(dt |
) |
/ |
dt \ |
|
|
где |
и |
( ~дог)& ~ частные производные от t |
по координате х |
|
на концах участка сосредоточения. |
Из уравнения |
( I I . 5) |
имеем: |
|
|
[dx/i |
cd dt |
’ |
|
\’dx/2 |
d t |
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
Аналогичным образом |
вычисляется |
f |
и при удер |
жании большего числа членов ряда. |
|
|
ДиФФеоенциально-оазностные |
методы |
|
При использовании |
дифференциально-разностных мето |
дов для исследования динамических процессов непрерыв ное изменение переменных заменяется их дискретным из менением. Дискретизация производится для одной из не зависимых переменных, например по пространственной координате, что позволяет уравнения в частных производ ных заменить обыкновенными дифференциальными уравнени ями.
Для исследования нестационарных процессов в тепло обменных аппаратах наиболее часто используют конечно разностные соотношения первого порядка, которые и будут рассмотрены ниже.
Применение дифференциально-разностного метода рас
смотрим на примере уравнения |
( I I . 5) |
[б9 ] . |
Разобьем трубопровод по пространственной координате |
на п |
участков |
длиной |
Д эс |
. |
Значения температу |
ры |
|
в |
промежуточных |
точках обозначим ^ , |
tK , |
t Kti |
|
и т .д . |
(рис. T I.3). |
функцию |
t J разложим в ряд |
Тей ю ра: |
/ |
_ |
S . A*, |
d U |
Шс1г, д Н к |
Sc-/ |
гк |
// |
д х |
|
2 ! |
д х 2 |
Учитывая два члена разложения в ряд, получим
|
|
|
или |
|
|
. У-ь* ~ *«--£* |
. |
(11,12) |
дос |
|
Ьос |
|
|
дэс |
А ос |
|
|
Заменяя |
в уравнении |
( I I . 5) |
частную производную по |
коор |
динате |
зависимостью |
(П .1 2 ), получим |
|
|
|
|
d t \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
К-о,5 |
|
|
|
0> |
С П .1 3 ) |
|
|
d ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
= 0,1,2,..., п |
|
|
|
|
|
t k |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
Hr- “ r~ |
”1— ~ T “ |
“ Г 4T " |
|
|
|
|
1 г |
1 _ L J l 1 _L_ |
|
|
|
L. _L _ 1 . 1 __l_ |
|
|
-Q50 QS/ |
*■ |
/ |
/Г |
/? -/ П |
|
|
Рис. I I . 3. Расчетная схема дифференциально-раз ностного приближения частной производ
ной по координате
Для входного ( |
k = I) и выходного |
( к = п ) участ |
ков можно соответственно принять |
(см. |
рис. I I . 3): |
^ о,5 |
f o,s |
2 ( tQ t0 5 ) |
■ |
|
- 0 |
^n.05~ S.(tn _os~ tn )- |
(11,14) |
Тогда уравнение в частных производных при разбивке тру
бопровода |
на |
п |
участков |
с учетом зависимостей |
( I I .I 3 ) и |
( I I .I 4 ) |
приближается системой обыкновенных |
дифференциальных уравнений: |
|
d t0,5 |
2u£ |
|
|
О |
А х |
(*о - fo,s)■> |
d rl |
|
|
|
|
|
(j. _ / |
) . |
d^ |
Ax |
0,6 *'5 ' |
n-QS |
*** (4. |
-f |
) • |
d ? “ Ax ( |
n '°-5 ' ’ |
tn |
n-0,5 |
^ ^ n - t . 5 |
|
§65. Уравнения динамики теплообменного аппарата при противотоке однофазных рабочих сред
При математическом описании динамики теплообменного аппарата его реальная конструкция заменяется эквивалент ным теплообменником типа "труба в трубе” . При этом принимается, что по одной из труб движется греющая ра бочая среда, по другой - нагреваемая. Проходные сечения эквивалентной модели, площадь поверхности теплопередачи и расчетные зависимости для коэффициентов теплоотдачи принимаются такими же, как и в реальном теплообменном аппарате.
