книги из ГПНТБ / Обрезков, В. И. Гидроэлектрические станции в электроэнергетических системах

Эта формула носит название формулы полной вероятности. Множество элементарных событий можно представить как мно­

жество, составленное из некоторых величин. Величина, могущая принимать различные значения, но так, что появлению каждого из этих значений соответствует определенная вероятность, называется случайной величиной.

Случайная величина g называется дискретной, если она может принимать дискретное (конечное или счетное) число различных зна­ чений .Vi, . ѵ г , . . . , Хп с соответствующими значениями вероятно­ стей

Для того чтобы полностью охарактеризовать случайную величи­ ну, необходимо знать ее численное значение и вероятность появления

Функция распределения вероятностей случайной величины есть неубывающая функция. При любом значении —оо<.ѵ<оо удовлетво­ ряется условие

310

Функция распределения непрерывной случайной величины в гра­ фическом виде для различных случаев представлена па рис. П-І. Кривая 1 соответствует ограниченному распределению вероятностей, кривая 2 — не ограниченному сверху, кривая 3 — с разрывом в нуле.

Другим законом распределения вероятностей может служить некоторая неотрицательная интегрируемая функция [(х), называемая

плотностью распределения вероятностей величины Ç. Плотность рас­ пределения численно равна производной функции распределения в тех точках, где она существует:

311

До снх пор рассматривались случайные величины, возможные значения которых определялись одним числом. Однако в гидрологии нередко приходится иметь дело и с многомерными случайными вели­

Эта функция является неубывающей функцией каждой перемен­ ной при фиксированных значениях остальных. Она непрерывна слева по каждому ХІ. Если хотя бы одно из значений ,ѵ,- стремится к —со, то F(xi, х2,.. ., Хп) стремится к нулю. Если некоторые из .ѵ*,- стре­ мятся к со, то F(xi, х2< •.., хп) стремятся к функции распределе­ ния случайных величин, соответствующих остальным значениям х.

откуда на основании (П-16)

г X

Так же как и в одномерном случае, плотность вероятностей n-мерного случайного вектора не отрицательна, т. е.

312

Неравенство (П-25) и равенство (П-26) являются основными свойствами плотности распределения вероятностей случайного век­ тора.

На основании (П-22) получим, что для многомерных плотностей распределения независимых случайных величин имеет место равен­ ство

относительно события В. Если событие В заключается в попадании

случайной точки с координатами іп+ь in+2, • • -, Іп+m в некоторую m-мерную область В, то условная функция распределения случай­

ного вектора Е„ определится формулой

В прикладной инженерной деятельности большое значение имеют различные числовые характеристики случайных величин. Для этого обычно пользуются моментами случайной величины.

По определению моментом порядка к непрерывной случайной

величины \ называется интеграл

со

Таким образом, математическое ожидание непрерывной случайной

—0 0

Вслучае дискретной случайной величины, могущей принимать

значения х, и соответствующие им вероятности Я,-, говорят, что

В общем случае, когда вместо случайной величины g рассмат­ ривается произвольная функция т| = ф(£) 1<р —Ф(*)—некоторая

функция от х], то математическое ожидание ее будет равно:

— 0 0

Аналогично, если задано распределение вероятностей дискретной случайной величины g, то математическое ожидание случайной ве­ личины вида г] = ф(|) определится как

со

Сравнивая формулы (П-32) и ;(П-34), замечаем, что начальный момент порядка к случайной величины £ можно определить как

314

Дисперсия, характеризуя до некоторой степени разброс значе­ ний случайной величины относительно ее среднего значения, имеет вместе с математическим ожиданием важное' значение в решении задач из области теории вероятностей. Однако, как 'было отмечено в гл. 1, при решении задач іпо регулированию стока к этим характе­ ристикам случайной величины необходимо добавлять ее закон рас­ пределения.

Дисперсия, как видно из определений, имеет размерность квад­ рата случайной величины. При решении практических задач часто удобнее пользоваться такой характеристикой рассеивания, которая имеет ту же размерность, что сама случайная величина. Такой ха­ рактеристикой является среднее квадратическое отклонение случай­ ной величины ах, которое определяется как квадратный корень из ее дисперсии:

где DX=*D%.

Иногда удобнее пользоваться средним квадратическим откло­ нением, представленным в относительных единицах. Получаемый при этом коэффициент носит название коэффициента изменчивости (ва­ риации) и обозначается через Сѵ:

Центральные моменты случайной величины u.ft могут быть вы­ ражены через ее начальные моменты o.k. Для этого необходимо раз­ ложить (.v—Ml)'1 по формуле бинома Ньютона и определить \іи. Опуская промежуточные выкладки, заметим, что при k=2 соотноше­ ние между математическим ожиданием, дисперсией и начальным

316

if te;

Cs>0 Cs=>0 Cs<0

Рис. П-3. Асимметрия распределения в зависимости от С3 .

вать «-мерный случайный вектор. В этом случае приходится поль­ зоваться, ироме моментов каждой из «их в отдельности, еще сме­ шанными моментами случайных величин.

Смешанным моментом порядка k + / случайных величин g, и | 2 называется математическое ожидание величины | ^ :

Аналогично предыдущему очевидно, что при k=0 или /=0 эта формула дает центральные моменты случайных величин gi и g2 по отдельности. В частности, моменты первого порядка Цю и Цоі равны нулю, а моменты второго порядка р,2о и цог есть не что иное, как дисперсии случайных величин gi и g2.

317

моментом, а так называемым коэффициентом корреляции. Коэффи­ циентом корреляции случайных величии îji, 5j2 называется безраз­ мерная величина, равная отношению ковариации к произведению

УDJ),

Впрактических расчетах вместо этой формулы нередко исполь­ зуется следующая:

случайные величины связаны между собой линейно, то г*и = ± 1 .

В гидрологических расчетах часто требуется оценить связь меж­ ду значениями стока (расхода) в соседние интервалы времени (годы, месяцы, сутки и т. д.). Для вычисления коэффициентов корреляции в ѳтом случае из имеющегося ряда конструируются ряды со сдви­

318

•промежутком времени т, от значения т называется корреляционной функцией ряда или автокорреляционной функцией. Автокорреляци­ онная функция обычно определяется по формуле

где xt — значение случайной величины, соответствующее интервалу времени і (<-й член ряда); х г + т — то же, соответствующее интервалу времени i + х; t — число принятых дискретных единиц времени, через

которые анализируется связь членов ряда соседних интервалов време-

до я-го члена; п — число членов исходного ряда.

Если в формулах (П-31), (П-32), (П-34), (П-42), (П-44) вместо

из ряда возможных. В практических расчетах и, в частности, рас­ четах по регулированию стока вместе с тем приходится встречаться еще с такими случайными величинами, значения которых в каждом данном случае изменяются в зависимости от времени или других параметров. Из всех случайных функций, которые при этом образу­ ются, нас будет интересовать прежде всего случайный процеос.

Случайным процессом, или, как говорят, стохастическим про­ цессом, называется функция двух аргументов

Для каждого значения аргумента t функция ф(я, /) является функцией только х и, следовательно, представляет собой случайную величину. Для каждого фиксированного значения аргумента х ср(ж, t) зависит только от t и является, таким образом, функцией одного вещественного аргумента. Каждая функция x{t) из множества, обра­ зующего случайный процесс, называется реализацией случайного процесса.

Итак, случайным процессом £(0 называется функция времени,

значения которой в любой момент времени являются случайными величинами. В тех случаях, когда процесс %{t) вызывается какимилибо физическими причинами, между значениями этих случайных величии может существовать определенная коррелятивная связь.

319