книги из ГПНТБ / Кочергин, А. И. Основы надежности металлорежущих станков и измерительных приборов учебное пособие
.pdfсловлено, во-первых, тем, что форма направляющих в значительной степени определяет точность обработки, а во-вторых, увеличение нагрузки может приводить к из менению эпюры износа в связи с изменениями перекосов, площадей соприкосновения деталей, условий смазки.
Часто при испытаниях нагрузка изменяется по опре деленной программе. При этом может воспроизводиться полный спектр эксплуатационных нагрузок или некото рое приближение к нему. Применение программирован ного режима приближает результаты испытаний к ре зультатам эксплуатации и во многих случаях уменьшает время испытаний.
6.7. О статистических методах обработки наблюдений
Входе испытаний или эксплуатационных наблюдений исследователь получает выборку л:ь х2,..., хп объема п.
Элементы выборки могут представлять собой числа от казов изделия на определенном интервале времени, ве личины линейного износа за определенное время, значе ния наработки до первого отказа, значения времени восстановления изделия и т. д.
Методы математической статистики позволяют по свойствам выборки сделать выводы о свойствах гене ральной совокупности [35]. Одной из задач математи ческой статистики является оценка параметров распре деления генеральной совокупности. Кратко опишем ре шение этой задачи. По выборке можно определить так называемые точечные оценки параметров распределения.
Например, х и s2, вычисленные по формулам (1.1) и ( 1 . 2 ), являются точечными оценками математическою ожидания а и дисперсии а2 генеральной совокупности.
Располагая точечной оценкой а0 , ничего нельзя ска зать о точности, с которой произведена оценка соответ ствующего параметра а генеральной совокупности. По этому наряду с точечной оценкой а 0применяется довери
тельный интервал (а 0 - -t)\,«0+ 6 2 ), в котором |
с высокой |
|
вероятностью 1 -р будет находиться истинное |
значение |
|
параметра а генеральной совокупности. |
Число р явля |
|
ется наибольшим значением вероятностей, |
при которых |
|
событие считается практически невозможным, и называ ется уровнем значимости. Величина 1—р называется
доверительной вероятностью.
Обозначим отклонение выборочного параметра а0 от ill
исследуемого генерального |
а через Ли. |
Пусть f(x). n |
|||||
F ( x ) |
есть плотность |
и функция распределения слу |
|||||
чайной |
величины |
Да, |
a 6 — некоторое |
| |
положительное |
||
число. Обозначим вероятность того, что |
Д а I не превос |
||||||
ходит 6, |
через Р ( |
I Да | < б ) . |
Имеем |
|
|
||
Р 11 Д а |< 8 ) = Р 11 а — а„ | < о | = Р | а „ - 6 < г /. < а „ + 6 ) ; |
|||||||
■ |
Р { а „ — 6 < а ^ а « + б ) = -jОf(x)dx = |
F ( b ) — F ( - b ) . |
|||||
Таким образом, располагая f (х) или F (х), -легко вычис лить вероятность неравенства
«о—б а < (70 +б.
При оценке надежности часто решается обратная задача: по заданной вероятности р определяют дове рительные границы. Обычно решение этой задачи имеет вид
|
|
4fi(v |
, ) 4 < a < ^ ( v |
_р_). |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
где |
р |
4J'i и х^ 2 — некоторые функции; |
|||
v |
и v |
р |
— симметричные |
квантили распре- |
|
1 |
д- |
|
1 ЬТ" |
деления некоторой случайной |
|
•• |
|
|
|
||
|
|
|
|
величины v; |
|
а— оцениваемый параметр распределения гене ральной совокупности.
'Квантилем vp случайной величины v, имеющей функ цию распределения F(x), называется такое значение
случайной величины v, при котором р ( v < v p ) =р. Дру гими словами, vp есть решение уравнения F( vp■)■= /?. Квантиль vp называется р-\00%-ным квантилем. Кван
тили того или иного распределения находятся по стати стическим таблицам.
Другая важная задача математической статистики состоит в проверке статистических гипотез. Статисти ческой гипотезой называется некоторое предположение о значениях генеральных статистических характеристик или о неизвестном распределении F(x) той или иной величины. По данным выборки вычисляются некоторые статистические показатели, называемые критериями
112
fipoeepKu. Пользуясь этими критериями, исследователь устанавливает, соответствуют ли экспериментальные данные выдвинутой гипотезе. По результатам проверки гипотеза может быть либо отвергнута, либо не отвер гнута.
