Зтк уравнения пригодны для расчета любой /Z. -крат но статически неопределимой системы и называется канон ческими уравнениями метода сил, так как составляются п определенному правилу (канону). Указанные уравнения яв ляются теми дополнительными уравнениями деформаций (пе ремещений), которые дают возможность раскрыть статичес кую неопределимость заданной системы. Число этих уравн ний равно числу отброшенных связе", т.е. равно степен статической неопределимости заданной системы.
Первое из этих уравнений выражает мысль о равен ве нулю перемещений в основной системе по направлению вой отброшенной связи (по направлению усилия J(t ) , в рое - по направлению второй отброшенной связи (по нап
лению усилия Хг |
) и |
т'д* |
|
Решая эти уравнения находим значения лишних неиз |
вестных усилий Xf |
, |
Хг. |
Л/7 • Затем произво |
дим расчет основной статически определимой системы на
совместное действие заданной нагрузки и найденных знач ний X/ • Хг, Хп. •
Чтобы уяснить физический смысл канонических уравне ний рассмотрим конкретный пример.
В качестве примера возьмем статическую неопредели мую систему из ранее приведенного примера (рис.7.10).
Как видно из рисунка (7.10), заданная система явл ется дважды статически неопределимой системой, так как в точке & шарнирно-неподвижная опора, которая имеет две неизвестные реакции (горизонтальную и вертикальную составляющие) и заделка в опоре А дает три неизвестн реакции (опорный момент, горизонтальная и вертикальная составляющая). Степень статической неопределимости бу дет равна:
5 - 3 = 2, т.е. рама дважды статически неопредели ма. Следовательно, для расчета статически неопределимой системы нужно составить два канонических уравнения, ко
торые записываются следующим образом:
где |
сР//^^ горизонтальное перемещение точки В в |
напраз^" |
причина |
направлении |
I от силы I рав- |
л е н ' 5 |
е |
|
ной единице |
J2£ = |
I (рис. |
|
|
|
7.10,6); |
|
|
|
а |
~ горизонтальное перемещение точки В в на |
|
O/z |
|
|
правлении |
I от силы I разной единице |
|
Atp |
Х~= I |
(рис.7.10,в); |
|
|
|
- горизонтальное перемещение точки В в на |
|
|
правлении"! от заданной |
силы ^ |
(рис. |
|
|
7.10,а); |
|
|
|
(Pti Xf - горвзснтальное перемещение точки В в на
правлении I ОТ СИЛЫ yCf i
OfrXz. " горизонтальное перемещение точки В в на правлении I от силы Хг
Таким образом, смысл первого канонического урав ния состоит в том-, что суммарное горизонтальное пе щение прагого шарнира относительно своей опоры от
стзия всех сил: внесяах - |
и внутренних - Хе |
Хх равно нулю. Иначе говоря, |
перемещение опоры (В |
горизонтальном направлении будет разно нулю. Аналоги смысл второго канонического уравнения заключается в что суммарное вертикальное перемещение правого шарн относительно своей опоры от действия всех
сил: сил Ху и Xz г. от заданной - , т.е. п ремещенае опоры ( 3 ) в вертикальном направлении буде равно нулю.
В указанных канонических уравнениях единичные пе ремещения с одинаковыми цифрозыми индексами - (f,, ,
$ z z называются главными перемещениями. Единичные перемещения - $ i Z и Сг/ (с разными цифровыми индек сами) называются побочными перемещениями, которые на основании теоремы о взаимности перемещений равны между
собой, т.е. dj* |
= ol/ |
и т.д. |
• Перемещения |
Д/р |
, As.p называются перемещения |
ми от заданных |
сил. |
|
Главные перемещения будут всегда пологительны, по бочные и перемещения от заданных сил могут быть пол жительными или отрицательными.
Решение каноничезккх уравнений связано с определе нием коэффициентов сР„ , , Л/р и т.д., которые вычисляются путем перемножения соответствующих эпюр по способу Верещагина.
Чтобы уяснить методику расчета статически неопред лимых систем рассмотрим конкретные примеры.
§ 3.10. Расчет статически неопределимых систем
Пример 1.10
Для заданной статически неопределимой рамы (рис.8 требуется:
1. Определить степень статической неопределимости.
2.Выбрать основную систему.
3.Написать систему канонических уравнений метода
сил.
4. Поотроить эпюры изгибающих моментов от единичн сил и от внешней нагрузки и вычислить при помощи с Верещагина все перемещения, входящие в канонические ур нения.
5. Найти величины лишних неизвестных, решая систем канонических уравнений.
6. Построить окончательные эпюры изгибающих момен тов, поперечных и продольных сил, т.е. М , Ср и
/V . |
|
Пусть дано: |
|
I « 4,4 м; Л » 2,1 м; |
^ = 1,ЗЧт/н ; |
£7 » CC/tSt
Произведем расчет по методу сил. Решение
Определяем степень отатической неопределимости ра мы. Б заданной системе (рис.8.10) имеем пять неизвестных
|
|
(две шарнирно-непод- |
|
1 -'ill! •!•••III•1. |
вихные опоры и одна |
|
шарнирно-подвижная), |
|
|
|
1 |
статики можем соста |
|
|
вить только три, |
|
|
т.е. 5 - 3 * 2 |
|
|
(рама дважды стати |
|
|
чески неопределима, |
|
|
так как она имеет |
|
|
2 "лишних" неизве |
|
|
стных). |
|
|
Выбираем ось^вную |
|
|
систему (рис.9.10). |
|
|
Так как заданная си |
|
Рис.8.10 |
стема (рама) являет |
|
ся дважды статически |
|
|
неопределимой, следовательно, нужно составить два канони ческих уравнения метода сил, которые записываются в сле
дующем виде:
4*.*г+ |
А,/0=0 |
( I ) |
$/Х, + 4г'Хг |
+ 42р=0 |
(2) |
Рис.9.10
Для нахождения коэффициентов т.д. отроим сначала единичные эпюры моментов, эпюру мо
ментов от заданных сил ( |
fy> |
) , а также единичную су |
марную эпюру |
. Эпюры будем строить на растянутых |
вблоглах (рис.10.10, а, б, в, г). |
|
Вычисляем коэффициенты канонических уравнений по |
формуле Верещагина: |
|
|
-52/9- площадь эпюры моментов от заданных сил; для |
|
удобства в дальнейшем будем обозначать ее |
|
через |
FM . |
^ |
|
_ |
Вычисляем коэффициент О// |
С этой целью эпюра |
М4 |
перемножается по формуле Верещагина сама на себя, |
как указано на рис.II.10, а, б.
Здесь зьедены обозначения:
r(>) |
rW |
|
|
' м |
и Ov |
- площади эпюры иоментоз от единичных сил |
^ |
|
- центры тяжести этих эпюр; |
У. |
{"О и |
- ординаты эпюр, расположенных под цент- |
|
|
pauL тяжести перЕых эпюр. |
|
|
Еычисдяеа коэффициент (pzz |
» В этой случав эпюра |
|
|
перемножается по формуле Верещагина сама на себя, |
как изображено на рис.12.10, а, |
б |
-Ft*
Рис.12.10,а
Рис.12.10,б
Подставляем числовые значения в эту формулу,
как
Вычисляем коэффициент S/z. * Указано яа рис* 13.10, а, б.
4?z * " равны по теореме о взаимности переме
щений.
Выражение для этого коэффициента будет иметь сле дующий вид:
