книги из ГПНТБ / Христиансен, Г. Б

Первое предположение достаточно близко к

действительности,

а третье — означает, что мы рассматриваем я.-а.

частицы, иониза­

шении,

что

согласно

эксперименту ХпФХа.

Однако

это

предпо­

ложение

значительно

упрощает

необходимый

математический

формализм.

х

Будем

измерять

толщину

слоя

атмосферы

в

единицах

А, = 80 г/см2,

т. е.

в

единицах

ядерного

пробега.

Обозначим

число

заряженных

пионов

с

энергией

Е

на

глубинах х

через

я(Е,

х).

Число

пионов

я ( £ , х)

изменяется

при

увеличении

глубины

на

Ах

за

счет следующих

процес­

действие

переводит

пионы

в

другой

энергетический

интервал

(число таких

пионов — п(Е,

х)

Ах);

2) я-*-р

распада

пионов (чис-

ло

таких

пионов1 1 1

я(Е,

х)

fax);

3)

рождения

новых

пионов

энергией Е

Ех

Е'>Е

с

при

взаимодействии

нуклонов с энергиями

Е0

(число

таких

пионов

есть

J

N(Е',

x)WNn(E',E)dE'Ax,

где

N(E',

x)dE'

— число нуклонов

Е'=Е

E' + dE'

на глубине

х,

с энергией Е',

и WN„.(£',

Е)

— число пионов

с энергией

Е,

рождаемых

нуклоном

с энергией

Е')\

4)

рождения

новых

пионов с энергией

Е пионами

Р

max

с

энергией

Е'>Е

(число

таких

пионов

есть

j

(лЕ'г

x)Wnn(E',

E)dE',

где Wnn{E',

Е)

Е'=Е

Е,

—число

пионов с

энергией

рождае­

мых

пионом

с

энергией

Е',

и Етах—максимально

возможная

энергия

пионов

в ш. а. л. от

первичной

частицы с

энергией

Е0).

к

Таким

образом,

уравнение

для

числа

пионов,

если

перейти

1

1

1

_

.

АхХ

АхКтлс2

Вероятность

распада пиона

на

пути Их

есть

пределу Ах->0, имеет

вид

cx0yd

dcxQE

dx X

хХ

dh

h0

Отсюда вероятность

распада

Ад:

В

где

„

=

тлс2к0

, — ,

В

Е

СХ„

д л ( Е ' х ) = — я ( £ , х)

— я (Е,

х) + ( N(E', x)WNn{E',

E)dE' -!-

дх

Ex

J,=E

P

шах

+ j

я ( £ ' ,

£ ) d £ ' .

(5.2.1)

Для нулевого поколения, представленного одним

первичным

нуклоном, мы

можем

написать

N0(E,

х) =е~х[8(Е—Е0)].

Очевид­

но,

что ло(Е,

х)

= 0. Для первого

поколения

мы поэтому

получаем

уравнение

длАЕ,

х) = _ я

( £ > х

)

*

( £ >

д )

+

f

е~*Ь(Е'-Е0)х

дх

Ex

„J

xWNjl(E',

Е)

dE',

Е'=Е

или

дщ(Е,

х)

л +

+ e - x W

,

Е).

=

J 3 N

( £

>

x )

{

Е о

дх

\

Ex J

(5.2.2)

Уравнение

вида

У' +У

Мх)

+ Ш

= 0

имеет, как известно, решение у

= e~$fidx

[с—§ f2e^fldx

dx].

Полагая

fx =

1 ~>Г~Е~]

и

f* ==~e~xW"n(E<>'

Е)>

получим

Я1(Е,

x) = e-'x-B'*\c

L

+

Wm(E0,

Е)

**'Е+\

1)

] .

(5.2.3)

(В/Е +

J

Так

как

при х-*0

я х ( £ , х)->-0,

то

С

равно

нулю.

Отсюда

/с

\

=

г

WN„(E0,

Е)

.

(5.2.3')

л1(Е,х)

е-хх

нов, то остается один лидирующий нуклон и N{(E,

х),

очевидно,

равно e-*xf(l—Е/Е0),

где /(1—Е/Е0 )

= f(k)

(f{k)

—распределение

коэффициентов

неупругости).

Подставляя

выражения

для

ni(E,

х) и N\(E,

х)

в уравнение

для

я(Е,

х),

получим

уравнение

для

второго поколения

пионов, т. е. для яг( £ ,

х).

