книги из ГПНТБ / Болотин, Б. И. Инженерные методы расчетов устойчивости судовых автоматизированных электростанций

Требуется определить коэффициент передачи принятого закона регулирования двигательного момента (по АР'), необходимого для

В предположении, что введение коррекции по АР' мало влияет на собственную частоту системы, определяем из формулы (VI. 13) вели­ чину коэффициента асинхронного момента, обеспечивающего желае­ мый декремент затухания | экв = 0,4,

и(соэкв)

\ Э К В / ж е л

Следовательно, за счет регулирования по АР' требуется получить дополнительную асинхронную добавку, равную:

D (юэкв)доп = D (юэкв)жел— D (соэкв)исх = 0,135 -0,068 = 0,067,

где D (соэкв) — дополнительная асинхронная добавка; D (соэвк) —

асинхронная составляющая системы без дополнительного регули­ рования.

2.Расчет асинхронной добавки от регулирования по АР'. Вычи

ляем при соэкв = 26,8 1/с по формулам табл. VI. 1 значения асинхрон­

ных добавок при регулировании по 6 12 и б12 (т. е. по параметрам, вхо­ дящим в закон АР'):

асинхронную добавку, создаваемую сигналом по АР':

240

ное выше значение D Ар, (юэкв), определим коэффициент усиления по производной канала по нагрузке из формулы:

4. Расчет дополнительной синхронной добавки, вносимой связью по АР'. Весь проведенный расчет был выполнен в предположении, что дополнительно вводимая обратная связь по АР' не изменяет (оэкв. В конце расчета необходимо проверить это допущение. Для этого из

Синхронная добавка, вносимая обратной связью по АР', определится по следующей формуле:

= (17,3-4,6— 310 0,068)-0,021 = 1,2.

Определим новое значение частоты шэкв:

M's= M s+ М АР, = 4,6 + 1,2 = 5,8;

Как видим, вводимая обратная связь изменяет эквивалентную собственную частоту системы незначительно (менее чем на 12%). По­ этому уточнять расчет нет необходимости. Зная требуемое для демп­ фирования значение kApn можно определить коэффициент усили­

тельного канала по производной:

Расчет показывает, что для обеспечения желаемого демпфирования в системе необходимо очень незначительное усиление в канале по производной АР'. Следовательно, организацию демпфирования через канал по нагрузке следует считать наиболее рациональной, учитывая быстродействие данного канала. Заметим, что в данном расчете не

принималось во внимание запаздывание по двигательному моменту, свойственному дизелям, так как метод моментных добавок не позво­ ляет учитывать чистое запаздывание. В главе VIII подобная задача бу­ дет решена другим методом при учете чистого запаздывания.

Необходимо обратить внимание на то обстоятельство, что рассмо­ тренные в данном параграфе коэффициенты производных по активной мощности, обеспечивающие заданную величину демпфирования вынуж­ денных колебаний, могут обусловить неустойчивость свободного движения [2, 46] при их необоснованном завышении.

ГЛАВА VII

РАСЧЕТ АВТОКОЛЕБАНИЙ В САЭС

§28. Основные положения расчета нелинейных систем

Впредыдущих главах был произведен анализ устойчивости ли­ нейной модели системы и получены количественные оценки связи различных параметров системы с запасом устойчивости. При линей­ ном анализе предполагалось, что факт устойчивости или неустойчи­ вости линейной модели зависит только от параметров системы и со­ вершенно не зависит от величины начального отклонения. Следует заметить, что в линейной модели считались возможными лишь два типа процессов: сходящиеся и расходящиеся. Если параметры линей­ ной системы точно соответствуют границе области устойчивости (что бывает весьма редко), возможны и незатухающие колебания с ампли­ тудой, зависящей от начальных условий. При самом незначительном изменении параметров колебания превращаются в затухающие или неограниченно возрастающие.

На практике часто наблюдаются явления, которые не могут быть объяснены в рамках линейной теории. Действительно, в реальных системах нередко имеют место незатухающие колебания, которые об­ ладают определенной устойчивостью: после возмущения они восста­ навливаются с течением времени. Форму и частоту этих колебаний можно изменять, меняя параметры системы. Часто вид движения зависит от величины прикладываемого возмущения. Незатухающие колебания имели место при синхронизации с сетью или с равным по мощности ГА в тех случаях, когда разность частот превышала неко­ торую величину. При меньшей разности частот колебания не возникали

(см. § 5, описание параллельной работы ДГ и ТГ). В ряде слу­ чаев обменные колебания мощности не зависят от величины возму­ щений. При любом возмущении в системе устанавливались колебания вполне определенной амплитуды и частоты (параллельная работа двух ДГР-150-750). Явления подобного рода могут быть обусловлены только нелинейностями, неучтенными при линейном анализе.

