algem

31)Собственные числа и собственные векторы симметричной матрицы. A= симметричная матрица, т.е. aij=aji ∀i,j↔. Теорема: Характеристический многочлен det(A-λE) симметричной матрицы A имеют ровно N вещественных корней: λ1,λ2,…,λm с учетом их кратности. Теорема: собственные векторы симметричной матрицы отвечающие различным собственным значениям, попарно ортогональны. Док-во: Пусть Ax=λx,x≠0, Ay=μy,y≠0, λ≠μ; X┴Y тогда (x,y)=0, (Bu,v)=(u,v) λ(x,y)=(λx,y)=(Ax,y)=(x,y)=(x,Ay)=(x,μy)=μ(x,y); λ(x,y)=μ(x,y) тогда (λ-μ)(x,y)=0, λ-μ≠0, (x,y)=0. Теорема: Пусть A-симметричная матрица и λ собственное значение кратности p и пусть H-собственное подпространство, отвечающее собственному значению λ следовательно dimH=p; Ax=λx; (A-λE)x=0; λ- собственное число. H={x;(A-λE)x=0} Теорема: Пусть A- симметричная матрица порядка n тогда в пространстве Rn существует ортонормированный базис, составленный из собственных векторов матрицы A. 1)Вычисляем корни характеристического многочлена. 2)Пусть λ=λk-корень. Рассмотрим линейную систему (A-λE)=0 с матрицей A-λE и нулевым детерминантом. Пусть f1,…fs-ФСР. 3)Подвергаем ФСР процессу ортогонализации и получаем g1,…,gs. 4)Объединяем все полученные базисы, отвечающие своим собственным значениям. Получаем ОНБ в Rn.

32) Определение квадратичной формы. Матрица квадратичной формы. Пусть A=-симметричная матрица порядка n, т.е. aij=aji ∀i,j Ф-ция вида Q(x)=(Ax,x); -Q- в квадратной форме. Q(x)=(Ax,x)==; Q(x)= Числа -коэффициенты квадратичной формы, а A матрица квадратичной формы. Пример: A= Ax= Q(x)=(Ax,x)=

33)Преобразование матрицы квадратичной формы при линейной замене переменных. Канонический вид квадратичной формы. Приведение матрицы квадр. Формы к каноническому виду. Q(x)=; x=By-ф-ла задает линейное преобразование, сопоставление y∈Rn; x=By∈Rn B-матрица линейного преобразования. A= x= y= Пусть detB≠0; , y=x(переход оси x к y); Q(x)=(Ax,x)=(ABy,By)=(ABy,y)=(Cy,y)=Q’(y) ∀y,x∈Rn; Q(x)=(Ax,x)= A-симметричная матрица. V1,v2,…,Vn-ОНБ собственных векторов отвечающих λ1,λ2,…,λn a) Avi=λivi ∀i=1,…,n b) (vi;vj)=0 ∀i≠j c)(vi,vi)=1 ∀i=1,…,n(условие нормировки). V(n,n)={v1,v2,…,vn}-ортогональная матрица Теорема: при линейной замене x=Vy квадратичная форма Q(x)=(Ax,x) принимает вид Q’(y)= где λ1-собственное число , которому отвечает i-й столбец Vi матрицы V(i=1,…,n) Вид Q’(у)=… называется каноническим видом квадратной формы Q(x). Говорят, что замена x=Vy приводит к сумме квадратов. тогда y=x, yi=-переход от x к y(i=1,…,n) Q(x)= Док-во: x=Vy; x=y1V1+…+ynVn. Q(x)=(A(y1V1+…+ynVn),( y1V1+…+ynVn))=== Алгоритм приведения квадратичной формы к каноническому виду: 1)Выписываем матрицу A(квадр.формы) 2)находим собственные числа (их ровно n штук) 3) Находим ортонормированный базис, составленный из собственных векторов матрицы A. 4)Составляем ортогональную матрицу V, столбцами которой служат собственные векторы. 5) Замена x=Vy приводит квадр. Матрицу к каноническому виду. 6) обратное преобразование дается формулой y=x

