книги из ГПНТБ / Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие

с большими значениями г будут двигаться быстрее, чем точки с меньшими значениями г. Следовательно, при движении r-волны передний фронт становится круче, а задний — положе. В некоторый момент времени t0 произой­ дет опрокидывание волны. Это и есть градиентная ката­ строфа.

§ 17. Численное решение систем квазилинейных уравнений методом характеристик

Рассмотрим один класс гиперболических систем ква­ зилинейных уравнений вида

в которых коэффициенты Л;, Bt, Ciy Di не зависят от х, у. Эту систему можно привести к характеристической

форме

Рассмотрим на оси x дискретную последовательность точек. Будем называть эти точки узловыми точками нуле­ вого слоя. В каждой из этих точек известны значения функций и и у (начальные значения). По этим значениям можно определить в каждой точке нулевого слоя направ­ ления характеристик обоих семейств по формулам

с соседними прямыми. Точки пересечения будем называть узловыми точками первого слоя сетки (на рис. 16 они отмечены кружочками). Покажем, как можно определить значения функций и и v в узловых точках первого слоя.

80

и и у в точке i (/ =1, 2, 3). Очевидно, система (55) экви­ валентна системе

Заменяя в этой системе дифференциалы приращениями:

Из нее находим и3 и v3. И так для произвольной точки первого слоя.

Определив значения функций и и и во всех точках первого слоя, такой же процедурой определяем значения функций и н v в точках второго слоя. И так далее

(рис. 16).

ЗАДАЧИ

1. Бесконечная струна возбуждена начальным отклонением, от­

личным от нуля лишь на интервале (с, 2с) и имеющим форму лома-

3

tk = Yak <* = !. 2. 3).

4. Полубесконечная струна с жестко закрепленным концом воз­ буждена начальным отклонением, отличным от нуля лишь на

81

Г л а в а IV

МЕТОД ФУРЬЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

(метод разделения переменных)

Одним из наиболее широко применяемых в математи­ ческой физике методов является метод Фурье.

Типичными задачами, к решению которых применяется этот метод, являются краевые задачи в ограниченных областях для уравнений гиперболического и параболиче­ ского типа. Существо метода, состоящего в представлении искомого решения в виде рада Фурье по некоторой орто­ гональной системе функций, связанных с рассматривае­ мой задачей, лучше всего можно понять на простейших из них —на однородных краевых задачах. Мы будем рас­ сматривать параллельно краевые задачи для уравнений гиперболического и параболического типа.

Вопросы существования решения задач, рассматривае­ мых в этой главе, мы, как правило, не будем рассмат­

что на множестве Нг определен оператор Т со значениями

определен на всех функциях, интегрируемых на отрезке [О, а], и функции ф (x) = Tf непрерывны па отрезке [0, а].

83

1) (Фь Фа) = (Фа. <Pi);

2) (фх + фа. Фз) = (ф1. Фз) + (фг> Фз); 3) (Яф!, ф2) = Я(ф1, ф2), где Я — произвольное число;

4) (ф, ф)5=0, причем (ф, ф) = 0 только для ф = 0.

Оператор Г*, определенный на множестве Я2, со зна­ чениями из множества Я2 называется сопряженным опе­

Если 7 = 7*, то оператор 7 называется самосопря­ женным или эрмитовым.

§2. Сущность метода Фурье. Собственные функции

исобственные значения

1.Пусть требуется найти функцию и(Л4 , г1), удовлет­ воряющую для t > 0 уравнению

) // —гильбертово пространство.

84

ниями уравнения (1), удовлетворяющими условию (2 ). Попытаемся с помощью суперпозиции всех линейно

независимых частных решений описанного типа (т. е.

летворяющие краевому условию (2 ), в классе функций вида Ф(УИ)ЧГ(/), где Ф (М) непрерывные D, Т (i) непре­

Чтобы это равенство было тождественным (т. е. чтобы функция Ф (Л1) 'F (z1) удовлетворяла уравнению (1) при всех (М, необходимо и достаточно, чтобы обе дроби L[Ф]/рФ и W'/W были равны одной и той же константе:

*) По аналогии с решением задачи Коши для обыкновенного линейного однородного дифференциального уравнения.

**) То есть не равные тождественно нулю.

85

Следовательно, в качестве функций Ф(0 и Ф (М) надо брать нетривиальные решения уравнений

Она имеет нетривиальные решения не при всех значе­ ниях X.

О п р е д е л е н и е . Те значения X, при которых задача (5 ) —(6) имеет нетривиальные решения, называются соб­ ственными значениями (с. з.) краевой задачи (5) —(6 ),

а соответствующие им нетривиальные решения Ф(М)

уравнения (5) — собственными функциями (с. ф.) краевой задачи (5) —(6).

2. Для каждой краевой задачи (однородной или неод­ нородной), поставленной в области D, ограниченной по­ верхностью (линией) S, определим класс А функций Ф (М).

ласти В функции Ф(АГ), обращающиеся в нуль на поверх­ ности (линии) S. При рассмотрении краевой задачи вто­ рого или третьего типа к классу А отнесем все непре­

рывные в В вместе с частными производными первого порядка по координатам точки М функции Ф(/И), удов­ летворяющие на границе S условиям:

да s = 0 для краевой задачи второго типа

и

(yi + Таф) 5 = 0 для краевой задачи третьего типа.

Здесь коэффициенты yj (М) и у2(М) те же самые, что и

вкраевом условии рассматриваемой задачи.

Вдальнейшем будем предполагать, что функции к (Л/),

86

Т е о р е м а 1. Существует бесконечное (счетное) мно­ жество собственных значений {Я„}, п= 1 , 2 , .... и соот­ ветствующих им собственных функций \Фп(М)\ краевой задачи (5) —(6 ), принадлежащих классу А.

Доказательство этой теоремы мы опускаем.

З а м е ч а н и е 1. Если заранее ограничиться рассмот­ рением функций класса А, то вместо слов «собственные значения и собственные функции краевой задачи (5 ) — (6)» можно говорить: «собственные значения и собственные функции оператора L».

хождением их.

3. Напомним, что рядом Фурье функции / (М) по ор­ тогональной с весом р (М) > 0 системе функций {Фп(М)}

называется ряд

СО

2скФь(М),

вкотором коэффициенты ck вычисляются по формулам

ck - r < k fь\ f { P ) 9 { P) ®k{P)d%p'

1Ф* !2 = jj р{Р)Ф\(Р)дхР.

ь

Собственные значения и собственные функции краевой

собственным функциям краевой задачи (5) — (6), абсолютно

и равномерно сходящийся в области D.

Доказательство этой теоремы мы опускаем*).

4. Вернемся к рассмотрению задачи (1) —(3). Ее ре­ шение можно построить методом Фурье. Его называют

*) Для одномерного случая эта теорема будет доказана в гл. XI.

87

II Фп IP = ^Р(Р)ФЦР) dtp,

D

а для уравнения параболического типа —в виде ряда (7Д

Число | ФпI) называется нормой функции Фп (М).

Для доказательства этой теоремы нам понадобится следующая

Лемма . Оператор L [Ф] = div (k Vф) — уф является самосопряженным на функциях класса А.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Скалярное произведение функ­ ций Фх и Ф2 определим как интеграл

(Ф1; Ф2) = 5 Ф ^ т .

89