книги из ГПНТБ / Рождественский, А. В. Статистические методы в гидрологии

При CS>2CV в зонах больших обеспеченностей (Р>99% ) трех­

параметрическому гамма-распределению соответствуют меньшие значения ординат кривой обеспеченности по сравнению с биноми­ альной кривой; в зоне малых обеспеченностей (Я<1% ) соотноше­ ние меняется на противоположное. Это связано с тем, что трехпа­ раметрическое гамма-распределение во всех случаях нижним пре­ делом имеет нулевое значение признака, а кривая Пирсона III типа при Cs/Cv> 2 ограничена некоторым положительным числом (х0>

> 0 ). Когда кривая Пирсона III типа в зоне больших обеспечен­ ностей уходит в область отрицательных значений признака, оче­ видно, что при CS<2CVсоотношение между ординатами рассматри­

ваемых кривых в зоне больших и малых обеспеченностей изменится на противоположное по сравнению с условием CS>2CV.

Отмеченное взаимно компенсирующее смещение верхней и ниж­ ней частей кривых вытекает из условия равенства единице пло­ щади, ограниченной любой кривой распределения вероятностей.

§ 6

распределение Р. Д. Гудрича

Для описания статистических совокупностей речного стока и осадков Р. Д. Гудрич [147] использовал эмпирически полученное уравнение

где Р(х) — обеспеченность, или вероятность превышения х; х0— ми­ нимальное значение рассматриваемой случайной переменной; X — максимальное значение переменной; а, п, т — параметры, опреде­ ляемые по ряду значений х, установленных в результате измерений

(наблюдений).

Подробное исследование уравнения (2.66) выполнил Г. А. Алек­ сеев [10], который показал, что оно не является только эмпириче­ ским решением, привлекаемым для аналитического описания кри­ вых обеспеченностей, а может рассматриваться как соответствую­ щее определенной статистической схеме.

В качестве основы такой схемы Алексеев рассмотрел случайные величины, образующиеся в результате монотонного (односторон­ него) роста от своих нижних пределов до paccMafpuBaeMbix значе­ ний, причем так, что для достижения признаков какого-либо зна­ чения х + у ему сначала нужно получить значение х, а дальнейшее увеличение его на величину у не зависит от уже достигнутого зна­

чения х, иначе говоря, при условии, что приращение признака не за­ висит от достигнутой им величины.

Уравнение (2.66) содержит пять параметров, поэтому практи­ чески оно используется только в частных формах, а именно:

1 0 0

При использовании уравнений (2.67) и (2.68) непосредственно для аппроксимации различных кривых, т. е. вне связи с оценкой статистических параметров С„ и Cs, обеспеченность Р удобно вы­

разить в процентах, а за основание показательной функции взять

где а' = 0,43а; у' = 0,43у.

Для определения параметров уравнений (2.69) и (2.70) Гудрич предложил специальную клетчатку, названную им клетчаткой асим­ метричной частоты.

Ось абсцисс этой клетчатки представляет шкалу значений (2 —

— 1gP), а ось ординат — логарифмическую шкалу. Смысл построе­

на ней изображаются в виде прямых линий с угловым коэффициен­

спрямления эмпирической кривой обеспеченности, определяемой

точками: Р(хi), Р(х2), ..., Р(хп), где Р(хп) = - - - т ^ • 100%; п — ТЬ“г

число всех членов ряда; т — порядковый номер ряда, расположен-

ного по убывающим значениям признака.

Уравнение (2.71) использовал Б. Д. Зайков [55] для спрямления эмпирических кривых обеспеченности максимальных расходов ве­ сенних половодий, а уравнение (2.72) применял В. А. Урываев [139] для аппроксимации кривых обеспеченностей суточных расходов воды.

101

Уравнения (2.67) и (2.68) в дифференциальной форме имеют вид:

различных значениях параметра п представлено на рис. 2.11.

р(х)

Рис. 2.11. Кривые распределения Гудрича при раз­ личных n= f(Cs, Cv).

