книги из ГПНТБ / Применения лазеров
..pdf220 |
Фредерик АроноРиЦ |
включает нормальную компоненту скорости вращения Земли (10 град/ч) и небольшой сдвиг нуля, обусловленный использованием в кольцевом лазере одной газоразрядной трубки с возбуждением постоянным током. При проведении этих измерений компенсация движения интерференционных полос за счет колебаний гироскопа, о которой упомина-
Ф и г. 16. Измерение дрейфа показаний лазерного гироскопа с переменным механическим смещением.
лось выше, не применялась. Применение такой компен
сации привело бы к тому, что на фиг. |
15 не было бы сину |
|||
соидального изменения |
угла поворота, а |
осталось бы |
||
лишь его непрерывное |
возрастание, |
обусловленное |
пос |
|
тоянной составляющей скорости вращения. |
|
|
||
На фиг. 16 показаны результаты |
двухчасового |
изме |
||
рения дрейфа [45] показаний лазерного гироскопа1) |
с пе |
|||
ременным механическим смещением. |
Была |
использована |
||
і) В данном случае, в отличие от общепринятого, автор под дрейфом подразумевает скорость вращения Земли. — Прим. ред.
Лазерные гироскопы |
221 |
автоматическая компенсация периодического смещения по лос за счет колебаний гироскопа. Не—Ne-лазер работал на длине волны 1,15 мкм и имел периметр резонатора 54 см; масштабный коэффициент при этих параметрах сос тавлял 0,44 имп/". Из результатов измерений следует, как и ожидалось, постоянное накопление количества им пульсов, вызванное вращением Земли. При этом измеря лась только компонента скорости, нормальная к поверх ности Земли в месте проведения измерений. Величина
этой |
компоненты |
составила |
11 |
град/ч, |
что можно видеть |
из наклона кривой на фиг. |
16 (т. е. 4,7 |
имп/с, деленные на |
|||
0,44 |
имп/" дают |
11 7с). При |
этом необходимо отметить, |
||
что порог захвата кольцевого лазера составлял ~2000 град/ч. Для данного размера резонатора кольцевого лазера и при используемом лазерном переходе эта величина порога захвата соответствует, согласно выражению (35), величине рассеяния на зеркалах резонатора, равной 0,05%.
Результаты измерений, представленные на фиг. 15, яв ляются типичными для лазерных гироскопов. Они пока зывают потенциальную возможность использования лазер ных гироскопов в качестве инерциальных датчиков, не смотря на высокие значения пороговых скоростей захвата.
Применение знакопеременного смещения обеспечивает вывод лазерного гироскопа из области захвата в течение большей части периода колебаний смещения, в результате чего гироскоп чувствителен к любой близкой к нулю ско рости вращения1).
Электронные и другие способы компенсации знакопере менного смещения позволяют сразу получать истинную ско рость вращения. Вносимые при этом погрешности могут быть сведены до минимума улучшением симметрии знако переменного смещения и увеличением доли периода коле бания, в течение которой лазерный гироскоп выведен из зоны захвата. Идеальной формой колебаний для знакопере менного смещения являются прямоугольные импульсы с максимальной возможной амплитудой. В практике констру ирования лазерных гироскопов используются компромис сные решения.
1) Это утверждение автора не совсем верно. — Прим, ред,
222 |
Фредерик Ароновиц |
5. ДИСПЕРСИОННЫЕ СВОЙСТВА АКТИВНОЙ СРЕДЫ
5. 1. Отличия кольцевого лазера от линейного
Наилучшее описание свойств Не—Ne-лазеров дает мо дель, предложенная Лэмбом [48]. В полуклассической теории Лэмба поле в резонаторе вызывает появление мак роскопической поляризации активной среды, вычисляемой на основе квантовомеханических представлений. Эта по ляризация затем используется в качестве источника поля в уравнениях Максвелла. В результате такой процедуры получается замкнутая система уравнений для амплитуд, частот и фаз генерируемых оптических колебаний.
Теория Лэмба разработана в применении к линейному
лазеру. |
Ее обобщение для кольцевого лазера дано в рабо |
|||||||
тах |
[2, |
3, |
33, |
36, |
46, |
68, |
85, |
87]. |
|
В лэмбовской трактовке линейного лазера собственные |
|||||||
функции нормальных мод резонатора без активной среды представлены набором стоячих волн. В кольцевом лазере электромагнитное поле описывается системой встречных бегущих волн, причем поскольку эти встречные волны в пустом резонаторе независимы, то число степеней свободы поля в кольцевом лазере удвоено по сравнению с линейными. Соответственно число уравнений для определения амплитуд и частот волн также удваивается, а их анализ соответствен но усложняется. Так, например, в наиболее простом случае одномодового кольцевого лазера с линейной поляризацией амплитуды и частоты генерируемых волн определяются системой четырех уравнений. При равенстве амплитуд и частот встречных волн (предельный случай) число урав нений уменьшается до двух, идентичных уравнениям, пред ложенным Лэмбом для описания линейного лазера со стоя чими волнами.
