книги из ГПНТБ / Морозов, В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач-1

ным способом решение учитывает совместность деформаций и ди­ намическое взаимодействие пролетных строений и опор, выражен­

ные в граничных условиях (11.37), (11.38), поэтому частоты <р?

ифункции Xir представляют спектр собственных колебаний системы

вцелом

Это подтверждает существование нормальных колебаний опор

ипролетных строений моста как единой совместной системы.

Сцелью дополнительной проверки этого положения были про­ ведены эксперименты, описанные в § III.4. Испытания П-образной решетки показали, что даже при разных материалах пролетного и

опорных стержней существует частота собственных колебаний (основного тона) системы в целом, не совпадающая с собственны­ ми частотами его элементов.

На основе приведенных данных в дальнейшем мы исходим из предположения, что существует бесконечная последовательность собственных частот ср? и совокупность собственных функций

Xir(xr) (г—1, 2, ..., 2п+1, г=1, 2, ...), определяющих формы собст­ венных. поперечных колебаний рассматриваемой системы в целом (совместных колебаний пролетных строений и опор). Нетрудно

Для каждой собственной частоты ср;° уравнение (11.42) вместе с начальными условиями (11.40) определяет функцию gj(f), описыва­ ющую закон затухающих гармонических колебаний соответству­ ющей нормальной составляющей.

За ненадобностью мы выражения этих функций здесь ие при­ водим.

Вернемся теперь к задаче сейсмических колебаний. Решение системы уравнений (11.38) (при условии уг=у) представим в виде:

А. Н. Крылова, нетрудно получить следующие нормальные урав­

1 Частоты ср? не учитывают рассеяния энергии. Как указывалось в § II.1, этот фактор практически не влияет на частоты и можно принять <рр= ф<.

60

Здесь коэффициенты Cir, D°. имеют значения:

оо

'г-1

Решения дифференциальных уравнений (11.46), соответствующие иулевым начальным условиям,- в действительной форме имеют вид i[90]:

Тогда на основе (11.45) общее решение задачи сейсмических колебаний рассматриваемой схемы можно записать в виде:

Эти выражения определяют закон поперечных сейсмических ко­ лебаний балочного моста при общем предположении, что сейсмиче­ ские смещения оснований под различными опорами отличаются друг от друга.

61

• В настоящее время эти выражения нельзя использовать для практических расчетов, так как нет достаточного количества инст­ рументальных акселерограмм для обоснованного представления

возможности в отношении исследования эффекта «бегущей» сейс­ мической волны, распространяющейся вдоль моста с конечной ско­ ростью. Действительно, примем, что грунтовые условия под всеми

опорами одинаковы. Тогда различие функций У,, обусловлено толь­ ко разновременностью подхода волны к отдельным опорам. Допус­ тим, что вдоль оси моста от опоры 1 к опоре 2п+1 движется попе­ речная сейсмическая волна со скоростью Сп. При обычных длинах мостов форму волны, движущейся в их пределах, можно считать не­

изменной1. В этих предположениях функции У,-, описывающие сейс­ мические ускорения оснований под опорами, можно представить в виде:

Здесь L r — расстояние от первой до r-й опоры-

В качестве функции У0 можно принять участок, соответствующий поперечным волнам из какой-либо характерной осциллограммы. Тогда по формулам (11.49), (11.50) может быть получено численное решение задачи колебаний и оценено влияние распространяющейся волны. Такие исследования, требующие весьма трудоемких 'вычис­ лений, сейчас начаты на кафедре мостов и железобетонных конст­ рукций Грузинского политехнического института имени В. И. Ле­ нина.

Решение задачи поперечных сейсмических колебаний балочных мостов значительно упрощается, если предположить, что основание под всеми опорами колеблется по одинаковому закону. При одно­ родных грунтовых условиях и не очень большой протяженности моста такое допущение нужно считать приемлемым.

Примем в формулах (11.49) Yr(t) = Y0(t) ( r=l , 3, ..., 2/г+1) и,

кроме того, заменим собственные частоты срг собственными перио­ дами 7\ = 2я/ф<.

Тогда после некоторых преобразований решение (11.49) задачи поперечных сейсмических колебаний балочного моста можно запи­ сать в виде:

1 Отмеченные в § 1.1 дисперсионные и другие явления, вызывающие измене­ ние формы сейсмических волн, существенно проявляются только па значительных расстояниях. '

62

y r( x rJ ) = - ^ -g - 7’tA',r (A'r ) f V Q(X) n (11.51)

( r = l , 2 , . . . , 2й+ 1).