Уравнение кривой распределения (2.74) является более общим, чем уравнение (2.73), однако оно содержит четыре параметра, для определения которых по способу статистических моментов необхоходимо использовать момент четвертого порядка, который по имею­ щимся рядам гидрометрических наблюдений определяется с недо­ статочной точностью.

В силу указанного Алексеев рассмотрел детально уравнение (2.73) и составил для него стандартные таблицы нормированных

отклонений ——— ординат кривой обеспеченности Гудрича, анало-

С V

гично тому, как Фостер составил таблицу нормированных отклоне­ ний ординат кривой Пирсона III типа.

Используя обычный прием выражения параметров кривой рас­ пределения через моменты, можно установить связь параметров уравнения (2.73) а, я и хо со средним арифметическим значением

и коэффициентами вариации и асимметрии.

Анализ полученных соотношений показал, что в качестве исход­ ного параметра рассматриваемой кривой может быть принят коэф­

1 0 2

фициент асимметрии, связанный с параметром п, следующим соот­

ношением:

И '+ тгЬ 'Ф +тг)]

Расчет нормированных значений отклонений х от среднего зна­

чения х осуществляется по формуле

|1п/>|,/я- Г (l + 4-)

(2.76)

^ r (1 + A ) - r2( , + _ L ) ’

которая непосредственно вытекает из уравнения (2.73) и из сле­ дующих соотношений:

Заменяя натуральный логарифм на десятичный и выражая обес­ печенность Р в процентах, формулу (2.76) запишем в виде

где

________ (2,3026)11"_________

/ r(1+T)-r2(4 -v) ’

] / r ( 1 + A ) _ r !(, + J_)

причем А и В являются функциями Cs, так как Cs=(/(n). Задаваясь величиной параметра п от 0,5 до 20, на основании выражений (2.75),

С v

асимметрии Cs = f(n). Эта таблица приведена в работе [10]. Полагая в формуле (2.79) х = х0,Р = 100%, получаем

103

Из приведенного равенства следует, что нормированное отклоне­

ние нижней границы распределения х0 от середины х равно пара­ метру В, взятому со знаком минус. Из приведенного соотношения

также следует, что при заданной асимметрии распределения (за­ данному Cs отвечает определенное значение В) нижняя граница

кривой распределения Гудрича: положительна при

ka= \ —BCv > 0 , если С» < -g- ,

равна нулю при

k0= \ —BCv=0, если Cv = ,

и, наконец, отрицательна при

&о=1 — BCV< 0, если

В соответствии с этим величину \/B = CVq можно принять в ка­

честве критерия для оценки области положительных значений кри­

= 2,9 Cv — 0,9, определяет границу совпадения наименьшего значе­ ния признака с нулем. Иначе говоря, при соотношениях между Cv

и Cs, соответствующих этой линии или располагающихся выше ее, кривая Гудрича не уходит в отрицательную область. Для сопостав­ ления на рассматриваемом графике нанесена линия, соответствую­ щая равенству CS=2CV, при котором кривая Пирсона III типа не

уходит в отрицательную область. При значении С„ = 1 эти линии пересекаются. Из графика следует, что нижняя граница кривой рас­ пределения Гудрича, в отличие от кривой Пирсона III типа, ос­ тается положительной и при CS<2CV, если только C„<CS=1/,B, или, что то же самое, если (Д>2,9 Cv — 0,9.

Однако при Cv > 1 соотношение между рассматриваемыми кри­

выми меняется: кривая Гудрича сохраняет равенство нулю нижнего значения признака при меньших значениях коэффициента вариа­ ции, чем кривая Пирсона III типа. Иначе говоря,-при значении ко­ эффициента вариации больше единицы кривая Гудрича уйдет в от­ рицательную область при меньших значениях обеспеченности, чем кривая Пирсона III типа.

Сопоставим распределение Гудрича с распределением Пирсона

III типа при значениях С^ = 0,5; 1,0; 1,5 и при CS = 2C„ и CS= C V.

Как и следовало ожидать, при Сг- = 1,0 и при CS = 2C„ оба распре­

104

деления совпали. Можно отметить, что в этом случае не будет отли­ чаться от рассматриваемых кривых и трехпараметрическое гамма-

распределение.

