книги из ГПНТБ / Бушмелев, В. А. Процессы и аппараты целлюлозно-бумажного производства учебник

Из уравнений (1-33) получаем: /„ — С ,І0; /х = C,LX и т. п. Под­ ставив эти значения в выражения (1-34), получим:

Аналогичные решения можно получить и для других физических ве­ личин. Таким образом, в подобных системах инварианты подобия имеют одно и то же численное значение (слово инвариантность соот­ ветствует слову неизменность, инвариант означает «одно и то же»).

Инвариант подобия может представлять и отношение произведений нескольких разноименных величин. Такой инвариант называется кри­ терием подобия. Инвариант, представляющий отношение двух одно­ именных величин, чаще называют симплексом подобия. Критерии и симплексы подобия — величины безразмерные.

Равенства инвариантов или критериев подобия в системах — это лишь необходимое, но недостаточное условие подобия. Дополнительно нужно, чтобы состояние систем было подобно на их границах и в на­ чальный период времени. Это дополнительное условие называют по­ добием начальных и граничных условий. Таким образом, необходимым и достаточным условием физического подобия систем является равенство их критериев подобия и подобие начальных и граничных условий.

Критерии гидродинамического подобия

Критерии гидродинамического подобия могут быть получены ме­ тодом подобного преобразования уравнения Навье—Стокса или пу­

Слагаемые этого уравнения безразмерны и из них можно получить критерии подобия. Для этого нужно вычеркнуть символы дифферен­ цирования и все линейные размеры привести к характерной для дан­ ной задачи одной линейной величине. В данном случае берем х =

= 2 = /.

Из первого слагаемого получаем обратную величину критерия

= Ей — критерий Эйлера, характеризующий меру отношения сил давления в потоке к инерционным силам. Значительно больший интерес

27

чаще представляет не величина давления в точке потока, а перепад давлений Ар, возникающий при перемещении жидкости от одного сечения потока к другому. Тогда критерий Эйлера будет равен

Ей = — .

ри2

Следующее слагаемое безразмерного уравнения дает комплекс

^ —— — величину, обратную критерию Рейнольдса. Критерий

Re = ^ характеризует меру отношения сил инерции потока к силам,

вязкости.

В практических расчетах применяются также различные сочета­

ния полученных критериев. Отношение = ^ E l = G a— критерий

Галилея. Он характерен тем, что в него не входит скорость дви­ жения. Величина его зависит от физических и линейных характери­ стик системы.

Если движение в жидкости происходит за счет разности плотностей Рі и р (например, при отстаивании), то такое движение характеризует критерий Архимеда:

Ar = Ga-^-= -^ gL3Р (Рі — Р)

Р

Довольно часто в число определяющих критериев включают также геометрический симплекс Г, равный отношению характерных линей­ ных величин. Применяются также и некоторые другие критерии, о которых будет сообщено при рассмотрении конкретных процессов.

Вывод критериев подобия методом анализа размерностей основан на том, что критерий — величина безразмерная. Если известны физиче­ ские и линейные величины, от которых зависит процесс, то соответст­ вующим сочетанием этих величин можно получить безразмерные ком­ плексы, которые и будут критериями подобия. Способ сочетания ос­ нован на анализе размерностей величин, отсюда и название метода.

Допустим, что процесс определяется следующими величинами: V м/сек, р кг/м3, р н-сек/м2, I м, Ар н/м2. Если этим величинам подо­ брать некоторые степени х г, х 2, . . ., хъ так, чтобы произведение сте-

•пеней указанных величин я было безразмерным, то комплекс я будет критерием подобия. В общем виде он равен

Размерность [я] = 1 или [п]Аі [р]Хй [р]Аз [/]*' [Ар]А= = 1. Под­ ставив размерности величин и заменив силу в ньютонах на кг-м/сек2, получим

[м]Хі~ЪхА'~ Хг' Хі Хй[кг]Х2+Хз+Х!>[сек] х‘ Xü 2х* = 1.

28

Это соотношение справедливо только тогда, когда степени рдвны нулю, т. е.

Хі—Зх2—х34-х,х—х5 = 0

При большем числе неизвестных в системе (1-36) расчеты прово­ дятся аналогично. При этом можно видеть следующую закономерность: число уравнений в системе (1-36) равно числу основных размерностей, т. е. трем, число неизвестных Хх, х2, . . ., хп — числу характеристик п, от которых зависит процесс, а количество критериев N = п—3.

