книги из ГПНТБ / Болотин, Б. И. Инженерные методы расчетов устойчивости судовых автоматизированных электростанций
.pdfa i = [( k - \ - 1) Т’к + ^ + М о . с) Т м ] X
(III.8 )
В соответствии с критерием Гурвида электромагнитный контур будет устойчив, если в характеристическом уравнении контура а0р3 -г ахр 2 + а2р + а3 = 0 будут выполнены следующие условия:
ц0 > 0 ; ах > 0 ; а2 > |
0 ; а3 > 0 ; |
(111.11) |
ахаг—a3az > |
0 . |
(111.12) |
Проанализируем эти условия. Коэффициент а0 [выражение (III.7)] всегда положителен. Коэффициенты а 1( а2, а3 [выражения (III.8 ), (ШЛО)] могут быть при определенных значениях параметров меньше нуля. Нетрудно заметить, что отрицательные слагаемые в этих выра жениях обусловлены действием положительной обратной связи по току с коэффициентом R t . Поэтому представляет интерес определить критические значения коэффициента при которых ах, а 2, а3 обра щаются в нуль, т. е. система выводится на границу устойчивости. Сравнивая затем полученные критические значения коэффициента R lt т. е. Ищи Riai> Ria3<можно установить то значение коэффициента, при котором будет одновременно выполняться условие (III. 11).
Необходимо заметить, что в системах регулирования возбуждения синхронного генератора с амплитудно-фазовым компаундированием значение коэффициента R x определяется двумя условиями:
—обеспечением постоянства напряжения при изменении нагрузки (внешняя характеристика генератора при этом астатическая);
—обеспечением установившегося тока короткого замыкания, обычно равного или большего трехкратного номинального тока гене ратора.
В первом случае значение коэффициента R\ с учетом потерь, за висящих от коэффициента k, может быть определено из выражения
откуда
R i — (!+& )• |
(III.13) |
Условие (III. 13) соответствует астатической внешней характери стике генератора.
80
Из второго условия значение коэффициента Ri, как правило,
должно быть больше Ri, вследствие чего внешняя характеристика генератора имеет отрицательный наклон (восходящая характери
стика). |
определим критическое значение коэффициента R la3, |
|
Вначале |
||
при котором |
свободный член кубического многочлена а3 = |
0 . |
Заметим, |
что при а 3< 0 имеет место апериодическое |
нарушение |
устойчивости контура (неустойчивость 1 -го рода «по сползанию»). Приравнивая нулю правую часть выражения (ШЛО) и решая его от носительно R lt получаем
Rla3~ kKk0_с + 1) + п. р2£<зо- (III.14)
При отсутствии отрицательных связей по напряжению возбужде ния и по реактивной мощности R la3 будет минимальным, равным
|
Rla3 min = (& + 1) Xd- |
|
(III.15) |
|
Определим далее критическое значение коэффициента R lt |
при ко |
|||
тором обращается в нуль коэффициент а 2. |
= 0 относительно R lt |
|||
Решая |
уравнение (III.9) |
при условии а 2 |
||
получим |
|
|
|
|
|
RlaZ = lxd Ф + |
1) Т к + xd №+ kifco. с) TdO+ |
|
|
+ |
{k + kKk0.c + l ) XdTdO+Kk6. n. p'2EQOTdo] Tdo+ Tk • |
(l n -16) |
||
При отсутствии отрицательных обратных связей k0. с = |
п. Р = О |
|||
критическое значение коэффициента R г уменьшится и станет равным |
||||
|
Rue = К (k + 1) Тк + xdkTdo+ xd ik + l)Tdo]x |
|
||
|
|
^do Iхd |
xd №+ 1)] |
(III.17) |
|
|
|
|
|
TdO+ Тк
Сравнивая выражения (III. 15) и (III. 17) можно заметить, что условие
(III. 17) является более жестким, так как 7?ia2 -<-Ria3 min, а при Тк -> 0 (т. е. при безынерционном корректоре напряжения) коэффи
циент Ria2 достигнет минимального значения:
R 1а2min — kxd4-(k-\-l)Xd. |
(III. 18) |
Определим теперь критическое значение коэффициента R lt при котором обращается в нуль коэффициент аг.
Приравнивая нулю правую часть выражения (III. 18) и решая его относительно R lt получим
= kxd+ ( k + l ) x d+ |
+ k°- ck/ doXd . |
(III.19) |
Особенностью коэффициента R i al является независимость его от параметров обратной связи по реактивной мощности. Следовательно,
4 Б. И. Болотин, В. Л, Вайнер |
81 |
улучшить устойчивость электромагнитного контура за счет связи по реактивной мощности в этом случае нельзя.