Гипотеза называется параметрической, если функция распределения F (х) задана отдельными параметрами и строится относительно этих параметров. Выдвигаются также гипотезы другого вида, основой которых не яв ляются допущения о конкретном виде распределения. Эти гипотезы называются непараметрическими. С их по мощью проверяется наличие предполагаемой функции распределения.
6. 8. Статистическая оценка параметров распределения
Интервальная оценка среднего значения. В резуль тате изучения ^надежности изделия получили ряд незави
симых наблюдений |
случайной |
величины Х:хи х2,..., хп . |
По формулам (1.1) |
и (1.2) |
вычислены выборочное |
среднее л* и выборочная дисперсия s2. Требуется найти интервальную оценку генерального среднего а при уров
не значимости Iр. |
^ |
» • • • , |
Если наблюдаемая случайная величина X имеет нор |
||
мальное распределение, оценка генерального среднего а определяется выражением:
|
х - 4 = |
р ч < а ч< * + 4 = t |
„ , |
(6 . 1 ) |
|
|
\ |
п |
У п |
{~ ~ Т |
|
где j |
п — объем выборки; |
(распределения |
|||
t |
'р — |
квантиль /-распределения |
|||
1 ~ |
~ 2 ~ |
Стыодента), взятый для f= ti—1 степеней |
|||
|
|
||||
|
|
свободы. |
|
|
|
Как известно, |
величина / задается выражением |
|
|||
s
Распределение величины t зависит от числа степеней свободы, свойственного дисперсии s2. Квантили распре деления Стыодента приведены в приложении 2 .
113
Пример. Проведены наблюдения за 20 станками и получены сле дующие величины их срока службы (в месяцах двухсменной работы) до выхода за пределы норм точности: 20, 21, 21, 15, 18, 20, 24, 19, 23, 22, 16, 19, 23, 21, 20, 24, 21, 26, 22, 25.
Найти интервальную оценку генерального среднего а срока служ бы станков при условии, что срок службы подчиняется нормальному распределению. Принять уровень значимости р=0,10.
Точечная оценка среднего срока службы
* = -jr L /= 2 5 -(2 0 + 2 1 + ...+ 2 5 )= 2 1 ;
точечная оценка дисперсии
S2= |
•— .v)2= j^”[(20— 21 )2+ (21— 21 )2+...+ (25— 21 )2] — 7,4; |
||||
выборочное среднее квадратическое отклонение |
|||||
|
|
|
s = K s ?=2,7. |
|
|
|
При /7 = 0 ,10 и числе степеней |
свободы f= n —1= 19 по табл. 2 |
|||
приложения имеем t |
f |
=to 9 5 = 1,73. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Получаем оценку: |
|
|
|
|
|
2,7 |
•1,73 < я |
< 2 1 + |
2,7 |
|
|
21— |
|
1,73, |
||
|
V 20 |
|
|
У 20 |
|
или приближенно 2 0 |
< а < 2 2 . |
|
может оказаться оши |
||
|
Так как р= 0,10, |
полученное неравенство |
|||
бочным не более чем в 1 0 |
случаях из 1 0 0 . |
|
|||
Если случайная величина X распределена экспонен циально, доверительный интервал для ее среднего зна чения определяется по формуле
|
|
|
|
2 хп |
<а < Т2 |
2 хп |
|
(6. 2) |
|
|
|
|
|
Х2п |
Р_ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
где |
2 |
2 |
Р |
— квантили |
распределения |
х2 (распре |
|||
х р . X |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
деления |
Пирсона) |
с 2 |
п степенями |
||
|
|
|
|
свободы. |
хг,--, |
х п через х2 °бо- |
|||
|
Для выборки с элементами |
||||||||
значается сумма |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2— у ( xi |
х \ 2 — fs2 |
|
|
||
где |
f — n— |
1 |
число степеней свободы. |
|
|
||||
114
|
|
Квантили распределения |
случайной |
величины / |
2 |
да |
||||||||||||||||||
ны в приложении 3, 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример. |
Наработка |
(в |
минутах) |
между |
последовательными |
|
от |
|||||||||||||||||
казами автоматической линии равна 20, 20, 5, 5, 5, |
5, |
15, |
15, |
5, |
20,40, |
|||||||||||||||||||
5, |
5, |
10, |
10, |
25, |
10, |
5, |
5, |
10, |
30, |
25, |
10, |
10, |
10, |
5, |
15, |
20, |
5, |
25, |
5, |
25, |
15, |
|||
15, |
15, |
20, |
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Распределение наработки между отказами экспоненциальное. |