При Си = 0,5 и Cs = 0,5 распределение Пирсона III типа уходит в отрицательную область при Р = 99%, а распределение Гудрича

Расчет величин годового стока р. Днепра у пгт Лоцманской Каменки с использованием распределения Гудрича

1 0 5

§ 7

закон распределения крайних членов выборки (распределение Гумбеля)

В качестве одного из приемов аналитического описания закона распределения совокупностей гидрологических характеристик ис­ пользуется теория распределения крайних членов выборки [45,130],

к

ч

о.о \

\\

Рис. 2.13. Влияние коэффициента асимметрии на вид кривой распреде­ ления Гудрича при С„ = 0,5.

1 - C S=3CV, 2 C3=2CV, 3 - c = c v..

разработанная применительно к исследованию статистических со­ вокупностей экстремальных (максимальных или минимальных) зна­ чений гидрометеорологических характеристик (например, расходов воды, суточных осадков, скоростей ветра и т. д.).

Закон распределения крайних членов выборки может быть за­ писан в форме:

для совокупности наибольших величин

для совокупности наименьших величин

106

Уравнения (2.80) и (2.81) описывают интегральные кривые рас­ пределения вероятностей случайных величин х, расположенных в порядке убывания. Здесь у — вспомогательная переменная, пред­ ставляющая собой нормированное отклонение величины у от моды и связанная с исходной случайной величиной х линейной зависи­

мостью

где q — параметр уравнения (2.82), представляющий собой моду распределения вспомогательной переменной у и связанный с вели­ чиной х следующим соотношением:

Очевидно, что 1/а имеет размерность х.

Учитывая соотношения (2.83) и (2.84), равенство (2.82) можно

Применительно к совокупности случайных характеристик гидро­ метеорологического режима распределение крайних членов выборки можно представить в следующем виде.

Рассматривается, например, многолетний ряд ежедневных рас­ ходов воды. В пределах этой общей совокупности можно выделить отдельные годовые циклы, в данном случае включающие 365 эле­ ментов рассматриваемой характеристики стока. Теория распределе­ ния крайних членов выборки предусматривает, что каждый цикл характеризуется одной и той же общей для всех циклов функцией распределения Р(х), число членов совокупности стремится к бес­

конечности и элементы, образующие каждую частную совокуп­ ность (годовой цикл), взаимно независимы. Вероятность получить значение рассматриваемой величины х ниже некоторого интересую­ щего нас значения х0 в пределах одного цикла может быть записана

в виде

107

Так как по условию функции распределения Р(х) одинакова для

всех циклов, то вероятность одновременного выполнения равен­ ства (2.87) для всей совокупности, включающей п циклов, по пра­

вилу умножения для независимых событий, будет равна

Принимая, как это отражено в схеме Гумбеля, функцию распре­ деления каждого цикла в форме экспоненциального закона

Далее допускается, что математическое ожидание (среднее зна­ чение) наибольших членов будет возрастать по логарифмическому закону при увеличении объема выборки (длины цикла); т. е.

х п= х \ п п,

где п — объем выборки в каждом цикле, из которой формируется

то при том же условии

т. е. рассматриваемое распределение подчиняется двойному показа­ тельному закону, записанному в общем виде в форме уравнения

(2.80).

108

Практическое применение кривой распределения (2.80) сво­ дится к вычислению величин хр в зависимости от вспомогательной

которое непосредственно вытекает из равенства (2.82).

Величины у р могут быть определены в результате двукратного ло­

гарифмирования выражения

В случае использования реально имеющихся при расчете срав­ нительно коротких рядов наблюдений Гумбель предложил оцени­

ох(п) вычисляются по обычным формулам выборочной оценки этих

параметров [формулы (1.1) и (1.16)]. В последней строке табл. 2.8

приведены теоретические значения у = 0,577 и оу—1,282, соответст­ вующие бесконечной длине ряда п — оо, они использованы при по­

строении соотношений (2.83) и (2.84).

109