Продолжая эту процедуру до j-того поколения, получим сле­

дующее выражение

для

Я.(Е,

x)

=

^^Ff(E),

(5.2.4)

1!

причем

для F? (Е) получается

рекуррентная

формула

[242]

F?W =

1 + / в > 1 I

f

Я-1

^ w

™ ^ d

E

' +

для

Лг{Е, х):

\

-

'Чт)т

Е,

j "

Fti(E')WNa{E',

Е)

dE'

(5.2.5)

Обращает на себя внимание следующая

особенность

формулы

первый

сомножитель

представляет

собой

просто

вероятность по

Пуассону

испытать

i столкновений

при

среднем

числе

столкновений

х.

Эта

особенность

представляется

естест­

венной

в рамках нашего

предположения

о равенстве

Хя

= 1кп='к-

Действительно,

с р е д н е е

число

частиц f-того поколения

на

глу­

стицы возникли как результат f-того

по «старшинству»

элемен­

тарного

акта,

считая от

первичного

взаимодействия. То, что в

каждом

акте

рождается много частиц данного поколения и, та­

ким образом,

возникает

определенная корреляция в

поведении

чете

флуктуации,

а не среднего значения я* (Е,

х).

В

выражении

F* (Е)

множитель

учитывает

В

1

Е

i

роль

распадных

процессов,

которые приводят к более жесткому

Ne(x)

=

|

j°

{[я(Е,

x')Wm°(E,

Е')

+

£ ' = т я . е » Е=т'лоС2

О

+

N(E,

x')WNn°{E,

E')]Ne(E',

х —х')dx'dEdE',

(5.2.6)

где Wnn° и WNK«

— число

рождаемых

я°-мезонов

при

столкновении

п и о н о в ^

нуклонов

соответственно;

Ne(E', х — х') — число

элек­

тронов на глубине х от л°-мезонов

с

энергией

Е',

рожденных

и

распавшихся на

2у

кванта

на

глубине

х'. Функция Ne(E',

х —

х')

берется из

электромагнитной каскадной

теории.

Мц, ( £ ц ,

x)dEll=

f л ( £ ц Г ,

х) Щ-

——

dE^,

(5.2.7)

J

X

t

^

г

о

где

Е^г — энергия

пиона,

необходимая

для того, чтобы в резуль-

тате

я->-р, распада

получался мюон

с

энергией

Е^\ г =

по-

него числа пионов л(Е,

х) при условии, что

вся лавина

зарож­

дается от первичного нуклона на границе

атмосферы.

Как мы

видели из предыдущего

параграфа,

при расчете ш. а. л.

необхо­

димо решать задачу для

парциальных

лавин

(см. рис. 70),

зарож­

факт,

что

значение

функции п(Е,

х)

в

точке Е определяется ее

1 1 3

При

распаде частицы с массой тл

на

мюон

(р.) и нейтрино

спектр

энергии

/

т.. V\

/п„я

мюона

имеет

т а

2

вид

const dE^

в интервале (

1

Еп

н- Ек;

~ 1,3.

Поэтому

принимаем:

Е^

=

Будем

считать,

что справедлива

модель

лидирующего

нуклона.

Далее предположим, что максимальная энергия пионов в акте

взаимодействия нуклона Е1тах,

максимальная

энергия

пионов

в ак­

тах

взаимодействия

пионов,

рожденных

нуклоном,

Е2тау.

и

т. д.

Тогда

в энергетическом

интервале

£ 1 ш а

х -е- Е2тах

можно

записать

следующее

уравнение для л(Е,

х):

Ео

д П

{ Е д х

Х )

=

-

( l +

-j^y

(Е,

x)+^N(E',

х) WNn

(Е',Е)

dE',

(5.2.8)

^2max

где

Ео—

энергия,

которой

обладал

нуклон

в точке

зарожде­

ния ливня из я-мезонов. Это уравнение

имеет

простое

решение

(см. [253]),

определяющее

функцию

я (Е,

х)

в

интервале

£х п . а ? > £ >

£ 2 т а

х

и во всем

интересующем

нас интервале

зна­

чений

х.

Для энергетического интервала Е2

т а х

ч- Е6 т а х

(Е2 ш а х

соответст­

вует максимальному значению энергии вторичных частиц,

рожден­

ных от пионов с энергией Е1тах;

Е3тах—

максимальному

значению

энергии вторичных частиц от пионов с энергией Е2

тах)

можно

запи­

сать уравне'ние

imax

а я (дх£ ,

х)

=

_

/

- j

+ _ А ^ Я (

£

>

х )

+

j

л ( £

/ )

x

) W

n n {

E

' t

E)dE'+

+

J

N(E',x)WNn(E',E)dE'.