Критериальные уравнения

Все полученные критерии подразделяются на две разные группы. Один из критериев, содержащий искомую величину, называется иско­ мым критерием. В гидромеханических процессах искомым критерием чаще всего бывает критерий Эйлера, а искомой величиной — перепад давлений, или гидравлические сопротивления системы, Ар. Осталь­ ные критерии относятся к группе определяющих критериев.

После получения искомого и определяющих критериев для данного конкретного процесса необходимо вывести критериальное уравнение, которым можно было бы пользоваться при решении практических за­

29

дач. Для этого нужно провести эксперимент, а экспериментальные данные обработать в критериальной форме. Например, критериаль­ ное уравнение для критериев Ей, Fr, Re, Г имеет вид:

он заполнен целлюлозной массой. Избыточное давление в сосуде над массой

1,5 am. Плотность массы 1042 кг/м3.

Р е ш е н и е . По формуле (1-32) получаем р = 1,5-9,81-101+ 9,81-1042-16 = 31-10'1 н, или 3,16 апг.

Здесь 9,81-104 — коэффициент перевода давления из атмосфер в ньютоны (см. табл. 1).

30

Пример 5. В данном сечении трубопровода, диаметр которого dx = 100 мм,

Данные подставим в уравнение Бернулли (1-28):

откуда z2 — 14,6 м.

Глава 2. ЧАСТНЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРОДИНАМИКИ

При расчете гидродинамических процессов целлюлозно-бумаж­ ного производства чаще всего приходится встречаться с задачами определения гидравлических сопротивлений, с псевдоожижением зер­ нистого и других материалов, истечением жидкостей и определением их расхода.

ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ

Движение ньютоновских жидкостей по трубопроводам

Правильный учет потерь напора при движении жидкостей и газов по трубопроводам очень важен при подборе насосов и вентиляторов. При равномерном движении потери напора обусловливаются трением жидкости о стенки трубы, взаимным трением слоев и местными сопро­ тивлениями.

Режимы движения ньютоновских жидкостей

Существуют ламинарный и турбулентный режимы движения. При медленном движении жидкости в прямолинейном трубопроводе с не­ большим диаметром течение будет параллельно-струйным, или лами­ нарным', иначе оно называется слоистым, или вязким. Такое движение характерно тем, что слои жидкости скользят один по другому, не пе­ ремешиваясь. При установившемся движении скорость жидкости по­ стоянна в каждой точке слоя.

С увеличением скорости движения в отдельных слоях образуются вихри и слои жидкости перемешиваются. При этом поток в целом мо­ жет быть и стационарным, но скорости в каждой точке сечения ко­ леблются около некоторого среднего ее значения. Такое движение называется турбулентным, или вихревым.

Ламинарный режим движения характеризуется параболическим профилем распределения скоростей (см. рис. 1-2). Средняя скорость ѵ в потоке равна половине максимальной, т. е. ѵ = 0,5ѵтах. Распреде­ ление скоростей при турбулентном режиме характеризуется также параболой (рис. 2-1), но с более плоской вершиной. Средняя скорость V = (0,8 -ь- 0,9) ѵпшх. При этом вблизи стенки образуется ламинарная

31

пленка, в которой наблюдается наибольший градиент скорости. Это говорил; о том, что действие сил вязкости еще в большей степени, чем при ламинарном движении, сосредоточено в пограничной пленке. В ядре жидкости действие сил вязкости невелико, этим и объясняется наличие более затупленной вершины параболы распределения скоростей.

Количественной характеристикой режима движения является кри­

Преобразуем эту формулу в более удобную. Для этого числитель и знаменатель правой части умножим на удвоенное число Рейнольдса:

32

висящая от формы живого сечения потока (берется из справочников). Поскольку Др = рghT (где hT— потеря на трение, выраженная в метрах столба жидкости), то после подстановки в уравнение (2-3)

получим

Как показывают уравнения (2-3) и (2-4), потеря напора на трение про­ порциональна коэффициенту трения X, отношению длины трубы к ее

эффициент трения является функцией числа Рейнольдса. Характерно, что и для любого другого вида движения жидкостей и газов коэффи­ циент сопротивления зависит также от числа Re.