|
Т при |
||||||||||||||||||||||
|
|
Найти доверительный интервал |
для наработки |
на отказ |
||||||||||||||||||||
уровне значимости /?=0 ,1 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Объем |
выборки |
п = 37, |
х=13,5 |
мин. |
При |
/7 = 0,10 и числе сте |
||||||||||||||||
пеней свободы 2n = 74 по приложениям 3,4 имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
X2 |
р |
=Х2о,05=95,1; |
х2 |
|
р = |
Х2о,95 = 55,2. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
{ ~ ~ 2 |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По формуле (6 . |
2) |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2-13,5-37 ^ |
|
х |
2-13,5-37 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
95,1 |
|
< |
|
|
|
55 2 |
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
10,4 < |
Т <17,9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Интервальная оценка дисперсии а2. Доверительный интервал для о2 строится с помощью /^распределения. Если случайная величина X распределена нормально, двусторонняя доверительная оценка генеральной дис персии задается неравенством
/V |
9 |
fs* |
-J-1------- Х< |
о2 |
< 4 — . |
X , л _ |
|
X |
2 |
|
2 |
6. 9. Проверка статистических гипотез
Сравнение дисперсий. Пусть сделаны две выборки. Одна выборка из генеральной совокупности с дисперсией <Ti2 (дисперсия этой выборки Si2 имеет f\ = n\ — 1 степеней свободы); вторая — сделана из генеральной совокуп ности с дисперсией о22 и характеризуется выборочной дисперсией S22 при числе степеней свободы f2 = n2—1 . Необходимо выяснить, являются ли выборочные диспер
сии Si2 и s22оценками одной и той же |
генеральной дис |
|
персии при уровне значимости р. Выдвигается |
гипотеза |
|
о равенстве генеральных дисперсий: |
ст!2 = 0 2 2, |
которая |
называется нулевой гипотезой. |
|
|
115
Для проверки этой гипотезы применяется отношение
(6.3)
где si2 = max (s\2, s22).
Распределение величины F называется F-распрёделе- нием Фишера, квантили его приведены в приложении 5. В случае нулевой гипотезы
gi2 = G22 и F — si2:s22.
Если по смыслу эксперимента неравенство (712 <сг22не
выполняется, нулевая гипотеза отвергается |
при |
S\‘ |
|||
- р |
( / ь Ы - |
|
|
|
и g22> |
Если |
заранее неизвестно соотношение между ai2 |
||||
нулевая гипотеза отвергается при |
Si2 |
р |
(/ьМ- |
||
—2 ^ ^ |
|||||
|
|
S‘i |
1 2 |
|
при |
Пусть теперь надо сравнить к дисперсий |
(к'>2) |
||||
уровне значимости р. Сравнение |
осуществляется |
с по |
|||
мощью критерия Кохрана. При этом сравнивается отно шение
max(s2 i, s22,..., s2k)
(6.4)
'b’i2H-522-h-*-+‘s2ft
с квантилем Gj_pраспределения Кохрана (табл. 6 при ложения). Если G^>Gi_p. нулевая гипотеза отвергается.
Сравнение средних. Пусть взяты две выборки: Хи *2,..., х щ и уи //2 ,—, Уп2 из двух различных генераль
ных совокупностей с генеральными |
средними аи |
и |
|
дисперсиями oi2 и о22- |
Средние и дисперсии выборок: |
||
X Иу, Si2 и s22. |
генеральные |
совокупности |
рас |
Предположим, что |
|||
пределены нормально. |
В зависимости от соотношения |
||
между si2 и s22 возможны два случая. Первый из них ха рактеризуется тем, что Gi2 = (722 (это устанавливается по экспериментальным данным с помощью критерия Фише
ра). |
Тогда |
средневзвешенная дисперсия определяется |
||||
по формуле |
|
|
|
|
||
|
|
,2 _ |
(«1—И Sl2 + ( » 2—1) S22 |
(6 |
. 5) |
|
. . |
' • ' |
6 _ |
«1+ « 2— 2 |
|||
|
|
|||||
и имеет / = /ii+n 2—2 степеней свободы.
116
Н у л е в а я г и п о т е з а а \ = а 2 о т в е р г а е т с я , |
е с л и |
|
\ x — y \ > t |
р |
(6.6) |
п1 п2
при двустороннем критерии или |
|
|
l x - i i > / t 1_ps V /~_L + |
_L |
(6.7) |
П\ |
п2 |
|
при одностороннем критерии. Здесь используются кван тили распределения Стьюдента с / = п 1+ п 2—2 степенями свободы.
