книги из ГПНТБ / Кричевский, И. Р. Термодинамика для многих

ствие тепловую машину при наличии одного только источника теплоты». Возможность создать такую машину не нарушила бы принципа эквивалентности. Машина производила бы работу из теплоты, ее отдавал бы машине источник теплоты. По практической важно­ сти подобная машина, будь она возможна, вполне заме­ нила бы вечный двигатель. Если бы можно было создать изотермический двигатель, то температура Чер­ ного моря (единственный источник теплоты) понизи­ лась бы на один градус после ста лет непрерывной работы двигателя мощностью почти в один миллиард лошадиных сил. Пример объясняет, почему изотерми­ ческий двигатель называют также вечным двигателем

второго рода в отличие от вечного двигателя первого рода. Создание последнего двигателя нарушило бы

принцип эквивалентности.

Постулат Томсона — пересказ принципа Карно, и в термодинамике говорят о постулате Карно—Томсона.

В главе I нашли, что объемная работа квазистатического изотермического цикла равна нулю, и не упоми­ нали даже о постулате Карно—Томсона. Зачем сейчас понадобился этот постулат? В главе I объяснено, почему в квазистатическом изотермическом цикле объемная работа равна нулю: давление при постоянной темпера­ туре зависит только от объема, и изотермический квазистатический цикл становится вырожденным. Но и при постоянной температуре давление системы может зависеть не только от объема. Поместим, например, сосуд с веществом между пластинами электростатиче­ ского конденсатора. Разность напряжений между пла­

стинами можно менять независимо от изменений объ­ ема и температуры. От значения этой разности зависит

давление и при постоянной температуре, и при постоян­

ном объеме.

Рассуждениями главы I уже нельзя доказать, что суммарное количество работы квазистатического цик­ ла — количество объемной работы плюс количество

89

работы для зарядки (разрядки) конденсатора — равно нулю. Здесь необходим постулат Карно — Томсона.

Постулат Клаузиуса. Клаузиус рассматривает цикл, в котором участвуют два источника теплоты — нагрева­ тель и холодильник. Он постулирует: каков бы ни был цикл, квазистатический или нестатический, в резуль­ тате него никогда не случится так, чтобы суммарное количество работы было равно нулю, а система полу­ чила от холодильника некоторое количество теплоты и отдала нагревателю то же количество теплоты. Цикл Клаузиуса, будь он даже осуществим, не противоречил бы принципу эквивалентности: суммарное количество работы в цикле равно нулю, но и суммарное количество теплоты тоже равно нулю.

Выявим логическую связь между постулатами Кар­ но—Томсона и Клаузиуса. Предположим, удалось провести цикл, в котором постулат Клаузиуса был бы нарушен: при суммарном количестве работы, равном нулю, некоторое количество теплоты перешло бы от холодильника к нагревателю. Затем проведем другой цикл, вполне осуществимый: нагреватель отдает системе то количество теплоты, которое он получил в цикле Клаузиуса; система отдает холодильнику мень­ шее количество теплоты. Разность между обоими коли­ чествами теплоты равна по принципу эквивалентности суммарному количеству работы, совершенной системой

вцикле.

Витоге обоих циклов только один источник тепло­

ты (в примере холодильник) отдал некоторое количе­ ство теплоты — оно равно разности между двумя ко­ личествами теплоты во втором цикле. Система совер­ шила работу, равную по величине отданной холодиль­ ником теплоте. Создали вечный двигатель второго рода? Нет! Просто исключен цикл Клаузиуса. «Теплота не может переходить сама собой от более холодного тела к более теплому», — утверждал Клаузиус. Но

90

теплота может переходить сама собой от более теплого тела к более холодному. Вполне возможен нестатиче­ ский цикл с итогами: суммарное количество работы равно нулю; система получила от нагревателя некото­ рое количество теплоты и отдала то же количество теплоты холодильнику. (Суммарно количество теплоты в цикле равно, конечно, нулю.)

Рассмотрим теперь квазистатический цикл, в кото­ ром участвуют два источника теплоты — нагреватель и холодильник. Пусть суммарное количество работы в квазистатическом цикле равно нулю. Тогда не только суммарное количество теплоты равно нулю, но и в отдельности каждое из обоих количеств теплоты равно нулю. Ни нагреватель, ни холодильник не получили и не отдали теплоты.

