.20 и 2.21.

Очевидно, что при тех значениях параметров кривой распреде­ ления, при которых существенно положительная величина плотно­ сти Вероятности имеет отрицательное значение, кривая обеспечен­ ности, соответствующая такой кривой распределения, не может быть принята в качестве схемы, пригодной для экстраполяции, т. е. для получения значений рассматриваемой величины редкой повто­ ряемости.

Наличие второй моды совершенно не характерно для кривых распределения, предназначенных для описания однородных слу­ чайных совокупностей гидрологических величин.

135

Следует, однако, иметь в виду, что указанные нежелательные свойства кривой Бровковича проявляются в пределах тех значений параметров статистических рядов, которые практически не исполь­ зуются в гидрологических расчетах. Это, по мнению Сафарова, да­ вало основание рекомендовать ее для практического использова­ ния при Css^4C„. Е. Д. Сафаров составил таблицы, позволяющие строить интегральную кривую распределения Бровковича в зависи­ мости от величины параметра Cv и соотношения Cs/Cv [119].

§ П

обобщенные эмпирические кривые обеспеченности

Рассмотренные в предыдущих параграфах кривые распределе­ ния основаны на определенных теоретических статистических моде­ лях. В той мере, в какой каждая из этих моделей отражает стати­ стические закономерности определенного класса природных явле­ ний, эти кривые распределения выступают в форме объективных законов, реальная реализация которых применительно к конкрет­ ной статистической совокупности определяется эмпирическими зна­ чениями статистических параметров этих совокупностей.

Так, например, нормальный закон распределения в соответст­ вии с его теоретической схемой выступает в качестве всеобщего за­ кона применительно к статистическим совокупностям ошибок изме­ рений, рассеяния турбулентных пульсаций скорости течения и гид­ родинамических давлений, распределения высот снежного покрова и т. д. В этом смысле такие схемы (с достаточным к тому основа­ нием) в гидрологии часто называют теоретическими кривыми рас­ пределения. Однако указанная ситуация имеет место не во всех случаях.

Так, применительно к исследованиям многолетних колебаний различных гидрологических характеристик статистическая схема их формирования еще достаточно определенно не сформулирована. В таких случаях выбор типа кривой распределения осуществляется, исходя главным образом из степени соответствия эмпирического распределения той или иной схеме распределения. В этом случае более правильно говорить не о применении теоретической кривой распределения, а об аналитической аппроксимации эмпирического ряда в соответствии с присущими ему выборочными значениями статистических параметров.

Необходимо, однако, подчеркнуть, что сводить всю практику применения кривых распределения в гидрологии к техническому приему наподобие использования лекала для экстраполяции эмпи­ рического распределения нет оснований.

Во-первых, можно считать установленным, что многие характе­ ристики гидрологического режима (среднегодовые, максимальные, минимальные расходы воды, скорости течения, высоты ветровой волны и т. д.) образуют совокупности случайных величин, и,

137

следовательно, для описания статистических закономерностей этих совокупностей правомерно использовать определенные схемы ста­ тистических законов, а не произвольную математическую аппрокси­ мацию в форме математического лекала.

Во-вторых, для решения указанной выше задачи привлекаются не любые статистические законы, а законы, удовлетворяющие опре­ деленным условиям, вытекающим из анализа физической сущности исследуемых статистических совокупностей.

Основанием для указанной оценки использования статистиче­ ских схем в гидрологии является многолетний опыт их применения, не приводящий к сколько-нибудь существенным противоречиям с действительностью.

Вместе с тем следует обратить внимание на то, что использова­ ние принципа соответствия эмпирических и аналитических кривых распределения при ограниченных по объему выборках является ус­ ловием необходимым, но недостаточным для уверенного суждения о правильности принятой схемы распределения.

Таким образом, рассматриваемый вопрос может быть в доста­ точно полной мере решен лишь при создании теоретических стати­ стических схем, вытекающих из анализа условий формирования тех или иных статистических совокупностей гидрологических харак­ теристик.

Поскольку в настоящее время такие схемы отсутствуют, приоб­ ретают определенный смысл проработки, направленные на выяв­ ление типовых схем кривых обеспеченностей, свойственных стати­ стическим рядам различных гидрологических характеристик. Эти типовые схемы конструировались на основании обобщения эмпи­ рических кривых обеспеченностей, свойственных какой-либо гидро­ логической величине (среднегодовым, максимальным, минималь­ ным расходам воды, слою весеннего стока и т. д.).

Прежде чем излагать приемы построения эмпирических обоб­ щенных кривых, отметим, что используемый материал наблюдений, привлекаемый для таких обобщений, должен обладать качествен­ ной однородностью и должен анализироваться соответствующими статистическими методами.

Кроме того, при наличии стохастической связи между объеди­ няемыми совокупностями она должна учитываться при оценке ус­ тойчивости получаемых результатов. И наконец, должна быть также оценена внутрнрядная связанность, которая также влияет ра устойчивость окончательного решения.

Известны две попытки конструирования обобщенных эмпириче­ ских кривых обеспеченности: первая принадлежит Л. М. Конаржевскому [63], вторая — Г. П. Калинину [58].

Конаржевский обобщил данные о слое весеннего половодья рек засушливой зоны степных районов ЕТС. В качестве исходной ин­ формации он принял эмпирические кривые обеспеченности в форме

£ _1

— —— =f (р, Cs), построенные по каждому створу. Затем для

у

138