242

Незатухающие колебания в системах автоматического регулиро­ вания (автоколебания) возникают при отсутствии внешних периоди­ ческих воздействий. Частота этих колебаний определяется только внутренними свойствами системы и меняется при изменении ее пара­ метров. Автоколебания возникают благодаря равенству потерь энер­ гии за колебательный цикл притоку энергии от внешнего неколеба­ тельного источника. Таким источником служат обычно регулируемый объект или усилительная часть регулятора. Только благодаря нали­ чию нелинейностей возможен баланс энергии за колебательный цикл. Расчет автоколебаний сводится к определению условий существования незатухающих колебаний, т. е. к определению условий, при которых возможен такой баланс.

Как уже отмечалось, параллельно работающие генераторные агрегаты представляют многосвязную нелинейную электромехани­ ческую систему. Точные методы определения периодических движений в такой системе не найдены, и для их отыскания приходится прибе­ гать к различным приближениям, требующим определенной идеали­ зации задачи. Близость решения подобной идеализированной задачи к процессу в реальной системе во многом определяется тем, насколько удовлетворяет анализируемая система некоторым дополнительным ус­ ловиям.

Условия, при которых периодические режимы в Э Э У близки к гар­ моническим. Наиболее эффективные способы приближенного исследо­ вания периодических режимов в нелинейных системах основаны на методе гармонического баланса Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова.

В основе этого метода, если иметь в виду использование его лишь для определения периодических движений, лежит предположение о том, что периодическое решение мало отличается от гармонического и его можно искать в форме

x = asinQ£, (VII. 1)

где а и Q — соответственно искомые амплитуда и частота. Вообще говоря, колебания на выходе нелинейного элемента системы всегда негармонические. Можно, однако, указать условия, при выполнении которых колебания мало отличаются от гармонических. Существуют два класса таких условий.

1.Линейная часть системы удовлетворяет гипотезе фильтра. Есл

нелинейная часть системы порождает гармоники, начиная с &-й, то в замкнутой системе возникают гармонические колебания, частота которых независимо от специфики нелинейности удовлетворяет нера­ венству

где сос — частота среза линейной части системы; со0 — частота авто­

колебаний.

При этом условии все высшие гармоники, порожденные в нелиней­ ной части, существенно ослабляются в линейной, и в системе на входе в нелинейную часть устанавливаются синусоидальные колебания.

Условия фильтра, очевидно, реализуются только в том случае, если колебания в линейной части системы устойчивы.

2. Система удовлетворяет гипотезе авторезонанса. Для того чтоб колебания были близки к гармоническим, амплитудная характеристика

Условия гипотезы фильтра и гипотезы авторезонанса в равной мере позволяют считать колебания близкими к гармоническим и искать их в форме (VII. 1).

В системах, удовлетворяющих условию авторезонанса, заранее известно, что искомая частота Q равна резонансной частоте линейной части системы (или незначительно отличается от нее). Неизвестной при приближенном анализе является лишь амплитуда колебаний, в то время как в нерезонансных системах, удовлетворяющих условию фильтра, неизвестна и амплитуда, и частота автоколебаний. Преиму­ ществом последней является отсутствие дополнительных требований к характеристике нелинейного элемента и возможность рассмотрения практически любых нелинейностей.

Кроме того, как указано в [1], применение методов, основанных на гипотезе фильтра, к системам, в которых осуществляется условия авторезонанса, дает более точное решение. Поэтому в дальнейшем будем использовать детально разработанные методы гармонической линеаризации, основанные на предположении о фильтрующих свой­ ствах линейной части системы [40].

Предпосылки к использованию метода гармонической линеаризации, полученные на основании экспериментальных исследований устойчи­ вости судовых ЭЭУ. В § 5 были описаны автоколебания, встречаю­ щиеся при параллельной работе судовых генераторных агрегатов. По значению частот их можно разбить на три группы:

— автоколебания электромеханического контура Q = 1,5 ч- 4 Гц;

—автоколебания в системах автоматического регулирования воз­ буждения Q = 0,2 ч- 1 Гц;

—автоколебания систем автоматизации Q = 0,05 — 0,2 Гц.