Если бы при одном направлении квазистатического цикла нагреватель отдал некоторое количество теп­ лоты и холодильник получил то же количество теплоты (как будто бы возможно?), то при обратном направле­ нии квазистатического цикла холодильник уже отдал бы некоторое количество теплоты, а нагреватель получил бы то же количество теплоты. При суммар­ ном количестве работы, равном нулю, такой итог не­ возможен. Тогда он невозможен и при первом направ­ лении квазистатического цикла.

Ближайшая задача термодинамически обсудить квазистатические циклы, в которых участвуют два источ­ ника теплоты, — квазистатические циклы Карно. Дока­ занная связь постулатов означает, что оба они, несмотря на различие формулировок, утверждают что-

то общее.

По обоим постулатам после завершения квазиста­ тического цикла Карно изменяются все три участника цикла — два источника теплоты и источник работь! — или не изменяется ни один из них. (Четвертый участ­ ник цикла — рабочее вещество машины — не может измениться после окончания цикла.) Оба постулата

91

запрещают изменения только в двух участниках цик­ ла. (Изменения только в одном участнике цикла ис­ ключает принцип эквивалентности.) Постулаты отли­ чаются друг от друга выбором пары этих участников: один источник теплоты и источник работы в постулате Карно—Томсона; два источника теплоты в постулате Клаузиуса.

Квазистатические циклы Карно. Из главы I извест­ но, как надо проводить квазистатический процесс. Известен и цикл, в котором участвуют два источника теплоты — нагреватель и холодильник. Обе изотерми­ ческие стадии этого цикла были и квазистатическими. Система переходила от температуры нагревателя к тем­ пературе холодильника и обратно при постоянном объ­

еме. Количество работы при каждом переходе было равно нулю.

Но при переходе теплоты от нагревателя к холо­ дильнику можно получить работу. Поэтому цикл не был самым совершенным, и Карно придумал другой квазистатический цикл. Карно сохранил две изотерми­ ческие стадии цикла. Но система переходила от одной изотермы к другой уже адиабатически с совершением (затратой) работы. При адиабатическом (и квазистатическом) изменении системы с совершением работы вну­ тренняя энергия системы уменьшается и температура системы понижается от температуры нагревателя до температуры холодильника. Затрачивая адиабатиче­ скую работу над системой (внутренняя энергия системы увеличивается), повышают температуру системы от температуры холодильника до температуры нагрева­ теля.

Цикл Карно состоит из четырех стадий. На первой, изотермической, стадии система при температуре нагре­ вателя получает некоторое количество теплоты от на­ гревателя и совершает работу, поднимая груз. В об­ щем случае количество теплоты, полученной систе­

92

мой, не равно количеству работы, совершенной систе­ мой. Разность между обоими количествами равна, по уравнению (12), изменению внутренней энергии си­ стемы.

На второй, адиабатической, стадии система совер­ шает работу, поднимает груз. Внутренняя энергия

системы уменьшается на количество работы, совершен­ ной системой, температура системы понижается. Когда температура системы достигает температуры холодиль­ ника, адиабатическую стадию заканчивают. На третьей, изотермической, стадии система при температуре холо­ дильника отдает некоторое количество теплоты холо­ дильнику и груз опускается, совершает работу над системой. Количество теплоты, отданной системой на третьей стадии, меньше количества теплоты, получен­ ной системой на первой стадии. Третью стадию надо закончить с таким расчетом, чтобы на четвертой, адиа­ батической, стадии можно было замкнуть цикл, вернуть систему в ее начальное состояние. На четвертой, адиа­ батической, стадии источник работы совершает работу над системой, груз опускается. Энергия системы увели­ чивается на количество работы, совершенной над систе­ мой, температура системы повышается до температуры нагревателя. Цикл закончен. Система суммарно совер­ шила работу над источником работы: по окончании цикла груз поднялся. Количество работы, совершенной системой, равно, по принципу эквивалентности, разно­ сти между количеством теплоты, полученной системой от нагревателя, и количеством теплоты, отданной систе­ мой холодильнику. Описанный цикл называется тепло­ вым циклом Карно.