Исследование работы кольцевого лазера в магнитном поле [38] без ограничения на возможную поляризацию излу чения требует анализа уже восьми уравнений. До настоя щего времени в печати не было опубликованных работ, пос вященных анализу этой задачи, хотя имеется ряд работ [19, 41]» по экспериментальному исследованию влияния
» См. также работу'[5*]. — Прим, перев.
Лазерные гироскопы |
223 |
магнитного поля на дисперсионные свойства активной среды в кольцевом лазере.
Другой особенностью кольцевого лазера является про блема связи между встречными волнами. В самосогласован ных уравнениях одномодового кольцевого лазера учтено наличие обратного рассеяния.
Как упоминалось в разд. 4.3, связь волн через обратное рассеяние при вращении лазера может привести к моду ляции частоты бегущих волн, а при некоторой критической величине обратного рассеяния частоты встречных бегущих
волн синхронизуются. Кроме того, обратное |
рассеяние |
может • привести к амплитудной модуляции |
каждой из |
волн с частотой биений [29]. |
|
В кольцевом лазере наблюдается и другой вид связи меж ду встречными волнами — взаимодействие через активную среду. Для однородно уширенных переходов это взаимодей ствие весьма сильное. При наличии несимметричных ус ловий для распространения разных мод наблюдается кон куренция мод и генерация происходит на одной бегущей волне І10, 39, 63, 69, 78].
Если преобладает неоднородное уширение переходов, связь слабая и генерация осуществляется в обоих направ лениях [58]. Однако при сильно несимметричных условиях одна из бегущих волн может быть даже подавлена [6, 40, 53].
Несимметрия в условиях возбуждения противополож но направленных волн может быть обусловлена неодинако выми потерями в разных направлениях (асимметричное рассеяние или магнитооптическое взаимодействие) или неравным усилением (расщепление частот в результате не взаимности оптического пути, вызванной вращением лазера, ленгмюровским течением среды, френелевским увлечением, эффектом Фарадея и т. д.). Механизм конкуренции мод обусловлен насыщением усиления активной среды. Гене рация каждой волны сопровождается'насыщением усиле ния в широкой спектральной области атомных переходов линии усиления лазера. Насыщение, вызванное более силь ной волной, может привести к уменьшению усиления для более слабой волны до величины, меньшей порогового значения, что приводит к срыву генерации этой волны
[2, 4, 48].
224 |
Фредерик Ароновиц |
5. |
2. Математическая модель кольцевого лазера |
Математический анализ свойств кольцевого лазера про веден в работах [2, 3]. Вначале решаются уравнения Мак свелла (одномерные при периодических граничных усло виях), записанные во вращающейся системе координат
[37, |
43, |
66, |
86]. |
|
|
|
|
|
При этом волновое уравнение имеет вид |
|
|||||||
|
_____ 1 _ |
сРЕ_ |
дЕ_ |
JPE_ |
_ а _ |
d2 Е _ |
||
|
|
£0[л,0 |
Ö22 |
Q dt |
dt2 |
е0р.0 |
dzdt |
|
__ ш2Р___ (39)
в0 £0 dt
При записи этого уравнения полагается, что усреднен ные по длине резонатора потери могут быть выражены с помощью пассивной добротности Q резонатора
о/е0 = (u/Q.
Член уравнения с производной по двум переменным пропорционален скорости вращения Плазера, поскольку
а = 4/Ш /Іс2, |
(40) |
где L — длина резонатора, А — площадь,охватываемая оптическим лучом в резонаторе.
В уравнении содержится только линейный член по а. Так как макроскопическая поляризация является почти монохроматической, вторая производная от Р по времени заменена в уравнении на —со2/5. Последний член в~йравой части уравнения (39) описывает связь волн через обратное рассеяние (Es— поле обратного рассеяния).
