книги из ГПНТБ / Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие
.pdfЕсли в качестве начальных функций в задаче Коши взять функции <р„ (я) и фл (х), то они определят единст
венное решение задачи ип(х, t).
Оценим разность решений ип4гц(х, t) — un(x, t). В силу
равномерной |
|
сходимости |
последовательностей {ф„(л:)} |
и |
||||
{ф„(х)} для произвольных е > |
0 и ^ > 0 |
найдется такое N, |
||||||
что для любых n > N и |
любых целых |
положительных |
к |
|||||
будут выполняться |
неравенства |
|
|
|||||
|фл(л:)-ф«+к М 1 < Т ^ Т 1 и \ ^ k ( x ) ~ ^ ( x ) \ < 1~ |
|
|||||||
для |
всех — с |
о |
< х < |
с о . |
Тогда по доказанной теореме для |
|||
всех |
t ^ t r |
и |
— со С х < о о |
будут также выполняться |
||||
неравенства |
|
| |
|
|
Ып {Ху i') | ‘'■СВ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
для |
любых п > N |
и любых |
целых положительных k. Но |
|||||
это означает, |
|
что |
последовательность |
решений {ип(х, |
^)} |
|||
равномерно сходится в указанной области изменения пере менных л:, t к некоторой функции и (х, t). Эта функция называется обобщенным решением задачи Коши (13) —(14). При этом
и (х, /) = |
lim ип(х, t) = |
|
|
|
|
п ~ * |
СО |
|
x-hat |
1 |
|
|
1 |
|
lim |
[ с р „ ( л :-о О + Ф« (* + « 0 ] + |
С |
||
= -2 |
~2а |
iim \ tyn(z) d z ’ |
||
или |
|
|
|
|
и{х, |
0 = Ц « - ^ )+- Ф1 «± гА,+ гГ |
jj |
^ (z)iz. |
|
|
|
|
x —at |
|
Эта функция и (х, t) и ее производная ut (х, t) принимают заданные значения ф(л:) и ф(лг). Таким образом, в рас смотренном случае формула Даламбера также дает реше ние (обобщенное!) задачи Коши. Рассмотренную задачу можно решить и иначе, если воспользоваться обобщенными функциями и их свертками (см. Дополнение, п. 1 ).
4. Теперь покажем устойчивость решения задачи Ко
кмалым изменениям неоднородности в уравнении. Очевидно, достаточно рассмотреть решение с нулевыми
начальными данными. Такое решение представляется фор мулой (29).
60
Т е о р е м а 2. |
|
Пусть |
и(х, t) и v{x, t) суть решения |
|
задач Коши: |
a2uxxAr f1 (х, |
f)=utt, |
||
и: |
||||
и(х, |
0) = 0 |
|
(30) |
|
, -Qj-|<=о = 0, |
||||
V. |
a2vxx-{-f2{x, |
t) = vu, |
||
v (х, |
0) = 0 |
, |
(31) |
|
<=0 = 0 . |
||||
Тогда, каковы бы ни были положительные числа г и Т, существует такое 6 > 0 , зависящее от е и Т, 8 — 8(е, Т), что из неравенства
|
\fi(x, |
t ) - h ( x , 0! < 6 (8, Т) |
(32) |
|
для всех |
значений х |
и для O ^ ts ^ T |
следует неравенство |
|
|
| и(х, t) — v (х, t) | < е |
|
||
для тех же значений х и t. |
формулой |
(29) для |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пользуясь |
||||
решения |
задач (30) |
и (31) и неравенством (32), |
находим |
|
\и (х, t) — v(x, t) [ |
|
|
|
|
|
t х-\-а (I—т) |
|
|
|
|
$ |
1/П1- т ) - / а ( ё . x ) ( d g r f T < |
|
|
|
5 x — a (t —r) |
|
|
|
|
$ |
d Z d T = ^ 2 a ( t - T ) d T = * - ^ ^ l £ - . |
||
|
0 x —a (t —t) |
0 |
|
|
Если S = 2e/T2, to | u(x, t) — v (x, t) j < |
e. Теорема доказана. |
|||
§8 . Решение краевых задач на полупрямой
1.Обратимся к рассмотрению краевых задач на полу прямой. Предварительно докажем две леммы.