Тепловой цикл Карно, проведенный в обратном направлении, станет холодильным. В квазистатическом холодильном цикле Карно источник работы суммарно совершает работу над системой. Груз после окончания холодильного цикла опускается настолько же, насколько он поднимается после окончания теплового

93

цикла. В квазистатическом холодильном цикле холо­ дильник отдает системе некоторое количество теплоты, такое же, какое система отдает холодильнику в тепло­ вом цикле. В квазистатическом холодильном цикле система отдает нагревателю такое же количество тепло­ ты, какое система получает от нагревателя в тепловом цикле.

По принципу эквивалентности, в холодильном цик­ ле система отдает нагревателю большее количество теплоты, чем система получила от холодильника, боль-, шее на количество работы, совершенной источником работы над системой.

Таким образом, количество теплоты, которое нагреватель отдает в тепловом и получает в холо­ дильном цикле, всегда больше количества теплоты, которое холодильник получает в тепловом и отдает в холодильном цикле; всегда больше на количество рабо­ ты, которую система совершает над источником работы в тепловом цикле и источник работы совершает над системой в холодильном цикле.

Три величины — два количества теплоты и одно количество работы — связаны между собой одним уравнением принципа эквивалентности, уравнением

( 11).

Но можно ли выбрать по своему желанию значения любых двух величин из трех в уравнении (11)? Можно бы, без второго начала, без постулатов Карно — Томсона и Клаузиуса.

Используем один и тот же нагреватель (т. е. нагрева­ тель с одной и той же температурой) и один и тот же холодильник (т. е. холодильник с одной и той же тем­ пературой) для проведения квазистатических циклов Карно. Системы могут быть самые разные. Попытаемся по своему произволу изменять от одного квазистатического цикла к другому две из трех величин в уравнении (11). Допустим, что количества теплоты, отданной (полу­ ченной) нагревателем, одинаковы в обоих циклах.

94

Количества же теплоты, полученной (отданной) холо­ дильником, различны в обоих циклах. Различны и количества работы, совершенной системой над источни­ ком работы (совершенной источником работы над системой) в обоих циклах. Проведем один из циклов как тепловой, другой — как холодильный и подведем итоги.

В одном цикле нагреватель отдал (получил) некото­ рое количество теплоты, в другом — получил (отдал) то же количество теплоты. После окончания обоих циклов, одного теплового и одного холодильного, нагреватель не получил и не отдал теплоты. Но количество теплоты, полученной (отданной) холодильником в одном цикле, не равно количеству теплоты, отданной (полученной) холодильником в другом цикле. Не равны также и количества работы в обоих циклах. Поэтому в итоге проведения одного цикла как теплового, а другого — как холодильного холодильник отдаст (получит) неко­ торое количество теплоты, а система совершит над источником работы (источник работы совершит над системой) равное количество работы. Но итог противо­ речит постулату Карно—Томсона для квазистатического изотермического цикла: суммарное количество рабо­ ты должно быть равно нулю. Значит, произвольно вы­ брать значения двух величин из трех, входящих в урав­ нение (11), нельзя. Значение количества теплоты, от­ данной (полученной) нагревателем, определяет значе­ ния двух других величин.

Доказательство применимо и к случаю, когда коли­ чество теплоты, полученной (отданной) холодильником в одном квазистатическом цикле Карно, равно количе­ ству теплоты, полученной (отданной) в другом квази­ статическом цикле Карно. Значения же двух других величин в обоих циклах, по предположению, различны. Ошибочность предположения снова скажется в том, что итог обоих циклов, одного теплового и другого холо­ дильного, нарушает постулат Карно—Томсона.

95

Допустим теперь, что количества работы, совершен­ ной системой над источником работы (совершенной источником работы над системой), одинаковы в обоих циклах. Количества же теплоты, отданной (полученной) нагревателем, и количества теплоты, полученной (от­ данной) холодильником, различны в обоих циклах. Проведем один из циклов Карно как тепловой, дру­ гой — как холодильный. В одном цикле система совер­ шила работу над источником работы, в другом цикле источник работы совершил то же количество работы над системой.

После окончания обоих циклов, одного теплового и одного холодильного, суммарное количество работы равно нулю. Но количество теплоты, отданной нагре­ вателем в одном цикле, не равно количеству тепло­ ты, полученной нагревателем в другом цикле. Коли­ чество теплоты, полученной холодильником в одном цикле, также не равно количеству теплоты, отдан­ ной холодильником в другом цикле. В итоге обоих циклов, одного теплового, другого холодильного, нагре­ ватель отдал (получил) некоторое количество теплоты, а холодильник получил (отдал) равное количество теплоты.