Здесь коэффициенты разложения Di определяются выражени­ ями:

2л + 1

2 mr{x r ) X 2,r {x r) d x r

Нетрудно видеть, что эти формулы вполне аналогичны соответ­ ствующим выражениям, полученным в § II.1 для обычных расчет­ ных схем с распределенными параметрами. Это позволяет непосред­ ственно распространить на рассматриваемую схему балочного моста все расчетные формулы метода спектральных кривых. Оче­ видно, если доказано существование собственных форм совместных колебаний пролетных строений и опор, на равных условиях могут быть применены и схемы дискретного типа.

Выше мы не учитывали наличие на мосту временной нагрузки от 'подвижного состава. Подробно этот вопрос рассмотрен в следу­ ющем параграфе. Там показано, что нагрузка от колонн автомоби­ лей при .землетрясениях не может «скользить» по проезжей части и таким образом ее можно рассматривать как жестко скрепленную с пролетным строением. Ввиду наличия колесных реборд такое предположение при поперечных колебаниях справедливо и в отно­ шении временной нагрузки от подвижного состава железнодорож­ ных мостов. Поэтому учет временной нагрузки при поперечных ко­ лебаниях не вносит каких-либо осложнений в приведенную расчет­

менную нагрузку.

Изложенная расчетная методика без труда распространяется на задачу поперечных колебаний рамных мостов. Практические ука­ зания по расчету изложены в гл. VII.

§ 11.4. ПРОДОЛЬНЫЕ СЕЙСМИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ БАЛОЧНЫХ МОСТОВ. УЧЕТ СЕЙСМИЧЕСКИХ СИЛ ОТ ВРЕМЕННОЙ НАГРУЗКИ

Совместные колебания опор и пролетных строений балочных мостов при продольном сейсмическом воздействии носят весьма сложный характер. Это вызвано следующими основными причи­ нами:

а) наличием фрикционных связей (связей трения) в подвижных опорных частях пролетных строений; ■

63

б) сейсмическим давлением грунта на заднюю грань устоев; в) несинхронностыо колебаний грунта (основания) под отдель­

ными опорами при больших пролетах; г) нежесткой связью временной нагрузки с сооружением (че­

рез сцепление).

Для выявления общей картины продольных сейсмических коле­ баний рассмотрим схему балочного моста, приведенную на рис. 11.9.

вое сейсмическое давление грунта на заднюю грань устоя; послед­ нее может быть представлено в виде горизонтальной оаспределенной, переменной во времени нагрузки с интенсивностью pc (z, t). Пока мы предполагаем, что временная нагрузка на мосту отсутст­ вует.

Связи между подвижными концами пролетных строений и верх­ ними сечениями опор носят фрикционный характер: до преодоления трения покоя они обеспечивают несмещаемость этих элементов от­ носительно друг друга; после начала подвижки в опорных частях динамическое взаимодействие пролетных строений и опор может быть представлено с помощью сил трения QT, развивающихся при движении. В общем случае эти силы переменны и зависят от ско­ рости относительного движения. Однако в практических задачах прикладной динамики обычно считают, что силы сухого трения по­ стоянны во времени и направлены противоположно относительной скорости.

Поэтому в первом приближении можно принять:

QT = ----»np-g°n_ f N _

I Уп\> Уon I

Здесь уош Упр — продольные смещения верха опоры и подвиж­ ного конца пролетного строения; N, / — вертикальное давление и коэффициент трения в опорной части.

Решение задачи продольных сейсмических колебаний мостов в указанной выше постановке сопряжено со значительными труд­ ностями. Наличие фрикционных связей, выражаемых указанной

64

выше зависимостью, приводит к нелинейности дифференциальных уравнений колебаний. Закон изменения сейсмического бокового давления грунта во времени в настоящее время мало исследован. Трудности, связанные с несинхронностыо колебаний основания 1'дельными опорами, были рассмотрены в предыдущем пара­

графе.

Для разработки практической расчетной методики необходимы некоторые упрощения постановки задачи. Очевидно, степень взаи­ мосвязи отдельных пролетов моста в процессе продольных сейсми­ ческих колебаний зависит от относительной величины сил трения в подвижных опорных частях. С этой точки зрения балочные мосты можно подразделить на две группы. К первой группе относятся мосты, имеющие подвижные опорные части с малым коэффициен­ том трения. Таковы мосты со средними и большими пролетами, в которых пролетные строения поддерживаются опорными частями каткового, валкового или секторного типа. Коэффициент трения в этих опорных частях по нормам равен 0,05 [145]. Однако это верх­ ний предел, принятый для определения воздействия сил трения на опоры. Фактические значения коэффициента трения намного мень­ ше (порядка 0,01—0,02 [102]). Во вторую группу входят мосты малых пролетов с плоскими или тангенциальными опорными ча­ стями. Здесь коэффициент трения значительно выше — порядка 0,1—0,3 (по нормам — 0,5). Мосты с резиновыми опорными частя­ ми будут рассмотрены в гл. VII.