Сравнивая выражения (III.16) и (III.19), нетрудно заметить, что влияние инерционности корректора напряжения на коэффициенты
Rlai И R 1Я 1 различно.
При уменьшении Тк коэффициент R lal увеличивается и стремится к бесконечности, что способствует увеличению запаса устойчивости по критерию, связанному с коэффициентом аг. В то же время коэффи циент R la2 при Тк -- 0 стремится к конечному значению, определяе мому следующим выражением:
Rlai = (& + К^о. с) xd+ (k + К К c+ 1) Xd 4- K K n . p 2E q0. (111.20)
При увеличении Тк коэффициенты R lal и R lai стремятся к своим минимальным значениям, равным:
Rial m in -kxd + (k + V Xd’
Rlai min = xd (& + 1) = &xd+ xd-
уменьшаются и
(111.21)
(111.22)
Так как xd> ( k + l ) x 'd, то R ia2min> R laimin- Таким образом,
если при безынерционных корректорах напряжения определяющим является коэффициент R 1а2, то при инерционных корректорах опре деляющим будет коэффициент R lal.
Из выражений (III.16), (III.19), (III.21) также следует, что с ро стом Т к уменьшается влияние обратных связей и необходимое для обеспечения устойчивости критическое значение коэффициента R ± может быть получено при относительно больших значениях коэффи циентов kQ.с, k6. п. р и kK.
Рассмотрим далее второе условие Гурвица:
аха2 — а3а0 > 0 .
1см. выражение (III.12)].
Приравнивая левую часть выражения (III. 12) нулю, получим урав нение колебательной границы области устойчивости, которое после подстановки значений коэффициентов а 0 -г-а3 примет вид
{
+ K K c+ 1 + ~ К n. p |
(111.23) |
82
При безынерционных корректорах напряжения (Гк |
0) уравне |
||
ние (III.23) упрощается |
|
|
|
k + kyk0. с + (k kKk0. с + |
1) |
+ |
|
+ | ^ 6.n.p2£Qo ' - ^ |
= 0. |
|
(III.24) |
Из выражения (III.24) можно определить критическое значение ко эффициента R x, при котором система будет находиться на границе устойчивости
Км = Xd{k+ kA.c) + {k+ kA .c+l)X'd+ kA.u.V2EQ0• |
(III.25) |
||||||
Выражение |
(III.25) совпадает |
с выражением |
(III.20), т. |
е. |
при |
||
Т к 0 R { „ = |
R la2. |
|
|
|
|
|
|
При корректорах напряжения с большой |
инерционностью (Тк |
оо) |
|||||
уравнение (III.23) примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
kT d0+ ( k + l ) ^ T d0- |
RiT da |
( k + l ) - |
Ri |
= 0. |
|
|
|
|
|
xd |
|
Xd |
|
|
|
Откуда критическое значение коэффициента R x, при котором си стема находится на границе устойчивости, будет
п — kxd~\- (k -)-1 ) xd, |
(111.26) |
R X11 = X(l (k + 1 ). |
(111.27) |
Выражения (III.26) и (III.27) совпадают с выражениями (III.21) и
(III.22), t . |
e. |
при T K -*■ с о коэффициенты соответственно равны R\ п = |
||
~ Rial min> |
a |
Ri и — R la2min* |
Так как |
R la2 min > £ iai min, то опреде |
ляющим будет коэффициент £ ц ь |
|
|||
Таким образом, при Т к |
0 и Т к |
со оба условия Гурвица сов |
||
падают и, следовательно, все выводы, сделанные для первого условия (III. 11) аналогичны и для второго условия (III. 12).
Выполнение условий Гурвица обеспечивает устойчивость электро магнитного контура. При этом корни характеристического уравнения контура
аоР3 + <TiP2 + а ^ р + а з = 0 |
( I I 1.28) |
будут либо простые, либо комплексно сопряженные. В последнем слу чае устойчивость системы, в которую входит электромагнитный кон тур! в значительной степени определяется близостью частот собствен ных колебаний электромагнитного контура и других колебательных контуров, входящих в систему.
Определим частоту собственных колебаний электромагнитного контура о)0£.
4 *
83
Подставив в уравнение (III.28) значение р = /со, получим
—а0/ со3 —а1 со2 + а2/© + аз = 0 >
откуда
—а0/(оа + а2/о) = 0 ;
—ахсо3 + аз = 0 .