Но итог противоречит постулату Клаузиуса: ес­ ли в квазистатическом цикле Карно количество ра­ боты равно нулю, то и каждое из двух количеств теплоты в отдельности равно нулю.

Все возможные ошибочные предположения исчер­ паны. В квазистатическом цикле Карно при неизмен­ ных температурах нагревателя и холодильника можно по своему произволу выбрать значение только одной из этих трех величин, безразлично какой. Значения двух других величин уже будут заданы выбранным значе­

нием одной величины да температурами нагревателя и холодильника.

Проведем теперь между двумя неизменными темпе­ ратурами некоторое число (п) одинаковых квазистати-

96

ческих циклов Карно. Все в одном направлении. Подве­ дем итоги. Количество теплоты, которую отдал (полу­ чил) нагреватель, будет в п раз больше количества теплоты, которую отдал (получил) нагреватель в отдельном цикле. То же самое будет справедливо для второго количества теплоты и для количества работы. Перескажем результат: в квазистатическом цикле Карно отношение любых двух величин не зависит от значения одной из этих величин, а зависит только от температур нагревателя и холодильника. Какой важ­ ный вывод!

Термодинамическая шкала температур. Рассмотрим два отношения (второе — в следующем параграфе). Разделим численное значение количества теплоты, которой нагреватель обменялся с системой (без учета, кТо получил, кто отдал теплоту), на численное значение количества теплоты, которой холодильник обменялся с системой (снова не учитываем направления обмена). Цикл Карно квазистатический. Полученное отноше­ ние — отвлеченное число, без размерности. Оно вполне определено, если физически, состояниями нагревателя и холодильника, определены обе температуры. Отноше­ ние двух количеств теплоты в квазистатическом цикле

Карно не может зависеть от того, каким термометром, по какой температурной шкале измеряют температуру.

Итак:

(численное значение количества теплоты, которой нагреватель обменялся с системой в квазистатическом цикле Карно) : (численное значение количества тепло­ ты, которой холодильник обменялся с системой в этом же цикле) = (отвлеченное число, значение которого определяется только температурами нагревателя и

Без термометра, без температурной шкалы можно выявить форму зависимости этого отвлеченного числа от обеих температур. Необходимо только уметь отли­

97

чать более высокую температуру от более низкой. Для этого достаточно термоскопа. Зная постулат Клаузиуса, скажем: система, которая отдает теплоту при непосред­ ственном контакте двух систем, имеет более высокую температуру (точнее: эту температуру назвали более высокой); система, которая получает теплоту, имеет более низкую температуру (точнее: эту температуру назвали более низкой). Беда смешивать физику с тер­ минологией! При непосредственном контакте двух систем с различными температурами одна система отда­ ет, другая получает теплоту. Это — физика. Она по­ зволяет расположить температуры систем в одно­ значный ряд. Но «высокая» температура, «низкая» тем­ пература, теплота «падает» — это терминология. Менять ее (но не физику!) в нашей власти. Можно вместо «высокая» температура говорить «яркая» темпе­ ратура, вместо «низкая» температура — «тусклая» тем­ пература, вместо теплота «падает» — теплота «линя­ ет». Сравнил бы Карно тепловую машину с водяной мельницей, будь распространена подобная терминоло­ гия? Но вернемся к циклам Карно.

В нашем распоряжении три источника теплоты с различными температурами. Назовем их в порядке передачи теплоты высокой, средней и низкой. Проведем квазистатический цикл Карно с участием источников теплоты с высокой и низкой температурами. Источник теплоты с низкой температурой получает выбранное нами количество теплоты. По уравнению (13), это коли­ чество теплоты вместе с температурами нагревателя и холодильника определит количество теплоты, которую отдает нагреватель. Проведем второй квазистатический цикл между источниками теплоты с высокой и средней температурами. Нагреватель, т. е. источник теплоты с высокой температурой, отдает то же количество тепло­ ты, что и в первом квазистатическом цикле. Тогда холо­ дильник, т. е. источник теплоты со средней температу­ рой, получит определяемое уравнением (13) количество

98