Решение волнового уравнения проводится путем разло жения поля Е по собственным функциям нормальных мод
резонатора без активной среды: |
|
Е {г, /) = £ [Ап (t) Un (г) + Ап {t) Ѵп (г)], |
(41) |
П |
|
где
Un (z) = sinTCnZ,
Лазерные гироскопы |
225 |
Ѵп (г) = cos K„Z, |
(42) |
Kn = 2т/L. |
|
Собственные функции нормальных мод резонатора без активной среды удовлетворяют уравнению
Разделяя переменные, получаем систему связанных урав нений для зависящих от времени коэффициентов разло жения поля:
d2Ап , |
dAn |
+ |
Q* An— ac2K, |
dAn |
||
dt2 |
Q„ |
dt |
|
|
|
dt |
|
|
ш n |
_ |
dEsl |
|
|
|
|
|
Ln |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
(44) |
|
d'2An . |
ы dAn |
|
|
|
||
+ |
&nA n + ac*Kn |
dAn |
||||
dt* + |
Q~n |
dt |
dt |
|||
|
__ |
“ 2 |
D |
a s |
d E sn |
|
|
|
e0 |
r n |
£o |
— I |
|
|
|
|
dt |
|
||
где Pn и Esn— соответствующие фурье-компоненты поля ризации и поля рассеяния в системе собственных функций нормальных мод резонатора без активной среды.
Коэффициенты А представляются с помощью медленно изменяющихся функций времени вида
Ап (t) = Eln (t) cos Bln + |
Егп (t) cos В2п, |
|
|
|
(45) |
Ап(О = |
Eln (t) sin Bln — Е2п(/) sin 62п, |
|
где |
|
|
@ І П ~ |
“Ь У і п ( O ’ |
t ^ ’ 2 . |
Коэффициенты разложения поляризации записываются в виде суммы «синфазного» члена и члена со сдвигом фазы на 90° по отношению к колебанию на частоте со
Рп (*) = Sln sin Bln + Cln {t) cos 0ln,
(46)
Pn (0 = s ln sin Bln + Cln (t) cos 0ln.
8—901
226 |
Фредерик Ароновиц |
Для фурье-компонент поля рассеяния принимаем, что часть rt поля Ег рассеивается в направлении распростра нения другой волны с приращением фазы ег, т. е.
Е2(с»4 + |
?2) |
Еі Ы + <Рі). |
ri ß i (tüi^ + 9 1 + |
ei)^- |
- + r 2E2(w2t + <p2 + £г)- |
Тогда фурье-компоненты поля рассеяния могут быть запи саны в виде
E s n = ГJ71-^1n COS (Ѳ1п £1 n) 'T ^2n^2n COS (0 -n -j- S2n),
(47)
ESn |
^щЕщ sin (Öjn T" sin) "b t~2n^an sin (Ѳ2п s2n)‘ |
Подставляя выражения (45) — (47) в уравнение (44) и приравнивая коэффициенты при sin Ѳ1п. и cos6ln нулю, получим четыре уравнения, определяющие амплитуды и частоты встречных бегущих волн:
Е1п+ (ш/2Qn) Елп = |
(ш/4е0) (Cln- S ln) - |
|
|
|||
— (°sl2eo) Г2пЕ2п cos (<!»„ + е2ге), |
|
(48а) |
||||
Д2п+ |
(W2Qn) £ 2п = |
(ш/4е0) [(Sln — Cln) sin <]>п - |
||||
|
(’^ln'T^'ln) COS фп] |
(os/2Sq) Г}ПЕіп COS (<рп |
£in)’ |
|||
|
|
|
|
|
|
(486) |
(%П— Öln) Eln = |
(со/4г0) (Cln + Sln) + |
|
|
|||
+ |
( V 2eo) hnE2ns i n |
(<|>Л + e 2J , |
|
(4 8 b ) |
||
(^2k ^2n) E 2n — (to/4 s0) [(Cln |
S ln) cos |
|
|
|||
( V "b Сщ) sin фп] |
(°j/2sq) rlnEin sin (<]>„ |
em)? |
||||
где |
|
|
|
|
|
(48r) |
|
|
|
|
|
|
|
фп = |
б2п — Ѳщ = |
К |
— ® і) * + (?2 — |
<Рі) |
48д) ( |
|
—медленно меняющаяся функция времени.
В уравнениях (48) частоты Q „ резонатора без активной
среды заменяются частотами
Лазерные гироскопы |
227 |
Ö.n = 2B+ \ * К пс\
(49)
Qi» = а» - -j -
Уравнения (48) являются основными уравнениями, определяющими амплитуды и частоты волн, генерируемых в кольцевом лазере.
Расщепление частот противоположно направленных волн резонатора без активной среды определяется выражением (49) и согласуется с выражением (9). Дисперсионные эф фекты активной среды заключены в фурье-компонентах поляризации.
Расчет фурье-компонент поляризации является вторым этапом анализа уравнений. При рассмотрении поведения атомов активной среды во внешнем поле используется квантовомеханический подход и метод матрицы плотнос ти. Матрица плотности вычисляется путем разложения ее в ряд по взаимодействию поля со средой [48]. {ля ка чественного анализа дисперсионных эффектов достаточен учет членов третьего порядка. Учет членов пятой степени необходим для исследования устойчивости [74].
