книги из ГПНТБ / Морозов, В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач-1

а)

6)

Рис. VIII.6. Изменение поперечной жесткости по длине пролет­ ного строения:

а — участки постоянного сечення; б — фактическая эпюра моментов инерции; в — расчетная эпюра

Моменты инерции поперечных сечений отдельных участков пролетного строения относительно центральной вертикальной оси, подсчитанные вышеуказанным способом, имеют следующие вели­ чины:

Изменение моментов инерции по длине пролетного строения изо­ бражено на рис. VIII.6, б. Как видим, моменты инерции участков 1 и 2, а также участков 3 и 4 незначительно отличаются друг от дру­ га. Поэтому указанные участки объединены попарно и для них при­ няты средние значения моментов инерции, что дает погрешность в пределах 5%. Кроме этого, для упрощения дальнейших расчетов граница между участками 2 и 3 переносится на 1,35 м в сторону средней опоры с тем, чтобы она совпала с точкой приложения со­ средоточенного груза. Таким образом, в расчете пролетное строе­ ние рассмотрено состоящим из трех участков постоянного сечения (на половине длины) с моментами инерции Iо, Ii, /ц. Принятая в расчете эпюра изменения моментов инерции по длине пролетного строения приведена на рис. VIII.6, в.

221

Расчетные моменты инерции в лг4 и долях Iо имеют следующие значения:

Е = 3 500 000 Т/м2— модуль упругости 'бетона марки 400.

Жесткости сечений опор определены по их проектным размерам (см. рис. VIII.4). Столбы опор в поперечном направлении не связа­ ны друг с другом и работают независимо. Моменты инерции /п, /в верхнего и нижнего сечений двух столбов относительно центральной оси, параллельной оси моста, соответственно равны 5, 9 и 10,4 м4.

Эти величины приводим к бетону марки 400 (путем умножения на отношение модулей упругости бетонов марок 300 и 400) и выра­ жаем в долях момента инерции /о пролетного строения. Оконча­ тельно будем иметь:

Жесткости верхнего и нижнего сечений опор в поперечном на­ правлении соответственно равны E Iв и Е1п.

У п р о щ е н и е д и н а м и ч е с ко й расчетной схем ы с учетом усл о ви й с и м м е тр и и . О пределение л и ш н е й неизвестной . При вычислении сил инерции поперечного направления ввиду симметрии системы доста-

а} -*|А л - А

Рис. VI11.7. Упрощенная динамическая расчетная схема:

а — фасад; б — план

222

Масса, укрепленная по оси симметрии, делится пополам, т. е. при­ нимаем т ц = 0,545т1 (см. табл. V III.1). Число степеней свободы рассматриваемой схемы /г = 14. В отношении симметричных форм собственных колебаний эта расчетная схема динамически эквива­ лентна исходной, приведенной на рис. VIII.2.

Принятая расчетная схема в статическом отношении является однажды статически неопределимой системой. В качестве лишней неизвестной удобно принять горизонтальную силу R взаимодейст­ вия между пролетным строением и промежуточной опорой. Основ­ ная система, полученная в результате устранения связи между указанными элементами, приведена на рис. VIII.8; там же показа­ ны положительные направления перемещений и сил.

Для определения единичных перемещений расчетной схемы предварительно строим линию влияния лишней неизвестной; в каче­ стве внешней нагрузки принимаем горизонтальную единичную силу Р = 1, прикладываемую последовательно в точках прикрепления со­ средоточенных грузов (рис. VIII.8). Ординаты линии влияния лиш­

Указанные перемещения определяем с учетом только изгибных деформаций. Схемы для вычисления изгибающих моментов от еди­ ничных сил Р, R приведены на рис. VIII.9, VIII. 10.

При расположении единичной силы в пределах пролетного стро­ ения (£ = 1 — 11) его реакции равны А = Р —1, В = 0 и для изгибаю-

* Физически эти перемещения представляют собой расхождение точки 6 про­ летного строения и верхней точки опоры.

223

щих моментов в сечениях пролетного строения имеем формулы

где а* — расстояние силы Р = 1 от левой опоры. Координату х так­ же отсчитывают от левой опоры; M r совпадает с Мр при k = 6.

Единичные эпюры МР, построенные вышеуказанным способом при расположении силы Я = 1 в точках 1—И , приведены нэ

224

Мора. Интеграл записываем только в пределах длины пролетного

где х5, хс, ха, Ху, хц — границы участков с постоянной жесткостью (см. рис. VIII.9). Моменты инерции Iо, /г, /ц были приведены выше.

Указанные интегралы вычисляем способом Верещагина (пере­

При расположении единичной силы в пределах высоты опоры (точки k = 12, 13,14) пролетное строение не деформируется и момен­ ты Мр в нем равны нулю. Эпюры моментов Мр, MR для опоры пока­ заны на рис. VIII.10. Единичные перемещения от внешней силы определяются формулой Максвелла — Мора:

2 2 5

226

Рис. V III . 12. Линия влияния лишней неизвестной

Вторую часть перемещения Sw вычисляем по формуле (VIII.2) при Xh= 0; учитывая противоположные положительные направле­ ния сил Р и R по рис. V III.10, результат следует принять с обрат­

ным знаком. Будем иметь Д708я/? — 126 218. Тогда окончательно

E I $ r r = 97 748 + 126 218 = 223 966.

Далее непосредственно вычисляем ординаты линии влияния лишней неизвестной по формуле (VIII.1). Результаты приведены в табл. VIII.2. Линия влияния R графически изображена на рис. V III.12.

О пределение е д и н и ч н ы х перем ещ ений расче тно й схем ы . Для вычисления периодов и форм собственных колебаний предваритель­ но нужно определить единичные перемещения принятой расчетной схемы для точек k прикрепления сосредоточенных грузов. Их вычис­ ляют по формуле

о — единичные перемещения для основной системы от силы Р = 1 ; Rh — значения лишней неизвестной при^диничной силе Р в точке /г.

Л

228

14) вычисляем по форму­ ле приложения I. Учиты­ вая соотношение между /и и /о и значение 1/1—с —

= 2,325, по формуле (3)

получим

£/0ifvft= 3 3 4 600 X

X { — 1,9183 + 0,7557 X

X^ - 2 , 3 2 5 - ^ - X

кк

+ 3’080 7 ( + + Т ) +

Значения Rk принимаем по табл. VIII.2.

Результаты вычислений по формулам (VIII.3) — (VIII.5) приве­ дены в табл. VIII.3 *.

В ней даются значения £706уй. Учитывая симметричность матри­ цы единичных перемещений (6й, = 8„ й), в таблице даны перемеще­

* Эти вычисления весьма трудоемки. Все приведенные выше вычисления еди­ ничных перемещений могут быть выполнены на ЭЦВМ с помощью стандартных программ для расчета стержневых систем.

2 2 9

упругие линии прогибов пролетного строения и опоры системы, изо­ браженной на рис. VIII.7 от силы Р = 1, расположенной в точках v. Их можно рассматривать так же, как упругие линии исходной сис­ темы (рис. VIII.2) от двух сил Р = 1, расположенных в точках v симметрично относительно середины пролета.

Общее очертание упругих линий, приведенных на рис. VIII. 13, соответствует физической картине деформирования моста в попе­ речном направлении, а их плавность свидетельствует о правильно­ сти вычисления единичных перемещений.

Определение периодов и форм собственных поперечных колеба­

ний. Для определения периодов и форм собственных колебаний вычисляем собственные числа Хг и координаты собственных векто­ ров Xik матрицы вида

[ /72A 8 vft] 1 ,

Определение собственных чисел и координат собственных векто­ ров произведено с помощью ЭЦВМ «Раздан-2» по программе опре­ деления сейсмических нагрузок по матрицам единичных перемеще­ ний и масс, которая скорректирована Тбилисским зональным науч­ но-исследовательским институтом типового и экспериментального проектирования жилых и общественных зданий (ТбилЗНИИЭП) *.

Исходная информация для вычислений на машине была пред­ ставлена в виде матрицы-столбца масс в Т~1 сек2 н матрицы еди­

Машиной были определены первые три собственные числа: А,|, Х% Хз и координаты соответствующих собственных векторов X ih, X2h, Xah (k — l, 2, ..., 14). Напомним, что они соответствуют сим­ метричным формам собственных колебаний исходной расчетной схемы (см. рис. VIII.2).

* Вышеуказанная программа требует, чтобы точки системы были занумерова­ ны по условию б11<622 < 6пп. Для этого в ходе вычислений была введена но­ вая временная нумерация точек, которую мы здесь не приводим. При других про­ граммах указанное условие не обязательно.

230

Координаты собственных векторов, вычисленные машиной, при­ ведены в табл. VIII.5. Они определяют формы собственных колеба­

231