книги из ГПНТБ / Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие

§ 6. Уравнения теплопроводности и диффузии

Выведем уравнение, описывающее распределение тем­ пературы в теле.

Пусть и(М, ^ — температура тела в точке М в момент времени t. При выводе уравнения будем пользоваться законом Фурье для плотности потока тепла w в направ­ лении п в единицу времени:

,д и

W — — k ,- .

on

Здесь 6 — коэффициент теплопроводности. Он может быть функцией температуры, точки и времени: k = k(u, М, t).

Рассмотрим часть тела D, ограниченную поверхностью 5. Обозначим через f(M, t) плотность источников тепла. Подсчитаем баланс тепла для D за малое время At:

огде с —коэффициент теплоемкости, р —плотность вещества.

Закон сохранения энергии требует, чтобы Qi = Q2 + Q3> или

Применяя к первому интегралу формулу Остроградского, получаем

^ $ J [div (k VU) + / (М, 0] * = $ $ $ cput dx,

30

Совершенно аналогично выводится уравнение диффу­ зии. При этом надо пользоваться законом Нернста для потока вещества w в направлении п:

п ди w —— D .. .

дп

Здесь и = и{М, t) —концентрация диффундирующего веще­ ства (газа, жидкости), D — коэффициент диффузии. В фор­ муле для Q3 вместо ср надо написать коэффициент пори­ стости с среды, в которой происходит диффузия. Уравне­ ние диффузии имеет вид

По физическому смыслу k и D положительны. Поэтому уравнения (2 1) и (2 2) параболического типа.

Задачи об отыскании установившейся температуры или концентрации приводят, очевидно, к уравнению эллипти­

§7. Кинетическое уравнение*)

1.Впервые кинетические уравнения были введены Больцманом

вкинетической теории газов.

В30-х годах, с возникновением задач нейтронной физики, ки­ нетическое уравнение нашло приложение в вопросах прохождения нейтронов через вещество.

Внастоящее время оно находит разнообразные применения в за­

дачах, связанных с прохождением через вещество элементарных частиц и различных видов излучения (в последнем случае его назы­ вают уравнением переноса).

Гидродинамические уравнения Эйлера и Навье — Стокса являются приближениями к строгому кинетическому уравнению Больцмана.

Рассмотрим кинетическое уравнение, описывающее процесс рас­ пространения нейтронов в некотором веществе. Это уравнение выво­

на нейтроны равно нулю. Если бы мы выводили кинетическое урав­ нение для электронов в плазме, то такое предположение было бы неверным.

2)Частицы (т. е. нейтроны) между собой не сталкиваются (кон­ центрация нейтронов гораздо меньше концентрации ядер в реакторе).

3)Ядра среды считаем неподвижными. Пренебрегаем химиче­ скими связями.

*) Этот параграф написан с участием А. Ф. Никифорова.

31

При этом возможны следующие процессы:

а) Рассеяние нейтронов на ядрах. Пусть a s —вероятность рас­ сеяния одного нейтрона на единице длины его пути в заданной среде (по-английски рассеяние —scattering).

б) Поглощение (захват) нейтронов ядрами. Пусть а с—вероят­ ность поглощения нейтрона на единице длины его пути (по-английски захват — capture).

в) Поглощение с последующим делением ядра, в результате ко­ торого из осколков ядра в момент захвата нейтрона ядром испу­ скаются в среднем v нейтронов (запаздывающими нейтронами, кото­ рые вылетают из осколков через некоторое время после деления, будем пренебрегать). Пусть а / —соответствующая вероятность вызвать

2.Пусть ¥ (г, v, () — функция распределения нейтронов по к

ординатам и по скоростям, так что ¥ (г, v, t) dr dv — число нейтро­ нов в элементе объема dr = dx dy dz со скоростями, лежащими в «интер­

Общее уменьшение за счет всех трех упомянутых процессов бу­ дет равно

¥ (г, v, t) dr dv а (и) v dt.

длины vdt.

32

3) Пусть ws (v' —*• v) dv есть вероятность нейтрону, имеющему скорость v', рассеяться после соударения с ядром в «интервал» ско­ ростей (v, v-\-Av), т. е. получить скорость из «интервала» (v, ■р + Лт>)- Короче будем выражать это словами: при рассеянии скорость

нейтрона изменилась с v' на v.

Тогда число нейтронов, скорость которых v' в результате рас­ сеяния на ядрах, содержащихся в dr, изменится по величине и на­ правлению так, что станет равна v, будет равно следующему инте­ гралу по всем возможным значениям скоростей т»':

^ dv' ['F (г, v', t) dras (v') v' dt ws (v' — v) dv],

V'

4)Число нейтронов со скоростью v, появившихся в результате деления ядер нейтронами со скоростями v', из аналогичных сообра­ жений равно

^ dv' [¥ (г, v 1, t) dr af (v') v' dt Wf (v' —* v ) d v v (v')].

Следовательно, баланс нейтронов запишется в виде

¥ (r — v dt, v, t) dr d v — ¥ (r, v, t) dr dv —

— ¥ (r, v, t) a (v) dr dv -vdt-\-

+ ^ Y (r, v', t) a s (v') ws (v' — v) dr dv ■v’ dt dv' +

V '

+ ^ *F (r, v', t) ctf (v') v (v') Wf (v' —*■v) dr dv ■v dt dv’ +

V '

+ F(r, v, t) dr dv dt = ^ 4 f (r, v, t ) d r d v d t .

Так как

T (г, я, t) — ^ (г —v dt, v, t) — -jjjp v dt = (v grad Y) d t ,

то после суммирования и сокращения на dr dv dt получим кинети­ ческое уравнение, описывающее процесс распространения нейтронов в среде, в виде

dV

-qj grad ¥ = — сто1? + F (г, v, t) +

+ § [as (v') ws ( v ' —* v)-j-v (v') a./(v')Wf (v' — v)]4.r (г, v', t) v'dv. (23)

o '

с—скорость света)*).