Следовательно, ©! = |
|
|
Так как на границе обла- |
сти устойчивости |
|
|
|
%а2 = |
а д » |
(III.29) |
|
то |
а1 |
|
|
Ч _ |
|
|
|
«2 |
а3 |
’ |
|
т. е. |
|
|
__ |
C01 = (02 = ( 0 |
( |
I |
I I . 3 0 ) |
Как показывают расчеты, в современных системах регулирования возбуждения с Гк - 0 , 1 — 0 , 8 с критическое значение коэффициента R lt определяемое из условий (III.29) и (111.23) с точностью до 5—7% совпадает с критическим значением коэффициента R lt определяемым из условия аг = 0. Это означает, что при выполнении условий (III.29) коэффициент а х 0. Так как аг находится в знаменателе, то при оп ределении частоты собственных колебаний контура (о из выражения
(оОЕ = могут быть допущены значительные погрешности. По
этому определение частоты со0£ должно производиться следующим об разом:
1) из условия (III.29) определяется критическое значение коэффи циента R x]
2 ) найденное значение R t подставляется в выражение (III.9) и определяется а 2;
3)определяется значение коэффициента а0 из выражения (III.7);
4)частота собственных колебаний электромагнитного контура со0£
находится по формуле (о0£ =
Критическое значение коэффициента R y из выражения (III.29) или (III.23) определить трудно. Поэтому можно рекомендовать нахо дить этот коэффициент из условия аг = 0. Значение ю0£, полученное в данном случае, практически равно ©о£, найденному при определе нии R x из выражения (III.29).
Определим частоту собственных колебаний электромагнитного контура при условии аг — 0 .I
При ах = 0 критическое значение коэффициента R-l может быть определено из выражения (III. 19):
I k T dtfcd . k0 ckKT doxd
R lei —^ + (6 + 1) xd |
T, |
T K |
При данном значении R lal |
|
|
|
|
|
Да = (£ + |
1) T K+ (k + |
kKk0,с) T dQ-\- |
|
||
+ (k + M o. С + |
Х |
А' |
ч |
|
|
1) ^X(i ^ 0 +”Ь — ^б- nп. .pz,I2£-,QOJnnT„do ' |
|
||||
4 t + {k + 1 ) xd + |
( - - °- p ) XdT'dQ |
Т dp -j- T к |
(Ш .31) |
||
|
|
|
*К |
4 |
|
Подставив в выражение (III.30) найденное значение коэффициента
а 2 и значение коэффициента а0 из выражения (III.7), получим |
|
||||
С°0£ : |
2^к^б- п. p^QO |
1 Xd |
|
■+ |
|
|
|
|
|
||
/ |
kXdTuTdQ |
^xd^dO |
|
|
|
ь ь |
i T do) П + V |
k- |
rp2 |
|
|
kkko.c\(xd.T к |
1 dO |
(111.32) |
|||
kxdTK^dO |
rp2 *p2 |
|
|||
|
|
||||
1 к 7 |
do |
|
|
||
Проанализируем выражение (III.32). Будем считать неизменными параметры самого генератора xd; x'd; Td0. Так как E Q0 — параметр,
характеризующий режим, на каждом рассматриваемом режиме будем считать его постоянным.
Коэффициенты /гк; /г0. с; /гб. п. р являются переменными настроеч ными параметрами, в функции которых и будем рассматривать из менение частоты м0£. Коэффициент Тк есть эквивалентная постоянная времени корректора напряжения и определяется постоянной времени наиболее инерционного звена канала корректора напряжения, кото рая существенно зависит от выбора рабочей точки корректора и может изменяться в зависимости от его настройки в 2—3 раза [46]. Следо
вательно, Т к также может быть использована в качестве настроеч ного параметра.