Для выяснения характера сейсмических колебаний нужно со­ поставить силы трения в подвижных опорных частях с сейсмиче­ скими усилиями, вызывающими взаимное смещение опор и под­ вижных концов пролетных строений. Такой анализ показал, что в мостах первой группы уже при силе землетрясения в 7 баллов сейсмические силы значительно превышают силы трения в подвиж­ ных опорных частях. При колебаниях опорные части не создают существенной связи между элементами моста и играют лишь роль дополнительных очагов рассеяния энергии. Поэтому при продоль­ ном сейсмическом воздействии отдельные части моста, разделенные подвижными опираниями пролетных строений, совершают незави­ симые колебания, как самостоятельные колебательные системы. Этот вывод получил экспериментальное подтверждение в специаль­ ных модельных испытаниях, описанных в § II 1.4. Косвенным под­ тверждением могут служить и результаты исследований и натур­ ных испытаний стальных пролетных строений, показавшие, что трение в подвижных опорных частях практически не отражается на периодах вертикальных колебаний, но существенно влияет на зна­ чения декрементов [167].

Некоторые коррективы в указанную картину в отношении же­ лезнодорожных мостов может внести работа мостового полотна на продольные усилия. Известно, что этот фактор играет определен­ ную роль в распределении тормозной силы между опорами и обес­ печивает частичную ее передачу на насыпи подходов [5, 103]. Одна­ ко в условиях динамического воздействия сейсмических сил роль

мостового полотна может оказаться менее эффективной; при боль­ ших и средних пролетах непрерывность рельсов нарушается урав­ нительными приборами.

По этим причинам в данном случае указанный фактор не сле­ дует учитывать.

На основе вышесказанного при исследовании продольных коле­ баний балочных мостов первой группы, имеющих опорные части с малым трением, динамическая расчетная схема может быть рас­ членена на самостоятельные части, каждая из которых состоит из отдельной опоры вместе с неподвижно опертыми на нее пролетны­ ми строениями (см. рис. VI 1.1). При этом предполагается, что под­ вижной конец пролетных строений свободно опирается на непод­ вижное основание, не участвующее в колебаниях. Каждая из ука­ занных частей расчетной схемы, рассматриваемая самостоятельно, является линейной колебательной системой обычного типа и к ней непосредственно применим расчетный аппарат, изложенный в

§ 11.1, 11.2.

Практически отпадает также проблема учета неспнхрониости колебаний оснований под отдельными опорами.

Вмостах второй группы, имеющих подвижные опорные части

сзначительным трением, преодоление сил трения в процессе сейс­ мических колебаний возможно только в редких случаях при силе землетрясения в 9 баллов. Поэтому указанные выше упрощения

задачи к ним не применимы.

Однако к этой группе относятся мосты малых пролетов, имею­ щие, как правило, опоры небольшой высоты.

Ввиду большой жесткости периоды продольных колебаний таких мостов обычно расположены в диапазоне Т< 0 ,3 —0,35 сек, где ко­ эффициенты динамичности р по спектральной кривой наших норм постоянны (см. рис. VI.2).

Точное определение собственных периодов и форм в дампом случае не столь важно, да и сами сейсмические силы при малой вы­ соте опор играют меньшую роль. Поэтому допустимо применение приближенных приемов расчета. Они непосредственно изложены в гл VII.

Рассмотрим теперь продольные колебания мостов при наличии временной нагрузки (подвижного состава железных дорог или ко­ лонн автомобилей) на пролетных строениях. Здесь вопрос значи­ тельно осложняется вследствие возможности «проскальзывания» временной нагрузки по проезжей части в процессе сейсмических колебаний. Суть явления такова: временная нагрузка не связана с мостом жесткой связью. Ее взаимодействие с пролетным строени­ ем при продольных колебаниях обусловлено наличием сил сцепле­ ния между колесами и рельсом или проезжей частью '. При интен-

1 При загружеиии колоннами автомобилей это относится и к поперечным коле­ баниям моста. Для железнодорожного подвижного состава ограничивающую роль при поперечных сейсмических колебаниях играют, как было указано в § П.З, ре­ борды колес. Виляние подвижного состава [15] при сейсмическом воздействии можно не учитывать.