( 5.2.9)

^Зтах

В этом уравнении используется решение

для я (Е,

х),

уже

полу­

ченное

в интервале

ElTnax

— £ 2

т а х -

Это

уравнение

имеет

простое

решение,

которое

определяет

я (Е,

х)

в интервале

£ = £ 2

max-r-

-^-Езтах- Далее

можно

написать

уравнение

для

интервала

Ez max

Е^Т

А Х

И Т. Д .

Описанный

метод

(5.2.8)

имеет

теоретические

преимущества

в вычислениях перед методом последовательных

поколений,

так

как

в

методе

последовательных

поколений для

получения

функ­

четы для различного

числа

поколений

i, удовлетворяющих нера-

венству

X

Причем

объем

работы может оказаться

—<С i < х.

больше,

чем при вычислении

я (£, х)

для разных интервалов Е

сколько быстро деградирует энергия при ядерном

взаимодейст­

вии. При быстрой деградации преимущества имеет

метод [253].

Анализ

экспериментальных

данных проводится

в

подавляю­

щем большинстве с помощью решения прямой

задачи,

т. е. рас­

чета различных

экспериментально наблюдаемых

характеристик

ш. а. л. с учетом

специфических

особенностей

экспериментальных

установок

при условии задания

характеристик

элементарного

акта.

периментальных данных

по

ш . а . л . — решение обратной

задачи.

Сущность ее заключается

в

возможности рассматривать

приво­

я.-а.

частиц л(Е,

х)

и N(E,

х) как уравнения относительно функ­

ций

WNZI(E',

Е)

И Wzm(E',

Е), предполагая

известными из

экс­

перимента

функции

л(Е, х)

и N(E,

х). Практически

в [254]

пока­

зана

возможность

решения

задач

только

для

определенного

шой ролью флуктуации для обратной задачи

фактически возни­

кает вопрос о решении уравнений

Колмогорова — Дмитриева

для

стохастических процессов, что, как

мы видели,

составляет

пока

В §

1 было отмечено, что в расчетах по

ш . а . л . надо

опираться

на известные

параметры

элементарного

акта при

энергиях

Е<\013

эв и

произвольно

варьировать эти

параметры

при более

ности

экспериментальных

данных

допустимы определенные ва­

риации

KN, kN, Яя , k„,

ns

(Е0)

для

взаимодействия пион — ядро, а

также

энергетического

спектра

и

состава вторичных частиц даже

при Z^o^lO1 3 эв. При

сверхвысоких

энергиях эти

вариации

(априори

— до анализа)

ограничены

только законами

сохране­

н и я 1 1 3 .

Чувствительность

различных

характеристик ш. а. л. к ос­

смотрена в целом ряде работ.

Уже в первых работах по этому вопросу

[227, 245, 255] отме­

чена

большая

чувствительность

э.-ф. и я.-а. компонент

ливня

к

вариациям

таких

параметров лидирующего

нуклона,

как KN,

kN,

и в то же время

сравнительно

слабая

чувствительность

мюонной

компоненты к этим

параметрам.

Т а б л и ц а 1

Т а б л и ц а 2

X,

г/смг

k,

ft,

JV (E

>7 Гэв)

при fe=0,5

при Jl=60

при ?i,=90

г/см*

г/см'

9,4 -105

60

6,5

• 105

0,7

1,4-105

1

8,7-103

1,35-10е

80

9,4

• 106

0,5

2,5.10s

0,5

7,1-103

1,7 .10»

100

1,78106

0,3

3,9-105

0,3

4 , 8 - Ю 3

В

табл.

1 и 2 приводятся результаты

расчетов числа электро­

нов и мюонов на уровне

моря для ш. а. л., создаваемых

первичны­

ми протонами с энергией

£ ,

0 = 1 0 1 6 эв [227] и 101 5 эв [207]. Варьиро­

вались параметры XN и kN.

Параметры пионных

взаимодействий

оставались

неизменными.

Множественность

вторичных

частиц

ns~ho

и их энергетический спектр не варьировались.