34) Знакоопределенные квадрат.формы. Пусть A-симметричная матрица порядка n, Q(x)=(Ax,x)- квадратная форма, где x∈Rn. К.ф. Q(x) называется положительно определенной, если Q(x)>0 ∀x≠0. К.ф. Q(x) называется неотрицательно определенной, если Q(x)≥0 ∀x. К.ф. называется отрицательно опред., если Q(x)<0 ∀x≠0. К.ф. называется неположительно определенной, если Q(x)≤0 ∀x Q(x)-отрицательно определенная↔-Q(x)-положительно определенная; Q(x)-неположительно определенная↔-Q(x)-неотрицат. Определенная. Квадратичная форма называется знакоопределенной, если одно из 4-х условий имеет место: положительная, неотрицательная, отрицательная или неположительная неопределенность. Теорема1: a) квадратичная форма положительно определена↔все собственные числа матрицы A положительны. b)квадратичная форма неотрицательно определенная↔все собственные числа матрицы A неотрицательны. Док-во: пусть v1,…,vn-ортонормированный собственный базис матрицы A. V-отронормированная матрица, столбцами которой служат v1,…,vn; Замена x=Vy(↔y=) приводим к сумме квадратов (Ax,x)=λ1+…+λn A) пусть λ1>0,…,λn>0 Если x=0↔y=≠0 ↔(Ax,x)= λ1+…+λn >0 тогда (Ax,x) положительно опред. Квадр. Форма. Пусть λ1≤0↔y=e1, x=Vy=Ve1 получаем (Ax,x)= λ1≤0, что означает отсутствие положительной определенности, ибо x=Ve1≠0 B)Если λ1≥0,…,λn≥0↔(Ax,x)≥0 ∀x, если же λ1<0 то y=e1, x=Ve1 Критерий Сильвестра. A= ррассмотрим n ее миноров a11=∆1,∆2= ∆3= ∆n= (Ax,x) положительно определены↔∆1>0,…,∆n>0 Критерий неотрицательной определенности. Определим главный минор k: 1)выбираем произвольные k элементов на главной диагонали. 2)берем строки и столбцы, содержащие эти элементы 3)на их пересечении располагается матрица порядка k. Ее определитель-главный минор k порядка. 1)3 главных минора 1 порядка 2)3 главных минора 2-ого порядка.3) один главный минор это detA. Теорема: Квадратичная форма (Ax,x) неотрицательно определена↔все главные миноры матрицы A неотрицательны.

35)Перпендикуляр из точки на подпространство. Метод наименьших квадратов. Пусть L-подпространство в Rn. Вектор h ортогонален подпространству, если он ортогонален любому вектору x из L, т.е. (h,x)=0; (h,; (h, . Рассмотрим в Rn подпространство L размерности m и вектор f;f не принадлежит L. Опустим перпендикуляр из точки f на L, т.е. найти вектор g∈L, что h=f-g, h┴L. Вектор g-называется ортогональной проекцией вектора f на подпространство L. Покажем, что если g1 есть отличный g вектор из L, то |f-g1|>|f-g|; |f-g1|^2=(f-g1,f-g1)=((f-g)+(g-g1),(f-g)+(g-g1))=(f-g,f-g)+2(f-g,g-g1)+(g-g1,g-g1)=|f-g|^2+2(f-g,g-g1)+|g-g1|^2 Поскольку вектор g-g1∈L а вектор f-g┴L, то скалярное произведение (f-g,g-g1)=0 |f-g1|^2=|f-g|^2+|g-g1|^2>|f-g|^2 Пусть базис L состоит из векторов e1,e2,…,em. Вектор g=c1e1+c2e2+…+CmEm; где коэффициенты ck найдем из условия h┴L. Для этого потребуем, чтобы (h,ek)=(f-g,ek)=0; k=1,2,…,m↔(g,ek)=(f,ek) Подставляя вместо g выражение, получаем систему m уравнений относительно чисел c1,c2,…,cm: c1(e1;ek)+c2(e2;ek)+…+Cm(em;ek)=(f,ek) k=1,2,…,m. У каждого вектора f существует, и притом только одна, ортогональная проекция g на подпространство L. Y=c1x1+…+CmXm. система несовместна и удовлетворяет уравнениям лишь приближенно. В качестве меры близости берется так называемое квадратичное уклонение левых частей уравнения от свободных членов Надо найти такие c1,c2,…cm при которых квадратичное уклонение имеет наименьшее значение.