66

снвных колебаниях возможно нарушение связи между мостом и временной нагрузкой. В те интервалы времени, когда инерционные силы от веса подвижного состава или автомобиля превышают ве­ личину сил сцепления, временная нагрузка скользит по сооруже­ нию. Возможны также изменения скорости движения подвижного состава за счет колебаний сооружения. Очевидно, эти явления не могут быть учтены в рамках обычной методики исследования сейс­ мических колебаний и требуют разработки особого расчетного аппарата.

Предварительные исследования показали, что в точной поста­ новке эта задача носит очень сложный характер. Она связана с рассмотрением нелинейных колебаний нестационарных систем особого типа, структура 'которых изменяется в процессе воздей­ ствия.

Исследования в этом направлении только начаты и ввиду тру­ доемкости расчетов подробных результатов, по-видимому, нельзя ждать в ближайшее время. Поэтому практическая расчетная мето­ дика должна базироваться на приближенной оценке роли указан­ ных явлений.

С целью выявления возможности проскальзывания нужно со­ поставить силы инерции от временной нагрузки с силой ее сцепле­ ния с проезжей частью моста. Сила сцепления выражается фор­ мулой

где Qd— вес временной нагрузки; /с — коэффициент сцепления. Наибольшая сейсмическая сила от веса временной нагрузки возникает при полном отсутствии проскальзывания. Эту силу можно определить из рассмотрения обычной задачи продольных

колебаний.

Для предварительных подсчетов будем учитывать колебания только по первой (основной) форме, что дает очень малую погрешность (см. гл. VII). Тогда по формуле (П.31) метода спектральных кривых сейсмическая сила от веса временной нагрузки выразится так:

Коэффициенты динамичности р по спектральной кривой наших

коэффициент продольного сцепления в нормальных условиях имеет

§ 11.5. СЕЙСМИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ РАМНЫХ, АРОЧНЫХ И ВИСЯЧИХ

МОСТОВ

С учетом динамического взаимодействия пролетных строений и опор сейсмические колебания рамных, арочных и висячих мостов, а также рамно-консольных и арочно-консольных систем исследо­ ваны в очень малой степени. Мы можем привести только некото­ рые данные и соображения, служащие основой практической рас­ четной методики.

Сейсмические колебания рамных мостов по своему характеру аналогичны колебаниям балочных неразрезных мостов. Для иссле­ дования поперечных колебаний полностью можно использовать расчетный аппарат, изложенный в § II.3. В случае необходимости

вего рамках нетрудно учесть дополнительные крутящие моменты

встойках опор, возникающие вследствие жесткой связи их с про­

летным строением.

Рамные мосты, путепроводы и эстакады малых и средних про­ летов по длине обычно разделены деформационными швами на отсеки протяженностью 40—50 м. Поэтому несинхронность колеба­ ния оснований их опор не играет существенной роли и для опреде­ ления продольных сейсмических сил также можно использовать методику, принятую для балочных мостов. В этом отношении слож­ нее расчет рамных мостов больших пролетов. В ряде случаев здесь нужно учесть дополнительные усилия от несинхронное™ колебания оснований опор.

Горизонтальные и пространственные колебания арочных мостов с ездой по середине и по верху, как сложнейших колебательных систем, трудно поддаются теоретическому анализу. Пространст­ венные (поперечные) колебания распорных арочных пролетных строений рассмотрены в ряде работ Н. Г. Бондаря, Г. Н. Яковлева, Е. В. Дорошенко. Теоретичски исследованы периоды и формы про­ странственных колебаний, вынужденные колебания, вызванные влиянием временной нагрузки; параллельно проводились эксперщ ментальные исследования в натуре и на моделях, в том числе на крупноразмерной модели железобетонного арочного моста [14, 15, 165].

Однако в этих исследованиях не учитывалось динамическое взаимодействие пролетных строений с опорами. Специальные ис­ пытания моделей арочных мостов, проведенные для исследования совместных поперечных колебаний арочных пролетных строений и их опор, описаны в § III.5.

Указанные исследования далеко не охватывают всех вопросов сейсмических колебаний арочных мостов. Поэтому практические расчетные рекомендации в этой части, данные в гл. VII, носят при­ ближенный характер и будут уточняться в дальнейшем.

Характерные особенности висячих мостов — большие пролеты, значительная деформативность в вертикальном и горизонтальном (поперечном) направлениях, относительно слабое поглощение энер­ гии — обусловливают их повышенную чувствительность к динами­

69