книги из ГПНТБ / Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии

Рассмотрим пример вычисления максимальных расходов воды дождевых паводков р. Москвы у г. Звенигорода за период наблю-

Рис. 2.14. Эмпирическая и аналитические кривые обеспеченности годового стока р. Москвы — г. Звенигород.

1 — р а с п р е д е л е н и е Г у м б е л я , 2 — б и н о м и а л ь н о е р а с п р е д е л е н и е .

Т а б л и ц а 2.8

дений 1924— 1970 гг. с применением кривой распределения Гумбеля, Исходные данные представлены в виде эмпирической кривой обес­ печенности на рис. 2.14. Стандартные параметры распределения оп­

1 1 0

ределены графоаналитическим методом, рассматриваемым в гла­

ве III. Они равны: х = Н 9 м3/с; CUjc = I,14; Cs = 2,5.

По табл. 2.8 находим среднее значение и среднее квадратическое

отклонение вспомогательной переменной у при п = 47: г/(47)=0,55;

о У(47)=1,16. Далее, используя уравнения (2.95) и (2.96), находим:

Окончательные расчеты с использованием распределения Гумбеля приведены в табл. 2.9, значения у Р взяты из табл. 2.7.

Т а б л и ц а 2.9

Расчет максимальных расходов воды дождевого стока различной обеспеченности с использованием кривой Гумбеля

Сопоставление величии, рассчитанных с использованием кривой распределения Гумбеля, с эмпирическими данными (рис. 2.14) по­ зволяет обнаружить определенное несоответствие в их расположе­ нии. Больше того, начиная с обеспеченности 78% аналитическая кривая Гумбеля уходит в отрицательную область. Это объясняется тем, что у кривой распределения Гумбеля коэффициент асиммет­ рии, как указано выше, является величиной постоянной (Cs=l,14), в то время как в данном случае Cs~ 2,5.

I l l

данным и во всем диапазоне обеспеченностей положительна. Интересно сопоставить распределение Гумбеля с данными фак­

тических наблюдений, для которых Cs < 1,14. Для этой цели исполь­ зовались максимальные расходы воды р. Архары у с. Аркадьевки с 1941 по 1968 г.

Стандартные статистические параметры этого ряда равны: х =

= 801; Cv =0,40; Cs . = 0,50 при п= 24. Как и ранее, у (24) —0,530;

Рис. 2.15. Эмпирическая и аналитические кривые обеспеченности годового стока р. Архары — с. Аркадьевна.

1 — р а с п р е д е л е н и е Г у м б е л я , 2 — б и н о м и а л ь н о е р а с п р е д е л е н и е .

0 i/(24)~ 1,09; 1/а = 295 и ^= 645. Последующие расчеты представлены

в табл. 2.9, а сопоставление рассчитанных и наблюденных величин выполнено на рис. 2.15.

Оценивая возможности рассматриваемого распределения для описания статистических совокупностей гидрометеорологических величин, следует иметь в виду указанные выше основные допуще­ ния, принятые при его построении. Эти допущения применительно

ксовокупности расходов воды следующие:

1)годовая совокупность суточных расходов воды имеет распре­

деление типа экспоненциального;

2)число элементов выборки, из которой извлекается наиболь­ ший максимальный расход воды, равное 365 дням, достаточно для применения асимптотической теории (n -э-оо);

3)элементы выборки (суточные расходы воды) взаимно неза­ висимы.

Указанное и некоторые дополнительные допущения приводят к получению в итоге распределения, характеризующегося постоян­ ным значением коэффициента асимметрии Cs= 1,14.

Рассмотрим, насколько указанные ограничения приемлемы для рассматриваемого нами класса задач.

112

жима большинства рек. Наличие достаточно высокой корреляции между суточными расходами воды приводит к резкому уменьшению объема независимой информации, которая может оказаться совер­ шенно недостаточной для применения асимптотической теории при

п —у- О О .

Возможность использования первого допущения не может быть заранее отвергнута, но одновременно следует учитывать, что оно принято па основе общих соображений, а не выявлено на основе анализа статистических совокупностей гидрометеорологических ха­ рактеристик.

Указанные соображения, как отмечает Ю. Б. Виноградов [36], еще в большей мере относятся к случаю применения кривой Гумбеля для вычисления годовых максимумов суточных осадков раз­ личной обеспеченности.

Важной особенностью рассматриваемого распределения, суще­ ственно уменьшающей пределы его использования в гидрологии, является постоянство коэффициента асимметрии (С*=1,14). В силу этого кривая Гумбеля применительно к статистическим совокупно­ стям, обладающим меньшей асимметрией, в области малых обеспе­ ченностей будет давать завышенные значения, а для рядов с коэф­ фициентом асимметрии, существенно большим, чем Cs=l,14, — за­ ниженные, что иллюстрируется на приведенных выше примерах.

В зоне больших обеспеченностей, очевидно, будет наблюдаться обратное соотношение между эмпирической кривой и распределе­ нием Гумбеля. Только в частном случае, когда коэффициент асим­ метрии статистической совокупности не существенно уклоняется от единицы, распределение Гумбеля покажет достаточное согласова­ ние с эмпирическими данными.

Вследствие указанных особенностей кривая распределения Гум­ беля не получила широкого применения в советской гидрологии. Отмеченные свойства кривой Гумбеля, вытекающие из ее теорети­ ческой схемы, на ряде примеров подтверждены в статье Д. Л. Соко­ ловского и В. А. Шелутко [135].