Во всех случаях колебания имели ярко выраженный синусоидаль­ ный характер, а частота их была ниже частоты среза соответствующего контура.

Так, при автоколебаниях в электромеханическом контуре частота колебаний независимо от порождающих их причин была приблизи­ тельно равна резонансной частоте этого контура и ниже частоты среза (последнее свидетельствует именно об авторезонансных свойствах

Собственная частота системы со0, в этом случае определенная по

244

Причиной автоколебаний была неправильная настройка изодромной обратной связи PC [25]. Для сравнения на рис. 1.9 приведена осциллограмма автоколебаний турбогенератора ТД-1000 с сетью. Причина автоколебаний заключалась в близости частот собственных

к собственной частоте электромеханического контура. Действительно, параметры этого ТГ:

баний. Следовательно, электромеханический контур обладает ярко выраженными резонансными свойствами.

Так как в этом случае система удовлетворяет и условиям фильтра, и условиям авторезонанса, то применение метода гармонической ли­ неаризации для расчетов автоколебаний в электромеханическом кон­ туре должно приводить к наиболее точным результатам. С другой сто­ роны, как будет показано далее, знание приблизительной частоты ав­ токолебаний заранее существенно упрощает расчеты автоколебаний в системах с петлевыми неоднозначными нелинейностями.

Частота автоколебаний электромагнитных контуров судовых син­ хронных генераторов с самовозбуждением, как показывают расчеты и эксперименты, также близка к собственной частоте этих контуров и, следовательно, удовлетворяет условию фильтра.

Системы автоматизации САРЧ и САРАМ, являясь в большинстве случаев астатическими, содержат, как правило, в своей структуре двигатель-интегратор, т. е. звено, являющееся низкочастотным фильт­ ром. Применение метода гармонической линеаризации для подобных систем, как показано в работе [1 ], является обоснованным.

§ 29. Применение метода гармонической линеаризации при расчетах автоколебаний многоконтурных систем в САЭС

Как было показано в работах Н. М. Крылова и Н. И. Боголюбова, нелинейная функция, определяющая нелинейность системы (звена), может быть представлена в виде выражения, по форме записи похо­ жего на линейное. Эта операция была названа эквивалентной, или гармонической линеаризацией.

Пусть имеется нелинейная система автоматического регулирования, которая разбивается на линейную и нелинейную части. Уравнение линейной части в общем виде запишется как

245

Уравнение нелинейного звена имеет вид:

y = F (х), (VII.4)

где F (х) — заданная нелинейная функция; х — переменная на входе нелинейного звена.

Как отмечалось выше, автоколебания ищутся в виде синусоидаль­ ной функции (VII. 1).

Подставляя это выражение для х в заданную нелинейную функцию у = F (х), разложим ее в ряд Фурье:

у — F (х) = С0 + Dxsin Ш + Сг cos Fit + D2sin 2Ш + C2 cos 2Ш, (VI1.5)

где C0; Cy, Dy, C2; D 2 — коэффициенты ряда Фурье.

Полагаем, что постоянная составляющая в искомых колебаниях отсутствует, т. е. удовлетворяется соотношение

Это условие выполняется всегда, когда нелинейная характеристика симметрична относительно начала координат и отсутствует внешнее возмущающее воздействие. В приведенном выше разложении в ряд Фурье произведем, согласно (VII. 1), замену

sin Qt = — \ cos ffl = —

aaQ

иотбросим все высшие гармоники ряда Фурье, предполагая, что они не пропускаются линейной частью системы. Тогда уравнение нелиней­ ного звена (VI 1.4) для первой гармоники выходной величины с учетом

(VII.5) и (VII.6 ) примет вид:

где g (а) и g' (а) — коэффициенты, соответственно определяемые формулами:

Итак, нелинейное уравнение у = F (х) заменяется приближенным уравнением для первой гармоники (VII.7), похожим на линейное уравнение. Особенность его заключается только в том, что коэффици­ енты уравнения зависят от искомых величин а и Q (т. е. от амплитуды и частоты искомых автоколебаний). В связи с этим замена уравнения (VII.4) уравнением (VII.7) называется гармонической линеаризацией, а коэффициенты g (а) и g' (а) коэффициентами гармонической линеа­ ризации нелинейного звена. Выражение

246

является передаточной функцией нелинейного гармонически линеари­ зованного звена. Используя уравнения линейной части системы (VI 1.3) и приближенное уравнение нелинейного звена (VII.7), получаем харак­ теристическое уравнение всей системы в виде:

т. е. определении из уравнения (VII. 10) амплитуды а и частоты Q колебаний. Как известно, однородное линейное уравнение может иметь такое решение лишь тогда, когда характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней. Для определения условий, при которых характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней, можно применять любой критерий устойчивости линейных систем. Следовательно, нелинейная задача опять сводится к линейной, которая подробно была разобрана выше.