Л е м м а 1. |
Если в задаче Коши (13) —(14) |
начальные |
|
функции ф (х) |
и ф (х) нечетны относительно |
х = 0, то |
|
решение этой задачи и (х, t) |
равно нулю при х = 0> |
||
|
и (0, |
/) н= 0 . |
|
61
Д о к а з а т е л ь с т в о . Полагая в формуле Даламбера, дающей решение задачи Коши (13) —(14), х = 0, получаем
„(О, 0 = Ф ( - ')+ Ф М + ^ f
—at
Поскольку ф (х) — нечетная функция, то ф (— at) = — ф (at).
Поэтому |
ф(— аО + ф(йО = 0- |
В силу нечетности функ- |
||||
|
at |
|
|
|
|
|
ции ф (х) |
интеграл § |
ф (z) dz также равен |
нулю. Поэтому |
|||
и (0 , /) = |
о. |
at |
|
(13) —(14) |
начальные |
|
Л е м м а 2. Если |
в задаче Коши |
|||||
функции |
ф (х) и ф (х) четны относительно |
х —0 , то |
||||
производная их (х, t) |
решения этой задачи равна нулю при |
|||||
* = 0: |
|
М О , 0 |
= 0 . |
|
|
|
Доказательство этой леммы проводится |
аналогично *). |
|||||
2. Рассмотрим однородную краевую задачу |
|
|||||
|
|
оРихх |
иц, |
|
|
(3 3) |
и (х, |
0) = ф (х), |
щ(х, 0) = ф(х) |
для |
0 ==сх<оо, |
||
|
|
« (0 , о = о. |
|
|
|
|
Полагаем ф (0) = ф (0) = 0.
Для ее решения нельзя непосредственно воспользо ваться формулой Даламбера, так как входящая в эту формулу разность x — at может быть и отрицательной, а для отрицательных значений аргумента начальные функ ции ф(х) и ф(х), согласно (33), не определены.
Мы будем действовать следующим образом. Продолжим функции ф (х) и ф (х) нечетным образом на отрицательную часть оси х и обозначим через фх (х) и фх (х) продолжен
ные таким способом функции: |
|
|
|||
|
Ф ( * ) . |
х^г 0 , |
Фх (х ) = |
ф (х), |
xSsO, |
Ф х ( * ) |
— ф(— X), х < 0 , |
— ф(— х), |
х < 0 , |
||
|
|
||||
Тогда функция |
|
|
а:+ at |
|
|
|
и (х f ) = *Рг(*—а/)+Фх (х + а() |
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
+ 2Т 3 ^ i ( z) dz |
|
|
и будет решением краевой задачи. |
x — at |
|
|||
|
|
||||
Действительно, она удовлетворяет однородному волно |
|||||
вому уравнению, |
поскольку |
является суперпозицией пря |
|||
*) Использовать нечетность производной ф' (х).
