книги из ГПНТБ / Куликов, С. Я. Сопротивление материалов учеб. пособие

свободных колебаний системы с одной степенью свобод

В этом уравнении постоянными интегрирования будут ам туда колебаний „а" и начальная фаза

- перемещения груза Р. Построен график колебаний сог ласно уравнению (19.12) и имеет вид, представленный н рис.II.12.

Рис.II.12

Период колебаний определяется по формулам:

518

'^Ц;***' УУГ (20.12)

Частота колебаний определяется по следующей фор­ муле:

Из этой формулы следует, что определение частоты сво­ дится к вычислению статического перемещения системы под действием веса груза.

От круговой частоты (л)о можно перейти к числу колебаний По в секунду, выраженному в герцах, т.е.

Кроме свободных колебаний существуют вынужденные колебания. Вынужденными колебаниями системы называются колебания, которые совершает груз при непрерывном дей­ ствии на него периодически изменяющейся силы. В качео ве примера рассмотрим колебания невесомой пружины с п вешенным грузом Р, изображенной на рис.10.12. Допустим, что кроме постоянной силы Qо на груз будет дей­ ствовать периодически переменная возмущающая сила

Qgj. , вследствие чего возникнут вынужденные колеба­ ния системы, которые можно выразить уравнением:

c/t* / Я-О <Г /Г7

519

где tO - частота изменения нагрузки.

Обозначим т^ — ^ . Если будем рассматри­ вать колебания через большие интервалы времени с нач

ла их возникновения, то можно записать закон движения массы /г? при установившихся вынужденных колебан следующей форме:

Амплитуда вынужденных колебаний равна:

й-

Это выражение преобразуем выразим в следующем виде:

я-

откуда:

Из последнего выражения следует, что амплитуда вынужденных колебаний А выражает динамическое перемеще­ ние под действием периодически переменной возмущающей

кое перемещение системы, которое возникло бы от прил жения силы Q0 . Учитывая высказанные соображения, можно наше выражение переписать в таком виде:

520

Следовательно, чтобы определить динамическое на­ пряжение в упругой системы, обусловленных ее вынужден ми колебаниями, нужно вычислить напряжения от статиче

Для нахождения полных напряжений в упругой системе ол дует прибавить к динамическим напряжениям также напря­ жения от статически действующей силы Р .

Необходимо отметить, что амплитуда вынужденных ко­ лебаний зависит не только от жесткости системы и ин сивности нагрузки, но и отношения частот 1*2-

521

ние резонанса), т.е. когда частота СО возмущающей силы совпадает с частотой колебаний упругой системы. Наличие этого явления создает большую опасность для

конструкции или сооружения. В связи с этим, при расче те конструкции при действии на нее периодически измен щейся возмущающей силы возникает необходимость*в обеспе­ чении значительного различия между частотой СОо соб­

Требуется определить амплитуду вынужденных крлебаний и максимальные динамические напряжения в балке. Собствен­ ный вес балки не учитывать.

Решение

Определяем статический прогиб от сил ;

522

Находим частоту свободных колебаний по формуле (21.12)

круговая частота нагрузки равна:

Амплитуду вынужденных колебаний находим по формуле

Определяем максимальные напряжения. Максимальный •вгибающий момент от веса двигателя будет в середине продета балки и равен:

Берем из сортамента для соответствующего профиля

3

балки IV« 407 см, находим:

Определяем напряжения от вибрационной нагрузки:

Следовательно, напряжения в крайних точках сече- нк балки будут измеряться в следующих интервалах:

523

Анализ решения рассиотренного прииера показьшает, что вычисление частот сводится к определению статичес­ кого перемещения системы под действием веса двигателя и центробежной силы, которые вызывают вынужденные коле­ бания всей конструкции. Затем определяется максимальное значение статического напряжения, которое умножаем на динамический коэффициент и получаем величину динамичес­ кого напряжения. Это дает возможность в дальнейшем най максимальное и минимальное значения нормальных напряжени возникающих в поперечном оечении балки под действием ук занных сил.

Контрольные вопросы

1. В чем состоит отличие динамических нагрузок от статических?

2.Как можно учитывать силы инерции при расчете на прочность движущихся частей машины?

3.Как вычисляется интенсивность погонной инерцион­ ной нагрузки?

4.Что называется ударной нагрузкой?

5.Какие допущения принимаются в основу расчета

удара?

6.Как определяется динамический коэффициент при ударе и как влияет масса на величину этого коэффицие

7.Что называется ударной вязкостью?

8.Какие колебания упругих систем называют сво­ бодными и вынужденными?

9.Как вычисляются частота овободных колебаний о

524

одной степенью свободы?

10.Что называется амплитудой колебаний?

11.Как подсчитывается амплитуда вынужденных ко­

лебаний?

12.Как можно определить полные напряжения в упр гой системе?

13.Укажите•факторы, влияющие на величину амплиту­ ды вынужденных колебаний.

14.В чем состоит сущность явления резонанса?

15.Что понимается под одной степенью овободы упругой системы?

16.Что называется периодом колебания и как его можно вычислить?

17.Какие существуют допустимые величины частот собственных и вынужденных колебаний, чтобы обеспечить прочнооть вращающихся частей машины?

525

ГЛАВА ХШ

Напряжения, изменяющиеся во времени

§ I . I 3 . Основные понятия

Исследователями прошлого века было установлено, что оси железнодорожных вагонов, изготовленные из доб рокачественного пластичного металла, внезапно разруша­ лись так, как будто они были сделаны из хрупкого ма риала. При этом было выяснено, что расчетные напряже ния в сечении этих осей не превышали предела прочно указанного металла. Многочисленными наблюдениями была установлена причина хрупкого разрушения, воэнгтсающая в том случае, когда металл детали подвергался действи бесчисленного множества знакопеременных нагружений.

Опыт эксплуатации пищевых машин показывает, что большинство деталей этих машин в процессе работы под жен действию переменных напряжений, т.е. действующие н пряжения могут изменяться во времени как по величин так и по знаку. В этом случае изменение напряжений жет быть овязано только с изменением величины нагруз действующей на деталь или только с изменением положе детали по отношению к действующей силе. Последняя мо­ жет быть постоянной как по величине, так и по напр нию. В качестве примера рассмотрим вращение вала, на груженного постоянной силой F как по величине, так и по направлению (рис.1.13).

Допустим, что вал вращается против часовой стрел ки, как показано на рисунке. Нетрудно заметить, что нормальное напряжение в точке Д (произвольно выбранно­ го сечения а-а) при последовательном прохождении этой точки через положения X, 2, 4, 3 будет изменяться как по величине, так и по направлению. Так, при доотиже-

526

Рис.1.13 нии точки Д положения 3 напряжения в этой точке б

дут наибольшими растягивающими, а в положении 2 они достигнут налбольлих сжимаюпдас величин. В положениях I и 4 напряжения в точке Д будут равны нулю, так как нормальные напряжения при изгибе на нейтрально оси равны нулю.

Пользуясь рисунком I . I3 исследуем закон измене­ ния напряжений в поперечном сечении вала для прои вольно выбранной точки Д. Определим напряжения в этой точке по формуле: