книги из ГПНТБ / Болотин, Б. И. Инженерные методы расчетов устойчивости судовых автоматизированных электростанций

регуляторов скорости, вносящих дополнительные фазовые сдвиги в кон­ тур регулирования.

Расчет автоколебаний при параллельной работе ГА с сетью при учете нелинейности типа «люфт» в регуляторе скорости (PC). Данные автоколебания проявляются в виде обменных колебаний активной мощ­ ности, предельный цикл которых меньше предельного цикла, опреде­ ляемого упорами органа топливоподачи. На рис. VI 1.7 изображена структурная схема электромеханического контура, образованного объектом — консервативным звеном (которым описывается генератор, работающий параллельно с мощной сетью в случае слабого демпфиро­ вания) и регулятором скорости прямого действия, который тоже опи­

сывается колебательным звеном. На выходе PC включена не­

Заметим, что для однозначных нелинейностей — F (х) = g (а) х. Вто­ рой член g ' (a) iQp в выражении (VII.30) имеет смысл нелинейного запаздывания, определяемого гистерезисной петлей. Действительно,

раскладывая функцию е~рх вряд Тейлора и учитывая первые два члена этого ряда, придем к выражению

Вотличие от линейного нелинейное запаздывание зависит от частоты

иамплитуды колебаний. Рассмотрим более подробно выражения для определения нелинейности типа «люфт». В соответствии с выводами

(VII.31)

260

(VII.32)

На рис. V II.8 , б представлены графики зависимости g (а) и g' (а). Характеристика g' (а) при а = 2Ь (т. е. при амплитуде колебаний, равной удвоенной ширине люфта) имеет максимум

_ k

§' (4'max ” “я

Характеристика g (а) монотонно изменяется от 0 до k, где k — тангенс угла наклона нелинейной характеристики (обычно полагают k — 1 , что соответствует а = 45°). Внесение петлевой нелинейностью допол­ нительного фазового сдвига в замкнутый контур регулирования су­ жает область устойчивости равновесия, поэтому прежде чем определить

а,

Рис. VII.8. Характеристики НЭ типа «люфт»: а — статическая харак­ теристика; б — зависимость коэффициентов гармонической линеариза­ ции g (а) и g' (а) от амплитуды а

В предыдущих задачах определялись, в основном, периодические решения и их устойчивость, т. е. рассматривалась такая область параметров нелинейной системы, в которой имеются периодические решения, устойчивые (автоколебания) или неустойчивые. Однако часто систему регулирования требуется отладить таким образом^ чтобы автоколебаний не возникало вовсе и равновесие было устой­ чивым при любых начальных условиях. В этих случаях область устой­ чивости равновесия системы находят вне области периодических ре­ шений. Вообще говоря, в нелинейной системе вне области периоди­ ческих решений могут появиться и другие сложные особенности (сепаратриссы, седла и т. д.). Однако в большинстве практических задач с типичными реальными нелинейностями вне области периодических решений, по крайней мере по соседству с ней, нет таких особенностей а имеет место либо область устойчивости равновесия, либо неустойчи­ вости при любых начальных условиях.

26!

В данной задаче под анализом устойчивости будем понимать отыс­ кание областей устойчивости равновесия и соответственно неустой­ чивости вне области периодических решений. При этом нредполагается существование у системы единственного равновесного состояния. Отсутствие периодического решения объясняется тем, что характери­ стическое уравнение гармонически линеаризованной системы ни при каких значениях коэффициентов, свойственных рассматриваемой не­ линейности, не имеет чисто мнимых корней. Поэтому, если в области отсутствуют периодические решения, но выполняется критерий Гурвица [Nn-1 >• 0 ) при любых возможных g к g ', то вблизи найденной

границы область отсутствия периодического решения будет областью устойчивости равновесия системы. Если же вне области периодических решений при любых возможных для данной нелинейности значениях g и g' гармоническое линеаризованное характеристическое уравнение не удовлетворяет критерию Гурвица, то это и будет область неустой­ чивости системы.

Суть методики определения границ устойчивости и неустойчивости

вплоскости нескольких наиболее важных параметров системы состоит

вследующем [40]:

1) значение коэффициента g ' , как правило, сужающего область устойчивости, полагается наибольшим;

2 ) находится значение коэффициента g, доставляющее определи­ телю N п_ { экстремум из уравнения

симум.

Значение коэффициента g, полученное из (VII.33), подставляется

вуравнение

инаходится зависимость между параметрами системы. При этом ми-

6Nl_.

нимум — > 0 определяет границу устойчивости равновесия,

исключение g (а) из уравнений (VII.33) и N„-i = 0 дает условия устой­ чивости (или неустойчивости), достаточные при любой форме однознач­ ной нечетно-симметричной нелинейности и не зависящие от формы

262

теля N n_ v может выйти за пределы интервала возможных для дан­

ной нелинейности значений g (а). Тогда берется ближайшее крайнее его значение и подставляется в выражение (VII.33). В этом случае отбрасываются лишние участки границы устойчивости, полученные на первом этапе, и заменяются другими, вытекающими из ограничения интервала возможных значений g (а) для конкретной нелинейности.

263-

Из условия положительности коэффициентов уравнения (VI 1.36) будем полагать

8' (а) ^ т р. с ( л 2 + 0

(VI 1.38)

Оh

Следует заметить, что данное условие в реальном диапазоне частот Q всегда выполняется.

которое определяет границу неустойчивости. Это утверждение выте­ кает из отрицательного знака второй производной

™ п - 1 = —k0T р . с < 0 .

д82 (а)

Для определения достаточных условий неустойчивости подставим значение k0, полученное из (VII.41), в выражение (VII.40). Тогда

условием неустойчивости. Оно определяет в плоскости параметров k„ и А границу, отделяющую область неустойчивости от области периоди­ ческих решений. Для определения границы, отделяющей область пе­ риодических решений от области устойчивого равновесия, подставим в уравнение максимально возможное в случае люфта значение g (а) = 1 и решим его относительно k0. После несложных преобразований получим

264

Данное выражение при линейном анализе определяет границу устой­ чивости электромеханического контура с PC. Из (VII.43) можно полу­ чить дополнительное условие существования границы устойчивости при наличии люфта в контуре регулирования. Действительно, k0 из (VII.43) будет положи­

тельным, если

ко

:( Л З - 1)

ного запаздывания, вносимого люфтом. Так, если при частоте 3—4 Гц, свойственной дизель-генераторам, максимальный коэффициент нелиней­ ного запаздывания составляет 0,013—0,017 с, то чистое запаздывание, достигающее значений т = 0,02-^0,04 с, очевидно, больше. Прибли­ женно совместное влияние чистого запаздывания и люфта может быть учтено увеличением коэффициента k3 на величину чистого запаздыва­ ния, т. е.

g' (Д)гг

+ g(a) т.

Q

265

При a = 2b g'(a)max = -^ -; g(a) = - j и, следовательно,

результирующее запаздывание определяется целиком чистым запазды­ ванием, а при малых — распределяется приблизительно поровну между нелинейным и чистым запаздываниями.

Амплитуда и частота автоколебаний системы IV порядка может быть определена из уравнений (VII.И) и (VII. 13):

Задаваясь значениями g (а) в плоскости двух наиболее важных параметров, можно построить линии равных амплитуд и частот авто­ колебаний. На рис. VI 1.9 изображены графики равных амплитуд и частот автоколебаний в плоскости параметров k0 и А. На этом же ри­ сунке показаны области неустойчивости и устойчивости равновесия (области I к II соответственно).

§32. Расчет автоколебаний, обусловленных нелинейностями систем автоматизации

Проанализируем влияние нелинейностей типа «люфт» и «сухое тре­ ние» на частоту и амплитуду автоколебаний в системе распределения активных нагрузок. В главе V производились расчеты устойчивости линеаризованной модели такой системы. Причем действие люфта приб­ лиженно учитывалось введением чистого запаздывания.