Рассмотрим методику составления уравнений динамики теплообменного аппарата и примем при этом следующие упрощающие допущения:
- изменение параметров рабочих сред учитывается.- только по одной координате, т .е . рассматривается одно мерная модель;
-теплообменный аппарат рассматривается как система
ссосредоточенными параметрами с одним участком сосре доточения (метода перехода от систем с распределенны
ми параметрами к системам с сосредоточенными параметра ми были рассмотрены выше);
- продольная теплопроводность в рабочих средах и металле теплообменной поверхности не учитывается;
-аккумуляция тепла в корпусе теплообменного аппара та не учитывается;
-термическим сопротивлением материала теплопереда-
щей стенки пренебрегаем.
При выводе уравнений динамики теплообменного аппа рата должны использоваться законы сохранения массы, энергии и количества движения. Если положить что ско рость движения (т .е . массовый расход) рабочих сред на входе в теплообменяый аппарат задается как граничное условие, то уравнение сохранения количества движения при составлении математического описания можно не учитывать. На основании закона сохранения энергии с учетом приведенных выше допущений уравнения теплово
го баланса греющей среда, металла теплопередаадей по верхности и нагреваемой среды соответственно запишут ся в виде (рис. I I .4)*
G{Сп trf G-2Crztr^ o(r/y(trCp~ )+mrcrcp |
’ ^I r *I5 ^ |
|
eft# |
d - r F r ftr c p 't* } |
; ( I I . I 6 ) |
^ x (t„ |
L „0 ) = % |
C „ t r - |
t |
,u + |
dtx.cpf |
|
x.cp> |
'2 |
x z x S |
•*"/ •* / |
x x . c p p/t? |
|
G |
|
У |
|
|
|
|
|
CH.I7) |
где |
и |
|
_ |
массевый расход соответственно гре |
°Lr |
|
|
|
|
ющей и нагреваемой рабочей ереды; |
и |
|
|
" |
коэффициенты теплоотдачи от |
греадей |
|
|
|
|
|
|
среды к |
стенке и от |
стенки |
к нагре |
Fr |
|
Fx |
|
ваемой среде; |
|
|
и |
- |
площади поверхности |
теплообмена со |
|
|
|
|
|
|
стороны греющей и нагреваемой сре |
Сг >^ х |
|
|
|
|
ды:, |
|
|
|
и |
с |
м |
- |
теплоемкости греющей и нагреваемой |
|
|
|
среды и металла теплопередающей |
|
т г , |
т X |
|
|
стенки; |
|
|
|
|
|
- |
масса греющей и нагреваемой среды |
|
|
т м |
|
|
в теплообыенном аппарате; |
|
|
и |
|
- |
масса металла теплопередающей стенки; |
tг |
|
tх |
|
- |
температура греющей и нагреваемой |
|
|
|
|
|
|
среды; |
|
|
|
|
|
|
м |
|
- |
средняя |
температура |
теплопередающей |
|
|
|
|
|
стенки; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
средняя |
температура |
греющей и нагре |
х.ср
ваемой среды на участке сосредото чения.
Of,tra
% , t x T
Рис. I I . 4. Эквивалентный теплообменник типа "труба в трубе"
Физический смысл уравнений рассмотрим на яримере уравнения теплового баланса грещ ей среды. Левая часть уравнения ( I I .15) характеризует количество тепла, от данного грещ ей средой в теплообмеином аппарате. Зто тепло в переходном процессе отдается поверхности тепло
обмена и определяется выражением |
oCr Fr (tnCp - tM) , |
а часть тепла затрачивается |
на изменение средней тем |
пературы грещей среды. Эта |
часть |
тепла (так называе |
мое аккумулированное тепло) |
характеризуется выражением |
Г П г С , |
dtr.cp |
Физический смысл уравнений |
‘Г^г.ср dp |
|
|
( I I . 16) и |
( I I . 17) аналогичен |
уравнению ( I I .I 5 ) . При про |
ведении динамических расчетов влиянием изменения пара метров рабочих сред на коэффициенты теплоотдачи air и <*3- обычно пренебрегают и считают, что эти коэффициен ты изменяются пропорционально массовым расходам рабо
чих сред в степени |
0 ,8 . |
Теплоемкости рабочих сред и металла теплопередащей |
стенки Сг, Сх и |
См могут быть приняты постоянными. |
При изменении температур в больиих пределах необходимо учитывать зависимость теплоемкостей от температуры.
Средние температуры рабочих сред могут быть рассчи таны по любому из рассмотренных выше методов сосредото чения. Наиболее часто в практике расчетов использужг приближение средней температуры по формуле трапеций, г .е . полагают, что
^г/ |
|
ср |
С2 |
'г.ср |
|
( I I . 18) |
Уравнения ( I I . 15), ( I I . 16) и |
( I I . 17) |
должны быть до |
полнены уравнениями |
сохранения массы (уравнениями мате |
риального баланса), |
которые для |
грещ ей |
и нагреваемой |
сред соответственно |
запишутся в |
виде: |
|
|
|
|
|
« I - » ) |
где J^r |
и |
|
- |
плотность рабочих сред; |
V |
и |
^ |
- |
объем греющей и нагрева |
|
|
|
|
емой рабочей среды в теп |
|
|
|
|
лообменном аппарате. |
Как видно из уравнений ( I I . 19) и (11.20), в дина мике вследствие изменения плотности расходы рабочих сред на входе и выходе из теплообменного аппарата не
равны друг другу. Для |
жидких рабочих |
сред |
изменение |
плотности обусловливается изменением |
их температуры. |
Уравнения ( I I . 19) |
и (11.20) могут |
быть |
записаны |
в виде: |
|
|
|
|
|
|
( I I . 21) |
г |
= « - |
к. |
с/Л |
|
t |
|
otfr |
( 11. 22) |
|
|
|
|
Положим, что плотности рабочих сред линейно зави сят от температуры, т .е .
jo. - _ /% - ar trcp |
; |
f x * / V |
e* W |
• |
Тогда у р а в н е н и я « 1 .2 1 ) . |
« 1 .2 2 ) |
преоврануиея |
н в» |
ду* |
|
|
|
|
|
|
dt. |
|
|
|
|
|
■г.ср |
|
|
(11.23) |
в ' ~ 6 , + Vrar сП |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.24) |
Таким образом, уравнения |
( I I . 15) - ( I I . 18), |
( I I . 23) |
и (11.24) образуют систему, |
описывающую динамику те |
плообменного аппарата. Граничными условиями в этой |
задаче являются расходы и температуры рабочих сред |
на входе в теплообменный аппарат |
G t , ^ |
, tri ж tx . |
Остальные переменные, характеризующие переходные про |
цессы в теплообменном аппарате, |
определяются при ре |
шении приведенной выше системы уравнений. |
|
|
Б практических расчетах часто материальной аккуму
|
|
|
|
|
|
|
ляцией рабочих |
сред в теплообменном аппарате пренебре |
гают ввиду ее |
слабого влияния на |
переходные процессы, |
т .е . полагают, |
что |
G t =» |
&г |
и |
^ |
С учетом |
приведенного допущения |
уравнения ( I I . 15), |
( I I . 1б) |
и ( И . 17) |
запишутся |
в виде* |
|
dtM_cCrFr
Для удобства решения уравнений в практике расчетов часто используют относительные переменные. Для этого текущие значения переменных относят к их базовоиу зна чению. За базовое значение берется значение переменных в каком-либо стационарном режиме работы теплообменного аппарата, например в номинальном режиме или в режиме работы, предшествующем началу исследуемого переходного процесса.
Обозначим базовые значения температуры и расхода через t и G0 • Относительные переменные обозначим}
Г.ср
f
С учетом приведенных обозначений система уравнений (11.25) я зависимость (П Л 8 ) в относительных пере менных запишутся следующим образом!
dQncP |
сп®п сгг@п |
fr |
|
Ы? |
|
тг сг.ср |
% И |
°^г@гср |
|
|
^Г^ГСр |
|
d6f4 |
^rFr |
f <х&_ |
|
& |
‘ т п ст |
т м см |
|
d@x.cp |
°^ос%с |
|
схг@хг ~ сXt- |
®xi |
d £ |
|
(@м~®х. ср) |
т х Сх.ср |
Gofa> [ ( I I . 26) |
|
^ х Сас.ср |
|
|
Gccp~ |
0>5(&Г1 + |
&Г2 ) > |
|
|
6х .ср~ |
@-асе) • |
|
|