62
мых и обратных волн. Краевому условию она удовлетво ряет в силу леммы 1. Проверим начальные условия:
и (х, 0) = |
|
~ Sj ф* (г ) dz = ф! (х) = ф (х) |
|||
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
ДЛЯ Х2г0, |
Ut (X, 0) = |
Г |
^ х) + аЬ .М )__f_ |
[афг (х) -f йф! (х)] = |
||
|
|
|
|
= Фь (*) = Ф( х ) для х ^ О . |
|
Таким образом, начальные условия также удовлетворяются. |
|||||
Краевая |
задача |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
(34) |
и (х, 0) — ф(х), |
щ(х, 0) = ф(х) |
для 0 < * < с о , |
|||
|
|
|
их (0 , ^) = О |
|
|
решается |
аналогично, но при |
этом |
начальные функции |
||
ф(х), ф(х) продолжаются четным образом на отрицатель |
|||||
ную часть прямой. |
характеристик можно также построить |
||||
3. |
Методом |
||||
решения однородных краевых задач на конечном отрезке с краевыми условиями первого и второго типа. Для определенности рассмотрим первую краевую задачу
ц(х, 0) = ф(х), щ(х, 0) = ф(х), 0 ( |
3 5 ) |
||
u (0 , 0 = 0 > |
и (L> 0 = 0 > ( 2 s 0 . |
|
|
Для построения решения продолжим начальные функ |
|||
ции ф (х) и ф (х) на всю прямую нечетным образом |
отно |
||
сительно точек х = 0 и |
х = /. Обозначим через q>2 (x) и |
||
ф2 (х) продолженные таким способом функции *). |
Тогда |
||
функция |
x+at |
|
|
и(х. |
+ х $ - Ь й * |
|
|
_______________ |
x — at |
|
|
*) Если функция ф (х) нечетна (четна) относительно |
двух точек: |
||
х = 0 и |
х — 1, то она периодична с периодом 21. Действительно, по |
свойству |
нечетности функции ф (х) относительно х = 1 имеем тожде |
ство ф (l— z) з= —ф (/ + г). Полагая здесь |
г— х-{-1, получим ф(— х) = |
|||
= —ф (х + 2/). Так как ф (— х) = |
—ф (х), |
то ф (х + 2/) == ф (х). Поэтому |
||
начальные функции ф (х) |
и ф (х) |
следует |
продолжить нечетным |
обра |
зом на отрезок (— I, 0), |
а затем периодически, с периодом |
21, на |
||
всю прямую. |
|
|
|
|
63
и будет решением краевой задачи. Краевым условиям эта функция удовлетворяет в силу леммы 1. Начальные усло вия проверяются непосредственно, как в задаче на полу прямой.
§9. Отражение волн на закрепленных
ина свободных концах
Решение краевых задач (33) и (34) можно написать в форме (15):
и(х, ^ = Ф(х — & )+ Р(х + &).
Будем интерпретировать и как отклонение. Вдоль харак теристики x — at = c1 отклонение, обусловленное прямой
волной, |
постоянно: Ф (х — at) = Ф (су). Вдоль |
характери |
|
|
стики x-\-at — c2 откло |
||
|
нение, |
обусловленное |
|
|
обратной волной, по |
||
|
стоянно: |
|
F (х -f at) = |
|
— F (с2). Таким образом, |
||
|
возмущения распростра |
||
|
няются |
по |
характери |
|
стикам. |
нахождения ве |
|
|
Для |
||
|
личины |
в |
отклонения |
|
и (*„, ^0) |
фиксирован |
|
В == {у> |
ной точке (х0, /,,) области |
||
ОД > 0} через точку (х0, tn) плоскости :(х, t) про |
|||
ведем две характеристики |
x — at = x0 — atn и x-\-at = x0+ |
+ at0, пересекающие ось |
х соответственно в точках — лу |
и х2 (рис. 9). Отклонение и (х0, t0) в точке х0. в момент времени t0 можно рассматривать формально как сумму отклонения, обусловленного обратной волной, пришед шей из точки (х2, 0), и отклонения, обусловленного пря
мой волной, пришедшей из точки |
(— ху, 0). Но точка |
(— х1г 0) не принадлежит области |
5 = { х ^ 0 , t^sO} и |
начальные условия в задачах (33) и (34) не заданы в точке — хх.
Однако из |
краевого условия задачи |
(33) |
следует, что |
||
|
Ф (— z) = — F (г). |
|
|
|
|
Следовательно, |
Ф (— лу) = — F (лу). |
Поэтому |
вместо пря |
||
мой волны, идущей из точки — лу, |
можно |
рассматривать |
|||
обратную волну, вышедшую в момент t = |
0 |
из симметрич |
|||
64
ной точки хх. Эта обратная волна за время tx дойдет до точки х = 0. С момента t — t1 ее надо заменить прямой волной, вышедшей из точки х = 0 в момент t = tx и несу щей величину отклонения, равную — Ф (— Xj). Таким образом, при соблюдении краевого условия и (0 , /) = 0 на конце х — 0 происходит явление отражения с сохранением величины отклонения, но с изменением его знака на про тивоположный.
Аналогичным образом устанавливается, что при соблю дении краевого условия ur (0 , 0 = 0 на конце х = 0 проис ходит явление отражения с сохранением величины и знака отклонения.