Такая идеализация позволила с запасом оценить устойчивость си­ стемы и построить ее границу в плоскости двух наиболее важных на­ строечных параметров ky и k0 с. При учете нелинейностей в плоскости тех же параметров появится зона автоколебаний, которая распола-

266

гается между областью устойчивости равновесия и неустойчивости. Выбор в качестве определяющих нелинейностей типа «люфт» и «сухое трение» подсказан опытом экспериментальной наладки подобных систем автоматизации на судах.

Нелинейность типа «насыщение» усилителя при действии обратной связи по скорости, как правило, не проявляется, т. е. усилитель ра­ ботает благодаря обратной связи в линейной зоне, поэтому остановимся подробнее на нелинейности типа сухого трения. Данная нелинейность часто встречается в механических звеньях систем автоматического управления. Как правило, она присутствует в механизмах изменения оборотов первичных двигателей, через которые осуществляется регу­ лирующее воздействие от систем поддержания частоты и распределе­

положный скорости изменения выходной величины х 2. В том случае, когда скорость выходной величины равна нулю, сила трения может при­ нимать любое значение от + L до —L, в зависимости от сил, действую­ щих в кинематической паре с сухим трением. Если в системе с нелиней­ ностью типа сухого трения можно пренебречь инерционностью под­ вижных трущихся частей, а в нелинейном звене отсутствует восстанав­ ливающая сила, то уравнение нелинейного звена принимает вид

где*! — входная координата; /гх — коэффициент пропорциональности. Если в системе с нелинейностью можно пренебречь инерционностью

267

подвижных трущихся частей, а в нелинейном звене имеется линейная восстанавливающая сила, уравнение нелинейного звена примет вид

L sign рх24 - k2x2 — k1x1 при рх2 ф 0;

(VII. 46)

+ при рх2 = О,

где хт — значение х г в момент остановки; k 2 — коэффициент пропор­ циональности выходной координаты.

В этом случае от значения выходной величины х %зависит второй член левой части первого равенства уравнений (VI 1.46), который обус­ ловлен наличием восстанавливающей силы. Выражение L sign р х 2,

ной величине. Такое уравнение нелинейного звена эквивалентно нели­ нейной функции х 2 = F (хj), изображенной на рис. V II.8 , а, где гори­ зонтальные линии соответствуют различным значениям хт. В данном случае влияние сухого трения оказалось эквивалентным влиянию люфта в механической передаче. Следует заметить, что люфт в редук­ ционной части механизма изменения оборотов в основном обусловлен сухим трением и в меньшей степени зазорами в кинематических па­ рах механизма. Нелинейность, вызванная сухим трением, описывается уравнениями (VI 1.45). Она свойственна электродвигателям механизмов изменения оборотов первичных двигателей.

Гармоническая линеаризация нелинейности типа «сухое трение». Определим коэффициенты гармонической линеаризации для харак­ теристики сухого трения, изображенной на рис. VII. 10, а при от­ сутствии заметных остановок внутри периода колебаний.

Полагаем, что решение для рх2 находится в виде [53]

Таким образом, формула гармонической линеаризации сухого трения с характеристикой вида рис. VII. 10, а будет

При исследовании нелинейной системы желательно получить решение для самой переменной х2. Полагая

х2 = а sin Ш\ рх2= aii cos Ш,

268

получим

a„ = aQ.

Тогда, обозначив

получим в соответствии с (VII.47) и (VII.48) формулу гармонической линеаризации характеристики момента сухого трения Л4тр для этого случая в виде

Расчет системы распределения активных мощностей с учетом не­ линейности типа «люфт» и «сухое трение». Передаточные функции элементов системы, за исключением редуктора и электродвигателя, берутся такими же, как и в расчете САРАМ для линейного случая. Рассмотрим ПФ электродвигателя при учете сухого трения, действую­

Характеристику момента трения принимаем в виде идеальной ре­ лейной. Согласно формуле (VII.49), характеристику силы сухого тре­ ния можно представить в виде

Подставляя выражение моментов в уравнение (VII.50), получим

Ip2a + k'pa -)- —lJ a>[ра = k"u.

Введем в рассмотрение постоянную времени двигателя T v Тогда

(VII.51)

269