Т а б л и ц а

3

Тип модели

А^,

г/см2

( £ > 10 Гэв)

к

N ц(Еи>10Гэ8)

N

при ft=0,5

и

д

Модель

двух файерболлов

10

3 , 8 - Ю 4

1

3 , 9 - Ю 4

80

3,5-10*

0,5

3,5-10*

Модель

с энергетическим спект­

1

7,5-103

ром типа

модели

Ландау

0,5

7 , 3 - Ш 3

В табл. 3 приводятся результаты расчетов

числа

мюонов с

энергией

более

10 Гэв на уровне моря в ш. а. л., создаваемых пер­

вичными

протонами с энергией

1016 эв для различных

i\ и k и для

двух

различных

моделей — модели двух

файерболлов

и модели

Ландау.

Эти две модели отличаются

энергетическим

спектром

вторичных

частиц

(в модели

Ландау

он более

жесткий). Они

приняты

в [245] как для нуклон-ядерных,

так и для пион-ядерных

взаимодействий.

Как

видно

из табл.

1 и 2, число

электронов

на уровне

моря

показывает

большую чувствительность

к изменению

параметров

1 1 3 Для XN существуют

и другие

экспериментальные

ограничения.

взаимодействия

лидирующего нуклона.

При изменении к

и k

в

указанных

в

таблице пределах Ne

изменяется в 2-f-3

раза.

На

высоте гор

это изменение незначительно — 10-f-20% [207,

227].

менном

k

(или,

наоборот,

увеличении k при

неизменном

kN)

максимум

развития ш. а. л. будет смещаться

в

область

меньших

глубин,

что в первую

очередь

скажется

на

числе

частиц

Ne

на

уровне

моря.

_

Слабую

зависимость

числа

мюонов

J V ^

ОТ

к

и k

можно объяс­

нить тем,

что формирование

мюонов

рассматриваемых

энергий

происходит фактически на протяжении всего развития

ядерного

каскада,

причем

вероятность

(л-^-р.)-распада

не

очень

сильно

Таким образом, для формирования мюонов

существенно, что­

бы просто вся энергия лидирующего

нуклона

была

выделена в

атмосфере.

_

Некоторая зависимость iV^ от кх

и

kN возникает

из-за умень­

шения вероятности (я-vu.) -распада

в

нижних

слоях

атмосферы

случая

k = 0,3 из

табл. 1. Эта

зависимость от к и k для

числа

мюонов и электронов противоположного знака.

Гораздо более

существенной

оказывается

зависимость

числа

мюонов от множественности и энергетического

спектра вторичных

частиц

в актах

взаимодействия

пион — ядро.

Согласно табл. 1

ственности в обеих моделях

(ns~EQ1*).

можно

Зависимость числа мюонов от полной множественности

проиллюстрировать на основании данных работ [256].

_

В этой работе

было предположено taf = 80 г/см2,

^ я = 120

г/см2,

kN

= 0,5, k„ = l я

энергетический

спектр вторичных

частиц в

столк­

тах для

актов взаимодействия

лидирующего

нуклона

ns~E011*

и ns~Eo'*.

Для первичных

протонов

с энергией

£'о=101 6

эв было

получено, что число

мюонов с

энергией более 10 Гэв возрастает

в два раза при переходе от закона

п5~Ейхи

к nS~E0l/2.

Инте­

ресно,

что

отношение

при

ns

— EQ2

К

при

ns~E04*

1 1 4 СКР — условное обозначение

спектра,

полученного

на

основании

обобщения

ускорительных данных при энергии =^30

Гэв;

W

(£',

Е) ~ е~Е/кт,

КТ

=

— .

растет с Е0. Это связано с тем, что число мюонов

Ny, при

п$~Е01/г

зависит от Е0, как Е°о, где а близко к единице.

Такой результат

кадном процессе и, стало быть, относительно

меньшим

уходом

энергии в э.-ф. компоненту.

ns

Еще

более сильная

зависимость

iVp, от закона возрастания

для

лидирующего

нуклона

получена в

[257, 258]. Изменение

за­

к о н а

ns

(Е0)

приводит к увеличению

N^.(^10

Гэв) при Е0—Ю15

эв

в 34-3,5 раза и к уменьшению числа электронов на уровне

моря

примерно в два раза [256].

Весьма

чувствительна к

изменению

различных

параметров

элементарного акта я.-а. компонента. В работе [250] была

проана­

лизирована

чувствительность

числа

я.-а.

частиц

с

энергией

15=100 Гэв

на уровне моря

и на высоте гор к таким

параметрам,

как

kN,

Кп

(табл.

4). Здесь

рассматривалась

модель

типа СКР.