Во втором случае, когда о\2 ф о22, нулевая гипотеза отвергается при
с2. |
t 1— р |
+ -*- t |
|
L l |
1 |
||
~пх |
-f-./i |
п2 |
- |
х — у ! Г: |
|
|
( 6. 8) |
/£!l+ £!?
«1 ‘ 11-2
Здесь используются квантили распределения Стьюдента с !\ = п\ — 1 и / 2 = ^2 - - 1 степенями свободы.
Если в последнем неравенстве заменить 2Р на р, этот
двусторонний критерий превращается в односторонний.
Задачу о сравнении средних приходится решать при рассмотрении влияния конструктивных, технологических и эксплуатационных факторов на изменение показателей
надежности изделий. I
Проверка гипотез о виде распределений. Эта провер ка является одной из важных задач, возникающих при обработке результатов испытаний на надежность и из носостойкость. Эту задачу можно решать аналитически и графически. Здесь рассмотрим графический метод проверки гипотез с использованием вероятностной бума ги [7]. Графический метод позволяет избежать больших расчетов, но является приближенным.
Вероятностная бумага нормального распределения (нормальная бумага) изображена на рис. 6 . 13. На осп абсцисс откладывается время, на оси ординат — накоп-
ленные частоты. Правила пользования вероятностной бумагой рассмотрим на примере.
Пример. При обследовании 50 станков получены значения сроков службы т/до выхода за пределы норм точности. Сроки службы, выраженные в месяцах двухсменной работы, занесены в табл. 6 . 1 .
С помощью нормальной бумаги проверить гипотезу о нормальном распределении сроков службы и в случае, если эта гипотеза не будет отвергнута, оценить параметры распределения Т и о.
118
Табл. 6. 1. Данные о сроках службы станков до выхода за пределы норм точности
Срок |
службы |
Накопленная |
Срок службы |
Накопленная частота, |
в месяцах |
частота, |
в месяцах |
||
двухсменной |
v(V |
двухсменной |
v(V |
|
работы, xf- |
работы, т • |
|||
|
1 2 |
0 , 0 1 |
31 |
0,51 |
|
1 2 |
0,03 |
31 |
0,53 |
|
15 |
0,05 |
31 |
0,55 |
|
15 |
0,07 |
32 |
0,57 |
|
16 |
0,09 |
32 |
0,59 |
|
16 |
0 , 1 1 |
33 |
0,61 |
|
16 |
0,13 |
33 |
0,63 |
|
17 |
0,15 |
34 |
0,65 |
|
17 |
0,17 |
34 |
0,67 |
|
18 |
0,19 |
35 |
0,69 |
|
18 |
0 , 2 1 |
36 |
0,71 |
|
19 |
0,23 |
36 |
0 73 |
|
2 0 |
0V25 |
36 |
0,75 |
|
23 |
0,27 |
37 |
0,77 |
|
25 |
0,29 |
39 |
0,79 , |
|
25 |
0,31 |
39 |
0,81 |
|
25 |
0,33 |
40 |
0,83 |
|
27 |
0,35 |
40 |
0,85 |
' |
27 |
0,37 |
41 |
0,87 |
28 |
0,39 |
42 |
0,89 |
|
|
29 |
0,41 |
43 |
0,91 |
|
29 |
0,43 |
43 |
0,93 |
30 |
0,45 |
44 |
0,95 |
|
|
30 |
0,47 |
45 |
0,97 |
|
30 |
0,49 |
52 |
0,99 |
На бумаге |
нормального распределения |
обкладываем |
точки |
||
(т/, v(x/), при |
этом накопленные частоты v (х/ |
) можно вычислить |
|||
по формуле |
|
|
|
|
|
|
= |
1—0,5 |
|
(6.9) |
|
|
|
— , |
|
||
где i — порядковый номер; |
|
|
|
|
|
N — общее число данных. |
|
|
|
ариф |
|
Для равных друг другу величин т/ откладываем среднее |
|||||
метическое частот, соответствующих |
одинаковым значениям т. Из |
||||
вестно, что на нормальной бумаге функция нормального распреде ления изображается прямой линией. Поэтому гипотеза о нормальном распределении не отвергается, когда экспериментальные точки хоро шо ложатся на прямую. В противном случае гипотезу о нормальном распределении следует отбросить.
1 1 9
Рис. 6. 14. Вероятностная бумага экспоненциального распределения
120