5. 3. Учет обратного рассеяния света
Анализируя уравнения (48), можно заметить, что в их правой части имеются члены, которые не зависят от усиления среды. Эти члены обусловлены обратным рассея нием и отображают свойства резонатора без активной сре ды. Подставляя уравнения (48в) и (48г) в уравнение (48д), взяв производную и пренебрегая поляризационными чле
нами, получим следующее уравнение для |
частоты биений: |
Ф= 2 + (V 2eo) fo (£2/£ i) sin (ф + |
ea) + |
+ П (EJE2)'sin (ф — ej], |
(50) |
где Q — расщепление частот резонатора вследствие вра щения. Уравнение (50) идентично уравнению (23) при на личии обратного рассеяния только в одном направлении
8*
228 Фредерик Ароновиц
и с учетом того, что проводимость среды, обусловленная обратным рассеянием, определяется выражением
as/2e0= c/L.
Таким образом, синхронизация частот получена более формальным способом, причем в первом приближении оказывается, что она не зависит от усиления среды. Без/- словно, усиление среды является необходимым условием генерации, а обратное рассеяние лишь приводит к тому, что часть энергии лазерного излучения не теряется, а рас сеивается назад в резонатор.
В приближениях более высоких порядков влияние
усиления среды |
проявляется |
двояко. |
Во-первых, |
для лазерных систем с низким |
усилением |
появляются |
|
члены, сильно зависящие от коэффициента усиления и содержащие отношение интенсивностей волн (см. разд. 6.2). Во-вторых, зависимость полосы синхронизации от усиления возникает вследствие изменения поляризации [3, 46, 77]. При выводе уравнений (48) предполагалось, что имеется ненулевое поле рассеянного назад излучения волны с противоположным направлением распространения, кото рое рассматривается как источник в уравнениях Максвелла. Однако вклад этого поля в поляризацию атомов не учиты вался. Если учесть это поле при вычислении поляризации, то возникнут дополнительные обусловленные обратным рассеянием члены, описывающие взаимодействие полей, причем эти члены оказываются пропорциональными уси
лению. |
малым коэффициентом |
усиления g « |
Для лазеров с |
||
« 0,01—0,1, таких, |
как Не—Ne-лазер с |
излучением на |
X = 0,633 мкм или 1,15 мкм, величина этих членов на одиндва порядка меньше, чем величина членов уравнения (50). Для систем с высоким усилением (например, Не—Ne-ла зер с излучением на X = 3,39 мкм) члены более высокого порядка, содержащие коэффициент усиления, имеют дос таточно большую величину, и приближенная модель, с помощью которой учитывается обратное рассеяние при выводе уравнения (48), уже не годится. Для грубой оценки порога синхронизации в лазерах с X = 3,39 мкм, по-ви димому, достаточно заменить коэффициент обратного рас сеяния г на rexp(g').
Лазерные гироскопы |
229 |
Следует отметить, что в некоторых работах при рассмот рении синхронизации [46, 47] пренебрегали вкладом низ ших порядков рассеяния в уравнение типа (48), что давало заниженную величину порога синхронизации.
5. 4. Теория в первом приближении. Порог генерации и затягивание мод
При использовании теории возмущений в первом при ближении [48] были вычислены фурье-компоненты поля ризации в следующих предположениях: активной средой служит газ и усиление среды мало. Линия излучения лазер ного перехода уширена вследствие движения атомов (доп плеровское уширение) и вследствие конечного времени жизни состояний. Рассматривались только такие столкно вения, которые приводят к резкому изменению фазы излу чающих атомов [76]. «Мягкие» столкновения, которые изме няют распределение атомов по скоростям и приводят к фазовым сдвигам, дающим асимметрию линии усиления и смещение энергетического уровня, не рассматривались
[31, 75, 76].
Самосогласованные уравнения (48) можно записать в следующем виде (пренебрегая для простоты членами, обус ловленными обратным рассеянием):
(2L/C) Éj/Ej = 'J.J, |
(51) |
||
wj “I"" ¥j = |
/ |
— 1» 2, |
(52) |
где |
|
|
|
о,- = GZt tlßlz, (0) - |
Ту, |
(53) |
|
oj = (cl2L)GZr(tj)lZt (0). |
(54) |
||
Как и для линейного лазера, теория в первом прибли жении позволяет получить пороговое условие генерации. Из уравнения (51) следует, что пороговые условия генера ции для каждой волны независимы. Из уравнения (53) видно, что величина ау равна разности коэффициента усиления и коэффициента потерь для каждой волны. Z{ и Zr — мнимая и действительная компоненты дисперсион ной функции плазмы [32]: