книги из ГПНТБ / Морозов, В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач-1

где т, Q — масса и груз системы, б — единичное гори­ зонтальное смещение точки их прикрепления.

Для системы с двумя степенями свободы (рис. VI.3) из (VI.3) получаем квадратное уравнение, корни которого определяются вы­ ражением

Согласно уравнениям (VI.4), амплитудные коэффициенты мож­ но записать так:

/7^2^12

Для сокращения вычислений можно использовать вспомогатель­ ные графики [2]. С их помощью собственные периоды и амплитуд­ ные коэффициенты выражаются формулами:

^2^12

Здесь ер,, йг2 — безразмерные множители, определяемые по графикам рис. VI.4 в зависимости от следующих параметров системы:

Графики -составлены в предположении, -что нумерация точек си­ стемы удовлетворяет условию m2622</'^i6iь что всегда возможно.

При числе степеней свободы /г = 3 желательно (а при п> 3 необ­ ходимо) прибегнуть к вычислениям на ЭЦВМ. Для этого исполь­ зуют стандартные программы определения собственных чисел и координат собственных векторов квадратных матриц, которые поз­ воляют непосредственно получать искомые величины [114, 129].

Рис. YI.4. Графики для определения периодов и форм колебании системы с двумя степенями свободы

Формы собственных колебаний обычно нормируют, т. е. опреде­ ляют произвольный множитель С амплитудных коэффициентов по

какому-либо условию, Например, используются условия

П

АТЛ= 1 или ^ Qj.A’b = 1; в последнем случае упрощаются выра- *=i

жения (11.32) для коэффициентов формы.

Для проверки правильности вычисления амплитудных коэффи­ циентов можно использовать условия ортогональности (11.23). Вследствие неизбежной неточности расчетов эти условия удовлет­ воряются лишь приближенно, однако для каждой пары индексов

с суммой У, Qk \XikX jk\.

к=1

В предыдущем параграфе было отмечено, что в некоторых слу­ чаях достаточно определять только основную (первую) форму и соответствующий период Т\. Их можно вычислить без применения ЭЦВМ с помощью метода последовательных приближений [6, 44] или метода спектральной функции [51]. Такие расчеты выполняют на механических или электрических арифмометрах. Приближенные значения основного периода и формы можно получить на основе энергетического метода [44, 51]. Последовательность вычислений такова: сосредоточенные грузы Qk прикладывают к расчетной схе­ ме в горизонтальном направлении и определяют смещения точек /е от этой нагрузки:

v=l

1G2

Эти смещения принимают за приближенные значения ординат формы основного колебания (yit = X\и)- Период основного тона оп­ ределяется по формуле энергетического метода:

Следует иметь в виду, что фактические деформативные свойства сооружения и его основания в расчетах всегда отражаются с из­ вестной долей приближения, что вносит погрешность в вычисления собственных периодов. Поэтому рекомендуется оценивать порядок величины собственных периодов, полученных в результате расчета, по данным натурных испытаний аналогичных сооружений Некото­ рые такие данные приведены в гл. III.

§ VI.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СЕЙСМИЧЕСКОГО ДАВЛЕНИЯ ГРУНТА И ВОДЫ

Сейсмическое давление грунта на подпорные сооружения явля­ ется предметом многочисленных исследований. Мы не имеем воз­

В общем случае сейсмическое давление грунта—-результат ди­ намического -взаимодействия подпорного сооружения и грунтовой засыпки. Интенсивность и распределение давления должны зави­ сеть от сейсмических колебаний самого сооружения. В такой поста­ новке исследование сопряжено с большими трудностями. Обычно рассматривают два крайних случая, соответствующие податливому и иесмещающемуся (абсолютно жесткому) сооружениям (прегра­ дам). В первом случае предполагается, что сооружение испытывает значительные смещения, приводящие к образованию поверхностей скольжения -в грунте. Тогда исследуют предельное равновесие сы­ пучей -среды с учетом дополнительного влияния объемных инерци­ онных сил. Для идеальной сыпучей среды может быть использова­ но решение Кулона. Расчетные формулы, полученные таким обра­ зом, в упрощенном -виде были представлены Ш. Г. Напетваридзе [93]. Активное и пассивное давления грунта при сейсмическом воз­ действии по этим формулам выражаются соответственно следую­ щим образом:

£ (oac>= (l+ 2 /C ctg<p)£(a); 4 c ) = ( l - 2 / T ct g ? ) f ° ,), . (VI. 12)

где Е&\ £<п) — активное и пассивное давление грунта при отсутстствии сейсмического воздействия; ср — угол внутреннего трения грунта; Кс — коэффициент сейсмичности (см. § VI.2).

Рис. VI.5. Схемы к определению сейсмического давления грунта на абсолютно жесткую опору

Сейсмическое (инерционное) давление грунта на несмегцающуюся преграду (второй крайний случай) было исследовано А. В. Рухадзе [118, 119]*. Им использованы формулы для опреде­ ления напряженного состояния сыпучей среды, основанные на мето­ де предельного равновесия. Решение, полученное численными мето­ дами, табулировано. Эпюры давления на ограду представлены прос­ тыми аппроксимирующими выражениями. Ниже даются оконча­ тельные расчетные формулы.

Сейсмическое (дополнительное) активное горизонтальное дав­ ление от веса засыпки с горизонтальной поверхностью на верти­ кальную ограждающую стену показано на рис. VI. 5, а. Интенсив­ ность давления

Равнодействующая давления на единицу ширины стены

Плечо равнодействующей давления от основания стены

Сейсмическое давление от веса вертикальной нагрузки на поверхности засыпки, сосредоточенной в направлении поперек стены и равномерно распределенной вдоль ее длины (рис. VI. 5, б):

* Расчеты выполнены в Институте строительной механики и сейсмостойкости АН Грузинской ССР под руководством проф. Ш. Г. Напетваридзе.

164

Сейсмическое давление от веса вертикальной нагрузки, равно­ мерно распределенной по поверхности засьгпки (рис. VI.5, в):

Обращаем внимание на то, что по приведенным формулам это дав-

165

давлений, приведенных на рис. VI.5, качественно подтверждены результатами ряда опытов1. Для количественной оценки сопоста­ вим статическое и сейсмическое давления грунта по указанным формулам. Рассмотрим случай засыпки с незагруженной горизон­ тальной поверхностью (см. рис. VI.5, а). Статическое давление в этом случае равно:

f = J - t g = ( 45 "— |-)Тг№.

По первой из формул (VI.12) активное сейсмическое (дополни­ тельное) давление можно представить так:

E c= K eig<?tg2 ( 4 5 ° - ^ - ) у Л 2-

Формулу (VI. 14) используем непосредственно. Значения давле­ ний грунта, определенные по этим формулам, приведены в табл. VI. 1. Там же даны отношения Е С!Е.

1 По формуле (VI.12) очертание эпюры давления такое же, как при статике, что не отвечает опытным данным.

166

Как видно из табл. VI. 1, сейсмическое давление грунта на жест­ кую преграду (по формуле VI. 14) значительно больше, чем на по­ датливую стенку (формула VI.12). Это соответствует закономерно­ стям статической задачи, где «бытовое» («натуральное») давление на жесткую преграду также превышает давление предельного рав­ новесия при смещении стены [71]. Однако количественные результа­ ты по формуле. (VI. 12) представляются заниженными. Действи­ тельно, таблица показывает, что сейсмическое давление, определен­ ное по этой формуле при обычных углах внутреннего трения грунта (30—35°), даже при силе землетрясения 9 баллов не превышает 15% статического давления. Это не соответствует наблюдаемым фактам разрушения подпорных сооружений при землетрясениях

(см. гл. I).

Формула (VI.14) при тех же условиях дает увеличение давления грунта при сейсмическом воздействии до 45—55%, что объясняет наблюдаемые сейсмические повреждения. Нужно также отметить, что результаты расчета по этой формуле лучше согласуются с дан­ ными модельных испытаний сейсмической устойчивости устоев мос­ тов, приведенными в § II 1.6.

На основе указанных соображений мы считаем, что при расче­ тах дорожных сооружений горизонтальное сейсмическое (активное) давление грунта следует определять по формулам (VI. 13) — (VI.25). Такая рекомендация принята в Методическом руководст­ ве [86].

При практическом использовании указанных формул нужно иметь в виду, что они определяют непосредственно расчетное значе­ ние сейсмического давления. Согласно указаниям, приведенным в § VI. 1, для объемного веса грунта в формулах нужно принимать нормативные значения (у г = угп). Несколько сложнее в отношении угла внутреннего трения грунта. Согласно Указаниям [144], при расчете подпорных стен статическое давление определяют по нор­ мативному углу внутреннего трения грунта (ф = фн). Этой рекомен­ дации нужно придерживаться и при определении сейсмического давления на подпорные стены. Для устоев мостов Технические условия [145] предписывают при вычислении расчетного статиче­ ского давления грунта наряду с коэффициентом перегрузки вво­ дить расчетный угол внутреннего трения ср = фн—5° (для активного давления). Такая рекомендация не вполне логична, так как одно­ временное увеличение объемного веса и уменьшение угла внутрен­ него трения грунта по сравнению с нормативными значениями весьма маловероятно. Однако независимо от обоснованности ука­ занное требование приводит к повышению гарантии безопасности сооружения. Учитывая ответственную роль устоев мостов, это сле­ дует одобрить. Поэтому при расчете устоев в формулах (VI. 13) — (VI.25) рекомендуется принимать расчетное значение угла внутрен­ него трения.

Формулы (VI. 13) — (VI.25) можно применять и при наклонной напорной грани сооружения. Для углов наклона грани до ±10° к вертикали формулы дают приемлемую точность.

167

рассматривают также другой вид воздейст­ вия, обусловленный сейсмическим напряженным состоянием грун­ товой среды [31, 93]. Оно представлено контактными напряжениями, развивающимися на гранях сооружения при воздействии сейсмиче­ ских волн различного типа. Эта задача рассмотрена Ш. Г. Напетваридзе.

В предположении, что плоская сейсмическая волна носит стационарный гармонический характер, им получены приближен­ ные формулы [31] для определения максимальных сейсмических на­ пряжений растяжения-сжатия аГр и сдвига Тгр в грунтовой среде:

где С], Сг — скорости распространения соответственно продольных и поперечных сейсмических волн в грунте; Т0— преобладающий период изменения скорости сейсмических колебаний. Остальные обозначения даны выше.

Скорости С), С2 и период Т0 рекомендуется принимать по дан­ ным инженерно-сейсмологических полевых исследований грунтов. При отсутствии таковых разрешается принимать скорости по спра­ вочным данным [85, 139] и считать Го= 0,5 сек.

Сейсмическая нагрузка на поверхности подземных сооружений, вызванная напряжениями агр, тгр, должна определяться с учетом условий взаимодействия сооружения с грунтовой средой (дифрак­ ционных явлений). Совместно с инерционным давлением грунта, рассмотренным выше, эта нагрузка не учитывается [31].

Сейсмическое давление воды на опоры мостов нужно определять при меженном горизонте реки. Его следует учитывать в тех случа­ ях, когда глубина воды у данной опоры (от уровня меженного го­ ризонта до поверхности грунта без учета воронки местного размы­ ва) превышает 5 м. Для вычисления давления можно использовать приближенные формулы, приведенные в Указаниях [154] и Методи­ ческом руководстве [86]. Расчетное сейсмическое (горизонтальное) давление воды на вертикальную напорную грань опоры постоянной

168

Г л а в а

VII

РАСЧЕТЫ МОСТОВ, ТОННЕЛЕЙ И ПОДПОРНЫХ СТЕН

§ V II.1. РАСЧЕТЫ БАЛОЧНЫХ МОСТОВ НА ПРОДОЛЬНЫЕ СЕЙСМИЧЕСКИЕ

НАГРУЗКИ

Обоснование динамических расчетных схем балочных мостов для определения продольных сейсмических сил было дано в § 11.4. Здесь мы рассмотрим расчеты по наиболее часто применяемым на практике дискретным расчетным схемам. Вопросы использования схем с распределенными параметрами освещены в § VII.5.

Начнем с простейшего случая разрезных балочных мостов. Ха­ рактер расчетных схем зависит от типа подвижных опорных час­ тей. Сообразно с этим независимо рассмотрим расчеты для двух групп мостов'.

I. Балочные мосты с пролетными строениями, имеющими под­ вижные опорные части с малым коэффициентом трения. В эту груп­ пу входят мосты средних и больших пролетов, имеющие опорные части каткового, секторного и валкового типа. Отдельные части таких мостов, разделенные подвижными опнраниями пролетных

Рис. V II.1. Схемы отдельных частей моста, рассматриваемых как самостоятельные колебательные системы

1 Расчеты мостов с резиновыми опорными частями рассмотрены в § VI 1.2.

170