§ 10. Решение задачи о распространении краевого режима на полупрямой
Рассмотрим неоднородную краевую задачу на полу прямой
|
|
Cl~tlx x - Utf, |
|
|
и(х, 0) = ф(х), |
щ{х, 0) == гр (х), х > 0 , |
|
||
|
и (0 , |
^) = (я (/), |
t> 0 . |
|
Ее можно разбить на две задачи: |
|
|
||
1) однородная |
краевая задача |
|
|
|
|
|
a2vxx = vH, |
|
|
v(x, 0) = ср (х), |
Vt (х, 0) — Ф (х), |
х > 0 , п(0 , 0 |
= 0 ; |
|
2 ) задача о распространении краевого режима |
|
|||
|
a2wxx = wtt, |
|
|
|
w(x, 0) = 0 , |
wt {x, |
0) = 0 , |
t) = pi (t), t> |
0 . |
Тогда u = v-\-w. |
|
мы уже умеем решать. Займемся |
||
Задачу для v (x, t) |
||||
задачей о распространении краевого режима. |
|
|||
Поскольку единственной причиной возникновения воз мущений является краевой режим, будем искать решение
в виде прямой |
волны |
|
|
|
|
kw(x, |
t) = 0 (x — at). |
|
|
Из начальных |
условий |
находим |
w (х, 0) = Ф ( х )^ 0 |
для |
х > 0 . Очевидно, условие wt (x, |
0) = — аФ'(х) = 0 |
для |
||
3 В, Я. Арсенин |
65 |
х > > 0 также будет выполнено. |
Из |
краевого условия нахо |
||
дим Ф (— a/) = p(0> f> 0 . Таким образом, |
|
|||
|
О, |
|
z > 0 , |
|
|
Ф (2) = |
г/а) |
г < О, |
|
|
р (— |
|
||
или Ф (г) = г| (— z/а) р (— z/a), |
где ц (|) — единичная функ |
|||
ция, равная единице для ^ |
> 0 |
и нулю для £ < |
0 . Сле |
|
довательно, |
|
|
|
|
|
w(x, 0 = ч ( * - ! ) ц ( * - £ ) . |
|
||
Аналогично решается задача о распространении крае |
||||
вого режима |
второго типа: их (0, |
t) — v(t). |
выше, |
|
Используя |
явление отражения, рассмотренное |
|||
легко решить задачу о распространении краевого режима первого или второго типа на конечном отрезке*).
Методом характеристик можно было бы решить еще ряд задач, относящихся к одномерному неоднородному волновому уравнению. Однако рассмотренные задачи уже дают ясное представление о возможностях метода харак теристик, поэтому мы ограничимся этими задачами.
§11. Решение задачи Коши для трехмерного
идвумерного волновых уравнений. Формула Пуассона
|
Ряд задач, относящихся к дву- и трехмерному волно |
|||||
вым |
уравнениям |
сводится к задачам, уже разобранным |
||||
в • |
предыдущих |
параграфах. |
Мы |
рассмотрим |
некоторые |
|
из |
них. |
|
|
|
|
|
|
1. |
Задача |
Коши для однородного волнового уравн |
|||
ния в трехмерном пространстве: |
|
|
||||
|
|
|
а2 Аи — ин, |
|
(36) |
|
|
|
и(М, |
0) = <р (М), |
щ{М, |
0) = г|>(Л1). |
(37) |
Для ее решения введем в рассмотрение вспомогатель ную функцию # (г, t) — усреднение искомого решения по сфере SrM с центром в точке М и радиусом г:
а 0 = |
И u {р’ t] dap’ |
(38) |
S M
где Р — переменная точка интегрирования.
*) Читателю предлагается самостоятельно решить эту задачу.
66
Если обозначить под которым виден do = г2 dco. Поэтому
через Ао элемент телесного угла, из точки М элемент площади da, то й можно также записать в виде
а (Г, t ) = ^ jjjj и(Р, t)da>. |
(39) |
Применяя к интегралу в формуле (38) теорему о сред нем значении и устремляя затем г к нулю, получим
S(0, t) = u (М, t). |
(40) |
Таким образом, для нахождения функции и(М, t) доста точно найти функцию й (г, t). Чтобы поставить задачу для функции й(г, t), нам потребуется
Ле мма . Справедливо соотношение
Аи —Дг (и).
