книги из ГПНТБ / Куликов, С. Я. Сопротивление материалов учеб. пособие

в заданном направлении и после удаления нагрузки в п воначальное состояние не возвращается (рис.1.II,в).

О ? 9

с)

Рис.1.11

Из этого рисунка видно, что между указанными дв мя состояниями равнозесия находится переходное состоян называемое критическим. При указанном состоянии деформ рованное тело находится в безразличном равновесии, т.е ОЕО может сохранить первоначально приданную ему форму, н" легко может потерять его от самого небольшого вне го воздействия (рис.1.11,6).

Такое явление можно наблюдать при продольном изг Продольным изгибом называется изгиб стержня, на которы действует продольная сила, т.е.сила, действующая вдоль оси стержня (рис.2.II).

Продольный

Рис.2.11

Критической силой будет та сила, при которой стер жень теряет устойчивую форму равновесия, т.е. из устой­ чивого положения переходит в неустойчивое.

Таким образом, расчет стержней на продольный изгиб связан с определением величины критической силы, В связ с этим, в последующем параграфе этой главы предлагается вывод формулы Эйлера для критической силы.

§ 2 . I I . Вывод формулы Эйлера для критической силы при продольном изгибе

Обычно определяют деформацию отержня при заданных внешних нагрузках. При выводе формулы Эйлера решается обратная задача, т.е. задаются искризленяем оси сжатого стержня и определяют при каком значении осевой снимаю­ щей силы Р такое искривление возможно.

В качестве примера возьмем прямой стержень посто­ янного сечена шарнирно опертый по концам. Одна из оп является шарнирно-подвижной. Нагружаем стержень продоль­ ными сжимающими силами ?кр, зеледстзие чего стержень получит небольшое искривление в плоскости наименьшой жесткости.

Так как деформация изгиба стержня будет незначи­ тельной, то для решения нашей задачи применимо прибли­ женное дифференциальное уравнение изогнутой оси. С этой целью выберек' качало координат в точке А, направление : эординатных осей (рис.3.II) и будем иметь:

Выражение изгибающего момента (в сечении на рассто

469

щей виде

Подстазим выражение изгибавшего момента в форму­ лу ( I ) , получим: р . и

обозначим —= К"

Следовательно,

К•А

Тогда формула ( I ) запишется в следующем виде:

(2)

Рис.3.II

Неизвестные А и В определяем из граничных услов

Из первого условия следует:

470

О в А I , отсюда А = О.

Таким образом, изогнутая ось является синусоидой о уравнением

любом сечении стержня будет равен нулю, т.е. стержень

быть равно нулю, т.е. имеем стержень без нагрузки. Это

Отсюда находим искомую величину критической силы при продольном изгибе:

где П. - число полуволн; минимальный момент инерции поперечного сече­ ния сторжня.

Уравнение ( I . I I ) является общим видом формулы Эйл ра для критической силы при продольном изгибе.

Обозначим через y^~Jz ~ обратная величина чис­ лу полуволн. Тогда эта формула примет следующий вид:

гдеу^*- приведенная длина стержня;

JU - коэффициент приведения длины.

Эта формула ( 2 . I I ) является более распространенной для вычисления критической силы при продольном изгибе. Из этой формулы следует, что критическая сила при пр ном изгибе зависит от материала, жесткости и приведен длины, а также от способа закрепления концов стержня.

В связи с этим, рассмотрим четыре способа закреп­ ления концов стержня, которые влияют на величину кри ческой силы при продольном изгибе.

§ 3 . I I . Влияние способа закрепления концов стержня на величину критической силы

Рассмотрим четыре способа закрепления концов стер ня (рис.4.II) для определения критической силы при про дольном изгибе.

При сравнении первых двух рисунков ( 4 . I I , а, б) трудно заметить, что стержень с одним защемленным кон можно представить как стержень длиной Z& с шарнирнозакрепленными концами, изогнутая ось которого изображен на рис.4.II,б. В этом случав величину критической оилы

472

Шг EJmw

г.

\ i

*47a~

Рис.4.II

473

для стержня с одним защемленным концом определяют путе

менты будут раьны нулю и поэтому и т и точки можно счи шарнирами). В этом случае величина критической силы д стержня с защемленными концами длиной £ , будет равн критической силе для стержня с аарнирно-опертыми концам

защемленным концом и другим шарнирно-опертым концом, ко

при искривлении стержня происходит обычно в плоскости, перпендикулярной главной оси минимум поперечного сече­ ния, т.е. сечения поворачиваются вокруг этой оси. Ври эт условии критическую силу определяют по значению главно центрального момента инерции 3»и*г

474

§ 4 . I I . Критические напряжения. Пределы применикости формулы Эйлера

Если известна величина критической силы, то можн определить критическое напряжение, которое возникает з стержне, когда он искривляется.

иапряжения стержня по Эйлеру, Как видно из формулы тическое напряжение стержня зависит не только от уп свойств материала (модуля упругости £: ) , во и от кости отержня Д

Формула Эйлера справедлива лишь в пределах упру деформаций, т.е. до предела упругости,

Зыясним при какой гибкости справедлива форцула

2

Эйлера. Возьмем сталь 3, для которой б^»2100 кГ/см. Подставим числовые значения в формулу (7.II),буде

иметь: ,

X

Таким образом, формула Эйлера справедлива для с ли 3 тогда, когда гибкость будет больве 100, для де

475

больше НО и для чугуна больше 80.

Следует отмотить, что формула, полученная Эйлером, применима лишь для очень ограниченной категории стерж­ ней, включающие только тонкие и длинные с большой гиб костью.

На практике встречаются стержни с малой гибкость для которых формула Эйлера неприменима, так как крити ческое напряаоние, вычисленное по этой формуле, получа ется выше предела пропорциональности.

В связи с этим, профессором Петербургского институ та инженеров путей сообщения Ф.С.Ясинским была предло­ жена эмпирическая формула для указанных стержне;:, кото рая записывается в таком виде:

напряжений стержней из малоуглеродистой стали, имеющие

ся примерно постоянным и равным пределу текучести. Ясинским были получены величины коэффициентов

CL ъ @> для некоторых материалов, которые приводятся ж нижеодедующей таблице.

476

На рис.5.II приведен график, изображающий зависи­ мость критического напряжения 6*^, от гибкости стержня

J\ для Ст.З. Как видно из этого графика на участк от Д - 0 до X = 40 критическое напряжение име­ ет постоянное значение, а на участке от Д • 40 до _ « 100 это напряжение меняется по закону прямой и вы

критическое напряжение определяется по формуле Эйлера (7.П).

Из этого рисунка также видно, что, когда гибкост меньше 100 для стали 3, то будем ь*еть пластическую дию продольного изгиба, В этой стадии формула Эйлера справедлива, а справедлива формула Ясинского, Так, для

§ 4.П. Расчет стержней на устойчивость

Расчет сжатых стержней при продольном изгибе про водится из условия прочности и из условия устойчивос Условие устойчивости этих стержней может быть записан

477