Так как при линейном анализе широко использовался критерий Гурвица, рассмотрим особенности его применения для анализа пе­ риодических решений (автоколебаний).

Все остальные определители Гурвица должны быть положительны. Так как для отыскания автоколебаний необходимо определить два параметра а и Q, то к (VII. 11) необходимо добавить еще одно уравне­ ние. Такое уравнение появляется после подстановки в характеристи­ ческое уравнение системы чисто мнимого корня р = /со и выделения вещественной и мнимой частей. Для простых систем, порядок которых не превышает 3 или 4, появляется следующее дополнительное уравне­ ние:

для системы третьего порядка

Использование определителя Гурвица особенно удобно для ана­ лиза однозначных нелинейностей, т. е. когда в коэффициенты харак­ теристического уравнения не входит частота. Тогда появляется воз­ можность частоту и амплитуду автоколебаний определять независимо друг от друга из разных уравнений (VI. 11) и (VII. 12).

т. е. с увеличением амплитуды должен увеличиваться и определитель Гурвица.

247

Для неоднозначных нелинейностей неравенство имеет следующий вид:

Знак неравенства не должен меняться при малом отклонении © в обе стороны от Q, соответствующего исследуемому периодическому ре­ жиму, если величина Й входит в коэффициенты g и g'/Q.

Особенности применения метода гармонической линеаризации для анализа многоконтурных систем. Структурные схемы параллель­ ной работы ГА содержат по нескольку внутренних контуров, и в каж­ дом может находиться нелинейность, учет которой необходим по сооб­

1

к

1+Поо

Wo.c(р)

Т Г Ж

к ВЕа

ща

Рис. VII.I. Структурная схема электромагнитного контура при учете нелинейности типа ограничения в корректоре напряжения

ражениям устойчивости. Поэтому важно правильно производить эквивалентные преобразования многоконтурных схем, учитывая при этом нелинейность. В структурных преобразованиях нелинейных систем, в отличие от линейных, невозможно сохранение принципа суперпозиции. Поэтому, чтобы избежать ошибок, необходимо ампли­ туду на входе нелинейного элемента (НЭ) сохранять постоянной не­ зависимо от выполняемых преобразований. А это означает, что в не­ линейной системе не следует перемещать линейные звенья за НЭ. Преобразование же с линейными звеньями, расположенными до не­ линейного элемента или за ним, можно выполнять по общеизвестным правилам линейной теории. В этом случае НЭ сохраняют свое перво­ начальное расположение, независимо от выполненных преобразований с линейными звеньями.

Рассмотрим применение этих правил на примере анализа устойчи­ вости электромагнитного контура при параллельной работе генера­ тора с мощной сетью и учете нелинейности насыщения усилителя кор­ ректора. Структурная схема контура представлена на рис. VI 1.1.

Аналогичная структурная схема рассматривалась при линейном анализе в § 10. В ней на основании правил преобразования линейных схем все обратные связи приводились на вход корректора. В данном случае, когда корректор содержит нелинейность, такой перенос недо­

248

пустим из-за нарушения принципа суперпозиции. Произведем преоб­

ного фильтра. Эта особенность обусловлена действием положительной обратной связи по току I d (с коэффициентом компаундирования R х),

а)

^•п-р дЕд

*)

— ® -

Рис. VI 1.2. Преобразование структурной схемы элек­ тромагнитного контура с выделением линейной и не­ линейной частей

обладает необходимыми свойствами низкочастотного фильтра.

При расчетах устойчивости линейной модели двух однотипных ГА в случае пропорционального распределения нагрузки структурная схема с помощью известных правил преобразования [54] приводилась к структурной схеме параллельной работы ГА с сетью. Вообще говоря, данные преобразования для нелинейной системы неправомерны. Однако при автоколебаниях, происходящих с одинаковыми амплиту­ дами в системах регулирования обоих ГА, нелинейности не меняют условий симметрии. Это дает основание предположить возможность распространения методов упрощения, доказанных для анализа малых колебаний, на автоколебания. Поэтому анализ автоколебаний в даль­ нейшем во избежание дополнительного усложнения будем произво­

249