В таблице

даны

значения

числа я.-а. частиц с энергией

более

100 Гэв в ливнях с EQ= 1015

эв.

Т а б л и ц а

4

х,

г/см2

х п

= т

Я,я =

80

^ =

0,5

kN

= o,8

700

140

40

140

90

1030

35

9

35

21

Чувствительность я.-а. компоненты к закону возрастания

мно­

жественности ns оказывается

слабой. Так [258, 259], при

переходе

от « s ~ £ o , / 4

к ns~E0t/2

число я.-а. частиц в интервале

10-М00 'Гэв

в ливнях от протонов с первичной

энергией

10 1 5 - М0 1 6

эв падает

на несколько десятков

процентов. Это является

ярким

проявле­

Весьма

существенной для

характеристик

я.-а. компоненты

оказывается и возможная генерация в

ядерных

взаимодействиях

нуклон-антинуклонных

пар. В

работе

[259] предполагалось, что

доля

рождаемых

нуклон-антинуклонных

пар по отношению к

пионам

возрастает

от долей

процента при ускорительных энер­

гиях до csd0% при энергиях

~10 1 2

эв

и далее остается неизмен­

ной.

Введение нуклон-антинуклонных

пар в

первую

очередь будет

.

yv±

влиять

на величину

отношении

а также на

распределение

времен

запаздывания

я.-а. частиц

относительно

фронта ш. а. л.

2су2

.

При одинаковых

энергиях

я.-а. частиц

и одинаковом

рен вопрос о

чувствительности основных характеристик ш. а. л.

к параметрам

элементарного акта. При этом предполагалось, что

ном

интервале

энергий

от

~ 1 0

Гэв до Ео.

Следует

отметить,

что

вариации таких параметров, как XN,

k,

л я ,

в

табл.

1—4

сущест­

венно

завышены.

Вопрос о

выборе

между

законами

rts~£V/l

и ns~Ea1/2

возникает в

области

энергий

во всяком

случае

более

1012

эв.

Энергетический спектр вторичных частиц также можно

счи­

тать

достаточно

хорошо

установленным

во

всяком

случае

до

энергий

~ 1 0 1 2

эв.

Этот

спектр

существенно

отличается

от

спектра

Ландау

и

близок

к спектру СКР, если

учесть

рождение

пионов

от распада изобар, возбуждаемых при взаимодействиях

нуклонов.

В настоящее время

величины

XN,

k, ХП, ns

(Е0)

и

функции

Wnn (Е',

Е)

и

WNK(E',

Е)

принимаются

фиксированными

во

всяком

случае

до

энергий

~ 1 0 1 2 - М 0 1 3

эв,

и

расчет

проводится

для

различных

моделей

взаимодействия

при

энергиях

более

1О1 2 +1О1 3 Э0.

Конечно, если в результате этих расчетов обнаруживается со­

гласие

эксперимента с

одной

из

моделей

и

расхождение

с

дру­

гими, то необходимо учитывать возможность

известной вариации

параметров

элементарного

акта

при

£ ^ 1 0 1 2 - М 0 1 3

эв.

Поэтому

доказательство

согласия

эксперимента

с

какой-либо

одной

моделью и противоречие с другими

можно

считать

убедитель­

Остановимся

на

вопросе

о чувствительности

характеристик

ш. а. л. к изменениям

параметров

элементарного

акта

при энер­

гиях

более

10 1 2 - М0 1 3

эв.

Пожалуй,

наиболее

ранней работой

на

эту тему была работа [261], в которой

рассмотрена

чувствитель­

ность

электронной

и

я.-а. компонент

к

вариациям

параметров

элементарного

акта

при

£ > 1 0 м эв.

В

работе

[260]

была рассмот­

рена

чувствительность

энергетического

спектра

я.-а. частиц

на

уровне

моря

и

на

высоте

гор

к

значению k

при

энергиях

£ > 1 0 1 3

эв.

В работе

[260] при £ < 1 0 1 3

эв

рассматривалась

модель

с обычными

параметрами

XN = 80

г/см2,

Хп = \20

г/см2,

kn=\,

nS~E0ll*

и

энергетическим

спектром

типа

СКР

с

изобарным

пионом.

В таблице 5 показана зависимость

показателя

интегрального

спектра я.-а. частиц у

в интервале

энергий 1 0 И - М 0 1 2

эв

на

уровне

моря

от

значений

kw

при £ > 1 0 1 3

эв

и

< 1 0 1 3

эв.

Расчет

сделан