Турбулентное движение. Потери напора на трение при турбулент­ ном движении определяются по той же формуле, что и при ламинар­ ном движении. Вся трудность при расчетах в этом случае состоит в оп­ ределении коэффициента трения. Найти его теоретически как функцию числа Re не удается, поэтому для каждого частного случая эта зави­ симость устанавливается опытным путем.

При движении жидкости по гладким трубам коэффициент трения равен

(lg Re -0,9)2

которая справедлива при Re>5000.

33

С увеличением шероховатости и загрязненности труб коэффициент трения увеличивается. В этом случае он будет зависеть не только от числа Re, но и от так называемой относительной шероховатости п, под которой понимают отношение величины выступов или углублений шероховатости к радиусу трубы. Зависимость X — f (Re, п) можно найти в любом справочнике по гидравлическим сопротивлениям. Од­ нако наиболее просто шероховатость труб может быть учтена с по­ мощью поправочных коэффициентов е, полученных опытным путем. Коэффициент трения для шероховатых труб равен

Потери лапора на местные сопротивления

Местными называются такие сопротивления, которые возникают при изменениях направления или сечения потока жидкости. Их вызы­ вают повороты труб, вентили, задвижки, различные дросселирующие устройства и т. п. Местные сопротивления определяются по формуле

Иногда местные сопротивления учитывают как потерю на трение в трубе с эквивалентной длиной L3KB. Под эквивалентной длиной по­ нимают длину условного прямолинейного трубопровода, потери на

Общие потери напора для участков трубопровода с постоянной скоростью движения равны сумме потерь на трение и на местные со­ противления:

34

Движение неньютоновских жидкостей

Из числа иеныотоновских жидкостей наибольший интерес пред­ ставляют волокнистые суспензии (древесная, целлюлозная и бумаж­ ная масса). В зависимости от скорости потока, кажущейся вязкости суспензии, ее плотности и диаметра трубы при движении волокнис­ тых суспензий можно выделить три характерных режима движения: ламинарный (или стержневой), переходный и турбулентный.

Рис. 2-2. Зависимость коэффициента трения при движении белой древесной массы по трубам от скорости движения, концентрации массы и диаметра трубы (по данным Гизе и Янке)

Профиль распределения скоростей при движении целлюлозной суспензии в ламинарном режиме показан на рис. 1-5. Характерно, что градиент скорости имеет место лишь в пристенном слое, который свободен от волокон. В центральной части потока, напоминающем движение стержня, практически нет градиента скорости, волокна пере­ плетаются, образуя сетчатую структуру, и движутся с одинаковой скоростью. Через сетку волокон происходит фильтрация жидкости.

С увеличением скорости течение в пристенном слое становится не­ стабильным и вокруг стержня целлюлозной массы образуется турбу­ лентный слой, что характерно для переходного режима. При дальней­ шем увеличении скорости стержень полностью разрушается и движе­ ние становится турбулентным. Профиль распределения скоростей

35

Рис. 2-3. Зависимость коэффициента трения при движении сульфитцеллюлозной массы по трубам от скорости, концентрации и диаметра трубы (по данным Гизе и Янке)

при этом аналогичен соответствующему профилю при турбулентном движении вязкой жидкости (рис. 2-1).

Количественной характеристикой режимов движения является критерий Re. Ламинарный режим существует при Re <2000, где ка­ жущаяся вязкость суспензии подставляется после определения ее по формуле (1-20). Турбулентный режим наблюдается при Re>3000, а переходный в пределах 2000< Re<3000. Поскольку пластичность 11 и критическое напряжение т0 для волокнистых суспензий не изу­ чены, коэффициенты сопротивления при их движении по трубам оп­ ределяют по эмпирическим данным. Подобные зависимости для дре­ весной и целлюлозной масс приведены на рис. 2-2, 2-3 и 2-4, которые

Рис. 2-5. Зависимость коэффициента трения при движении бумажной массы по трубам от ее скорости при концентрациях, %:

1 — 0 , 0 1 3 ; 2 — 0 , 1 0 3 ; 3 — 0 , 2 5 ; 4 — 0 , 3 4 5 ; 5 — 0 , 5 9 ; 6 - - 0 , 7 2 5 ; 7 — 0 , 9 9 ( д а н н ы е Ф о р г е с а ,

Р о б е р т с о н а и М е з о н а )

36