3.При исследовании уравнения (23) возникают серьезные ма матические трудности. Поэтому часто ограничиваются рассмотрением случая, когда скорости всех нейтронов одинаковы по величине (одно­ скоростное кинетическое уравнение). Точнее, рассматривают уравне­ ние при дополнительных предположениях:

Рассеяние происходит без изменения величины скорости, и при

делении возникают нейтроны той же энергии, что и вызывающие деление.

Для упрощения уравнения .предположим дополнительно, что распределение нейтронов после рассеяния и деления равномерно по направлениям скоростей в рассматриваемой системе координат, или, как говорят, изотропно.

гораздо больше размеров ядра. В лабораторной системе отсчета при этом условии рассеяние можно считать изотропным, если лаборатор­ ная система практически совпадает с системой центра тяжести, т. е. рассеяние нейтронов происходит на тяжелых ядрах, которые мы предполагаем в лабораторной системе покоящимися.

Проще всего односкоростное кинетическое уравнение можно по­ лучить, если повторить вывод кинетического уравнения для односко­ ростного случая при перечисленных дополнительных предположениях.

распределения Чг (г, I, t) в односкоростном случае по определению

34

В результате для функции W (г, /, t) получим следующее урав­ нение:

£2'

Здесь а = а 3-\-ас-\-ар, P= a 5 + vay. Кроме того, мы предположили здесь для простоты, что источников нейтронов нет.

Если в уравнении (24) функция Y (г, I, t) зависит по простран­ ству лишь от одной переменной х, а зависимость от I характери­ зуется лишь углом 0 между осью X и направлением скорости I (ази­ мутальной зависимости от угла ф нет), то возможны дальнейшие упрощения. Так как dQ = sin 0 dQ dip, то после интегрирования в пра­ вой части (24) по углу ф получим

Будем считать, что распределение нейтронов по пространству имеет вид (близко к равновесному) ¥ (х, р) = а (х) -|- b (х) р. Здесь второе слагаемое носит характер поправки к первому (Ь<^.а). В этом приближении

1

Мы получили систему двух уравнений для двух функций ¥ 0 и ¥ х. Удобно перейти от функций ¥„ и ¥ х к концентрации нейтронов п и плотности потока нейтронов j в направлении х. Имеем

1 1

п = ( ¥ (х, р) dp — ¥ 0, / = Г ор¥ (х, р) dp = о¥х.

- 1 - 1

Перепишем систему (30), вводя функции п и / вместо ¥ 0 и ¥ х:

Положим v/(3a) = D. Тогда первое из уравнений дает закон Нернста, где D — коэффициент диффузии, а второе —уравнение диф­ фузии в одномерном стационарном случае:

Член v (Р — а) п представляет источники.

Заметим, что полученные уравнения справедливы и в анизотроп­

36

§ 8. Типы краевых условий. Постановка краевых задач

1 . При решении задач физики или других областей науки математическими методами необходимо прежде всего дать математическую постановку задачи, а именно:

а) написать уравнение (или систему уравнений), кото­ рому удовлетворяет искомая функция (или система функ­ ций), описывающая исследуемое явление;

б) написать дополнительные условия, которым должна удовлетворять искомая функция на границах области ее определения.

При решении каждой конкретной физической задачи математическими методами надо ставить вопрос не о реше­ нии соответствующего уравнения, а о решении математи­ ческой задачи в ее полной постановке, вместе с соответ­ ствующими дополнительными условиями. Обычно интере­ сующие нас явления имеют однозначный характер, в то время как описывающие их уравнения имеют множество решений. Поэтому при математической постановке задачи недостаточно написать уравнение (или систему), которому удовлетворяет искомая функция (система функций). Надо также указать дополнительные условия, позволяющие выделить лишь одно интересующее нас решение, описы­ вающее конкретное явление, процесс. Дополнительных условий должно быть «не слишком много», чтобы суще­ ствовало решение, удовлетворяющее им. Таким образом, дополнительные условия должны обеспечить существование и единственность решения.

Характер дополнительных условий мы покажем на примерах задач, рассмотренных в предыдущих параграфах.

точек струны (стержня).

Это начальные условия. Аналогичный вид они имеют

37

то мы будем называть такие дополнительные условия

краевыми (граничными) условиями первого типа.

Если задан закон изменения силы, приложенной к концу струны (стержня) и действующей в направлении колеба­ ний, то режим на концах можно записать следующим образом:

действующая вдоль оси х. Тогда сила натяжения Еих на конце будет уравновешиваться силой действия пружины, равной сш. Краевой режим на этом конце можно записать следующим образом:

Eux (l, t) = — сш(/, t),

где. а — коэффициент жесткости пружины, или

Для дву- и трехмерного случаев рассмотренные типы краевых условий имеют следующий вид:

приводящих к уравнениям параболического типа. Так, если задается температура на поверхности тела, то имеем краевое условие первого типа. Если задается плотность

38

*

потока тепла — , ди через поверхность тела S, то имеем

краевое условие второго типа. Если же на поверхности тела происходит теплообмен со средой, имеющей темпера­

торые из них мы рассмотрим позднее. Рассмотренные типы краевых условий являются линейными, поскольку искомая функция или ее производные входят линейно. Они назы­

в задачах, приводящих к уравнению эллиптического типа. Физическое истолкование каждого из них не представляет никаких трудностей.

Краевые условия определяются физической постановкой

нию (36) (соответственно (37)) и дополнительным условиям:

вий можно записать одним соотношением

{T i(M )^ + y2 ( M) n } 5 = P(M, t).

39