36)Комплексные числа в разных формах и действия над ними. Комплексным числом Z называется выражение вида z=a+bi где a и b действительные числа, i-мнимая единица. i*i=-1, a-действит.часть, b-мнимая. Z=a+ib(алгебраическая форма числа) Два комплексных числа называются равными если равны их действительные и мнимые части. Z=r(cosφ+isinφ)-тригонометрическая форма записи числа. A=rcosφ; b=rsinφ; r=|z| r= sinφ=; cosφ=; Суммой 2-х комплексных чисел называется z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i; Разностью 2-х комплексных чисел: z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i; Произведение комплексных чисел i*i=-1; z1*z2=(a1*a2-b1*b2)+(b1a2+b2a1i) ; z1z2=r1r2(cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)); Деление обратно умножению:z1/z2=r1/r2(cos(φ1-φ2)+isin(φ1-φ2)) Ф-ла Эйлера. Z=x+yi –показательная ф-ция комплексного числа. ; =; =; =; = заменим y на –y =; cosy=; siny= из ф-лы Эйлера следует, что комплексное число можно представить в показательной форме z=r

37) Ф-ла Муавра. Извлечение корня n-степени из комплексного числа. = при r=1 (cos𝛗+isin𝛗=cosn𝛗+isinn𝛗 Определение. Корнем n –ой степени из комплексного числа называется такое комплексное число, n-ая степень которого = подкоренному выражению(числу) =p(cosω+isinω); =; ; nω=φ+2πk; p=; ω=; =(cos()+isin()) Придавая k значения 0,1,…,n-1 получаем ровно n различных комплексных значений корня. Для других k аргументы отличаются от полученных корней на число, кратное 2π, т.е. значения корней совпадают с полученными. Вывод: корень n-ой степени из положительного числа имеет n-различных значений.

1) Определитель 2-ого и 3-ого порядков. Вычисление определителей по правилу треугольников и разложением по строчке или столбцу. –определитель квадратной матрицы 2-ого порядка. Эл-ты a11 и a22 образуют главную диагональ, а эл-ты a12 и a21 побочную диагональ. Определитель равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали. ∆==detA A= квадратная матрица 3-ого порядка; ∆=a11-a12+a13 Коэффициент a11 а этой формуле называется минором этого элемента. Минор эл-та aij-это определитель матрицы, получаемой из A вычеркиванием i-строки j-столбца. ∆=a11M11-a12M12+a13M13-разложение определителя по 1-ой строке. Mij-миноры элементов aij; Aij-алгебраические дополнения к элементу aij; Aij= Определитель равен сумме произведений элементов 1-ой строки на их алгебраические дополнения. Можно сказать, что это верно и для произвольной строки или столбца. Также определители можно раскладывать по правилу треугольников.

3) Определители порядка n. Св-ва определителей. Разлагая определитель 3-го порядка мы сводим его вычисление к вычислению определителя 2-ого порядка. Аналогично оп-ль 4-го порядка вычисляется через определители 3-ого, и т.д. по индукции мы можем дойти до n-порядка, а разлагать будем его по определителю n-1 порядка. Св-ва определителей: 1)Оп-ль не меняется, если все его строки заменить соответствующими столбцами(с такими же номерами) Это называется транспонированием. Все что верно для строк, верно и для его столбцов. 2)Перестановка двух строк (столбцов) влечет изменение знака определителя. 3)При умножении всех эл-тов строки (столбца) на число определитель умножается на это число. 4) Оп-ль не изменяется при добавлении к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на число(верно и для столбцов). 4) Определитель, две строки(столбца) которого совпадают, равен нулю.