Таким образом, частота ю0£ является функцией четырех перемен
ных |
|
|
®0£ = f(^K> &б. п. р> ^о. с’ |
Т к). |
(III.33) |
Данную функцию можно представить в |
виде 12-ти |
семейств кри- |
в ы х : |
|
|
W0£ ==f ( TK)
®0£ == /( * * ) ®0£ == f ( k О. с)
®0£ == f ( k б. п.р,)
п р и |
k K = |
п р и |
^б. п .р = |
п р и |
k K — |
П ри |
к = |
var; |
^б- п. р = |
var |
и Ъ |
с ——■var; |
|
var; |
^ 0. с = |
var |
и |
т == var; |
|
var; |
^б. П . р = |
var |
и |
т — var; |
|
var; |
= |
var |
и |
т1 к .= |
var. |
|
К . с : |
|
|
|
|
Рассмотрим особенности указанных функциональных зависимостей с точки зрения определения влияния каждого из параметров на частоту со0Е. На рис. III.6 — III.9 представлены указанные кривые, построенные при характерных для судовых генераторов диапазонах
85
Рил |
Зависимость |
соо£ = |
f (kK). а - |
при |
k6. п. р = |
|
= |
0,04; Тк = |
0,5 с; k0. с = |
var; |
б — при k0. с = |
0,04; Тк = |
|
= |
0,5 с; k6. п. р = var; в — при k0. с = k6, п. р. = |
0,04; Тк = var |
||||
8 6
Рис. |
III.7. |
Зависимость |
шоЕ = I (Гк). |
а — при |
|
кб. п. р = 0,04; |
kK = 20; |
k0. с = |
var; |
б — при |
|
k0. с = |
0,04; |
kK 20с; |
kp. n. р = |
var; |
в — при |
ка с= *б. п. р ” 0,04; /гк — var
Рис. |
II 1.8. Зависимость wo£ = f (k0.c)- а — Гк = 0,5 с; |
||||
kt. п р — 0,04; |
kK — var; б — Тк = 0,5 |
с; |
йк = 20; |
||
кб. |
п- р “ var; |
в |
кб. п. р ^ 0,04; kK ~ |
20; |
ТК — var |
изменения параметров kK\ k6. п. р; k0, с; Т к и усредненных значениях х<1\ ха', Тай, специфичных для мощных генераторов серии МСК*.
Как видно из рисунков, со0£ в зависимости от /гк и k&.u.v изме" няется монотонно, возрастая с их увеличением.
Рис. |
III.9. Зависимость а оЕ = f (fe6. п. р). |
а — kK = 20; ' |
|||
Тк = |
0,5 с; |
k0. с = var; |
б — Тк = |
0,5 с; |
k0. с = 0,04; |
kK = var; |
в — kK = |
20; k0. с = |
0,04; |
Тк = var |
|
В семействе кривых (о0£ = f (k0, с), построенных .при различных Т к, имеется прямая, параллельная оси абсцисс, т. е. частота ю0£ не зависит от k0, с. Появление этой прямой в семействе кривых со0Е обу-
Расчеты кривых производились А. И. Виноградовой.
8 8
х Т
словлено тем, что при Т к = ■d--d-°- в соответствии с уравнением (III.32)
xd
третий член подкоренного выражения, в сомножители которого вхо дит коэффициент k0, с, обращается в нуль.
х'Т
При Т к < d d0 частота со0£ уменьшается с увеличением Р0. с,
rxd
хТ
а при Г к> dx d0— увеличивается, т. е. кривые зависимости ю0£
имеют максимум.
Определим значение постоянной времени корректора напряжения
Т к, при котором <й0Е = |
со0£тах. |
Взяв производную |
из выражения |
||
(III.32) по параметру Т к и приравняв ее нулю, получим |
|
||||
|
2 (1 + |
k) x'dT) |
|
|
|
|
|
|
do |
(III.34) |
|
|
2feK&6. n. p^Qo “b kKk0. cx{( |
||||
|
|
|
|||
Как видно из рис. III.7, значение Т к делит кривые на части с раз |
|||||
ными знаками и величинами наклона. При ГК< Т К |
характеристика |
||||
имеет ^положительный |
наклон |
и |
значительную |
крутизну, |
при |
Т К> Т К— отрицательный наклон и пологость. |
|
|
|||
Сравнивая зависимости ш0£ = |
/ |
(&к; £0. с; £б.п.р; Т к), нетрудно |
за |
||
метить, что наибольший эффект в направленном изменении частот соб ственных колебаний электромагнитного контура шо£ можно получить за счет изменения Т к при введении рабочей точки в область T K< iT к. При Т К^>ТК большие изменения Т к практически не изменяют ю0£.
Определим далее декремент затухания колебаний в электромаг нитном контуре.
Характеристическое уравнение (III.28) является уравнением не четной степени с положительными коэффициентами. Поэтому оно всегда имеет хотя бы один вещественный отрицательный корень.
Следовательно, его можно представить следующим образом:
а0р3-\-а1р2 + а2р + а3 = (p + Pi) (CiP2 Н- С2р + С3), (III.35)
где р х — вещественный отрицательный корень.
Перемножив сомножители правой части уравнения (III.35) и при равняв коэффициенты при соответствующих степенях р, получим
йо = Ci, |
|
|
ai = С2 + CiPi, |
|
|
й2 = C2Pi + С3, |
|
|
й3 |
= C3pi, |
|
откуда |
|
|
С1 |
= йд, |
|
С2 |
= Й1 —йоРъ |
(III.36) |
89