§ 8

нормальный закон распределения

Нормальный закон распределения, часто называемый распреде­ лением Гаусса или Гаусса—Лапласа, находит широкое применение при решении многих вопросов, связанных с исследованием законо­ мерностей случайных величин. Прежде всего это наиболее часто встречающийся закон распределения случайных величин. Кроме того, к нормальному закону могут быть сведены, как к пределу, многие другие законы распределения при некоторых условиях, ти­ пичных для формирования различных совокупностей случайных величин. Следовательно, по отношению к таким законам

распределения нормальный закон выступает в форме предельного закона.

Нормальный закон возникает в том случае, когда переменная величина формируется под действием суммы большого числа неза­ висимых (или слабо зависимых) факторов при условии, что каждый из этих факторов не оказывает на изучаемое явление превалирую­ щего влияния. Если это условие не выполняется, то закон распре­ деления превалирующего фактора окажет заметное влияние на сумму и определит уклонение закона распределения суммы от нор­ мального распределения. Возникнув одним из первых, рассматри­ ваемый закон к настоящему времени наиболее разработан в теоре­ тическом отношении и потому широко применяется при решении многих задач статистики и теории вероятностей.

Нормальное распределение было получено в связи с анализом ошибок измерений, но впоследствии нашло применение для описа­ ния статистических совокупностей многих природных явлений. В ча­ стности, нормальный закон распределения был использован А. Хазеном [152, 153] для описания многолетних колебаний речного стока.

Применительно к исследованию статистических закономерно­ стей речного стока в последующем стали использоваться иные за­ коны распределения. Однако при описании ряда других статисти­ ческих совокупностей гидрологических величин нормальный закон находит непосредственное применение.

Например, это имеет место при изучении турбулентных пульса­ ций скоростей течения и гидродинамических усилий, возникающих

впотоке, распределения высот снежного покрова на маршруте или

впределах некоторой территории, ошибок измерений параметров

гидрологического режима и т. д. М. А. Великанов [33] использовал нормальный закон распределения для обоснования теории форми­ рования донных гряд, И. Ф. Карасев [60] — для оценки вероятности срыва частиц грунта со дна турбулентного потока, К. И. Россий­ ский [113—115] — при исследовании закономерностей движения донных наносов.

Подробный вывод нормального закона распределения содер­ жится почти во всех курсах теории вероятностей и математической статистики и поэтому здесь не излагается. Укажем лишь, что он, например, может быть получен из приведенного ранее дискретного биномиального закона распределения при оо.

Уравнение нормальной кривой распределения в дифференциаль­ ном виде или в форме кривой распределения плотности вероятно­ стей имеет вид

,U-3H2

Величины х и а являются параметрами нормальной кривой. Пре­ дел простирания нормальной кривой распределения — от минус до плюс бесконечности (—о о < х < о о ) .

114

Отметим дополнительно, что применимость нормального закона к новой переменной 2 показана в следующем параграфе.

Переход от величины х к z, по существу, означает перенос на­

чала координат в центр распределения и выражение абсциссы в до­ лях от среднего квадратического отклонения. Использование выра­ жения (2.99) для непосредственного вычисления вероятности по­ явления переменной величины х в заданном интервале невозможно,

поскольку неопределенный интеграл вида

\ e ~ ^ d z

Интегральная кривая распределения величины х с параметрами

хф<д и 0=^1 через величины интеграла вероятностей Ф (х) выра­

зится в виде

В свою очередь вероятность попадания случайной величины х,

распределенной по нормальному закону с любыми параметрами х и о, на участок, ограниченный значениями от а до р, определится

равенством

117

Используя формулу (2.103) и таблицу интеграла вероятностей, можно, например, подсчитать вероятность попадания величины х

в пределах ±а; ±2а; ±3а. Такой подсчет показывает, что для нор­ мально распределенной случайной величины все рассеяние с точно­ стью до долей процента укладывается в пределах ±Зо (графа 6 табл. 2.10). Это так называемое «правило трех сигм» позволяет, зная среднее квадратическое отклонение и среднее значение слу­ чайной величины, указать интервал ее практически возможных зна­ чений. Одновременно это правило может быть использовано для ориентировочной оценки величины среднего квадратического откло­ нения. Для этого практически возможное максимальное отклонение от среднего необходимо разделить на три.

Рассмотрим основные особенности распределения вероятностей нормального закона, записанного в форме уравнения (2.100), при различных пределах интегрирования (табл. 2.10).

Важной особенностью табл. 2.10 является взаимная связь вели­ чин вероятностей, относящихся к различным пределам интегриро­

графы 3; значения графы 5 получаются путем деления на два вели­ чин графы 4 и, наконец, значения графы 6 — вычитанием из 100% значений графы 5. Данные графы 5 (табл. 2.10) представляют со­ бой так называемую нормированную функцию Лапласа, более по­ дробные значения которой при г от 0,0 до 5,0 с интервалом z = 0,01

даны в работе [89].

Используя данные табл. 2.10, можно решать различные стати­ стические задачи.

Рассмотрим следующий пример. На основании многократных измерений расхода воды в некотором створе реки при постоянных внешних условиях установлено, что средняя величина расхода воды

с данными графы 2 табл. 2.10 вероятность равна 34,13%. Вероят­

2,28 и 97,72% (графы 5 и 6 табл. 2.10).

Выше указывалось, что нормальная кривая распределения мо­ жет рассматриваться как предельная форма биномиального распре­ деления при п-уоо. Очевидно, что эти распределения будут разли­ чаться тем меньше, чем больше п. Кроме того, при постоянном п би­

номиальное распределение быстрее сходится к нормальному при р-*-1/2 . Это свойство биномиального распределения можно исполь­

зовать, в частности, с целью упрощения расчетов по дискретному

119