[Здесь в левой части лапласиан Ди берется по коор динатам точки М, а в правой части, т. е. Д, (й), — по переменной г. В дальнейшем мы будем опускать значок г
уоператора Д.]
До к а з а т е л ь с т в о . Пусть DrM— область, ограничен
ная сферической поверхностью SrM. По формуле Остро градского имеем
Ш л“‘гт=И !а ‘г‘’ =Иэ>=-
Применяя к последнему интегралу формулу (39), получаем
Аи dx = 4яг2-з-. дг
С другой стороны,
3* |
67 |
Следовательно,
г
jj Р2Аu d p = r2^ .
О
Дифференцируя это соотношение по г, получим
Au = l~fij(r2ur) = A(ii).
Лемма доказана.
Предположим теперь, что решение задачи (36) —(37) существует. Тогда, применяя операцию усреднения по сфере S rM к тождеству а2 Ам == utt и используя лемму,
получаем
или
а2 (тгг-\-2иг) == т и.
Если ввести новую функцию v — ra, то последнее соот ношение можно записать в виде a2vrr= vH. Таким обра зом, функция v (г, t) удовлетворяет одномерному волно вому уравнению.
Применяя операцию усреднения к соотношениям (37), получим
(41)
Пусть Ф1 (г) = гср (г) и tyi (г) = гф (г). Очевидно, что
v(r, 0) = фх (г), vt(r, 0) = tp! (г), v (0, 0 = 0.
Таким образом, для v (г, t) мы имеем следующую задачу на полубесконечной прямой:
a2vrr = vtt,
v(r, 0) = ф1 (г), |
|
vt (r, 0) = %(г), о (0 , |
0 |
= 0 . |
|
||
Для ее |
решения |
начальные |
функции ф! (г) и |
(г) |
|||
надо, согласно § 8 , |
продолжить нечетным |
образом на |
|||||
полупрямую |
(— оо, |
0) |
и для |
продолженных |
функций |
||
Ф2(0 и ф2(0 |
написать |
формулу |
Даламбера. |
|
При |
этом |
|
G8
функции cp(r) и ф(г) будут продолжены четным образом (мы сохраним для^ продолженных функций прежние обо
значения: ср(г) и ф(г)). Решение задачи для v (г, t) будет иметь вид
„ (л () = ^ r+ a t ^ - a , ) + |
’Y ^ {г) йг_ |
|||
Следовательно, |
|
г — at |
|
|
|
г + at |
|||
* (г, D= у - |
• Ы '+ 'Ь + Ы - Ф |
|||
+ ^ ( |
ь {z)dz |
|||
|
|
г — at |
||
Если в этой |
формуле положить |
г = 0, |
то получим |
|
s(o, *)=■§-■
Для вычисления й(0, t) применим правило Лопиталя (учитывая также определение ср2 и ф2):
й (0 , t) = ”2 {ф (а/) -+-ф (—at)-\-atq>' (at) — aU$>' (— я/)} +
+ {я*Ф (at) + аЩ(— ей)}.
Поскольку функции ф (г) и ф (г) четные, а функция
ф' (г) нечетная, то |
|
й (0 , 0 = Ф (at) + aW (at) + ^Ф (at) = |
|
= % \ t(f{at)} + t^{at). |
(42) |
Если мы воспользуемся формулами (40) и (41), |
то из |
соотношения (42) получим формулу Пуассона для иско мого решения задачи Коши (36) — (37):
и(М, t)- |
: ± 1 |
{ [ Ф (Р) da |
1 |
И |
Ф(Р) |
da. (43) |
|
4nadt |
j j |
at |
+ 4яа |
at |
|||
|
|
са£ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qat |
|
|
Таким образом, из предположения о существовании решения задачи Коши для трехмерного пространства сле дует, что оно должно представляться формулой (43). Сле довательно, оно единственно.
2 . Теперь мы можем решить задачу Коши в трехмер ном пространстве для неоднородного волнового уравнения:
я2 Ли + ДМ , f)—-utt,
и (М, О ) - ф (М), щ(М, 0)=ф (М ).
69