5. Проиллюстрируем применение функций Бесселя ряда их свойств к решению краевых задач.
П р и м е р . |
Решить |
задачу об остывании однородного бесконеч |
ного круглого |
стержня |
радиуса R, на поверхности которого все |
время поддерживается нулевая температура. Начальная температура
|
|
|
|
|
|
|
|
внутренних точек стержня задана и равна ср (г). |
найти |
решенйе |
Математическая |
постановка |
задачи: |
требуется |
и (г, t) уравнения |
Ди = - а-м/ для |
t > 0 |
и 0 s £ r < /? , |
удовлетворяю |
щее следующим начальным и краевым условиям: |
|
|
и (г, 0) = |
ф(г), |
u(R,() = 0, |
(и(0, 0 |< о о . |
|
Р е ш е н и е . |
Разделяя |
переменные |
и (г, 0 = Ф (г) W (t), |
находим |
Ф ' + — Ф ' + ХФ =0, Ф (Р )= 0 , | Ф (0) | < оо,
Ч (1) = Се~ХаЧ, г д е ? ,> 0 .
Общее решение уравнения для Ф (г) можно записать в виде
Ф (r) = AJ0 ( V lr ) + BN0 (J/Xr).
Здесь Л/д ( У hr) — линейно независимое с J0 (V~Xr) |
решение уравне |
ния для Ф (г). По следствию из теоремы § |
1 N0 (l^Xr) неограничена |
в окрестности |
г = 0. |
Поэтому из |
условия |
ограниченности искомого |
решения находим В = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
Ф (г) — AJ0 |
|
Очевидно, |
можно |
положить |
А = 1. Из краевого условия |
при r = R находим уравнение для опре |
деления собственных |
значений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 0(р)=0, |
p= |
|
|
|
|
|
По теоремам |
1—3 это |
уравнение |
имеет бесконечное число |
простых |
вещественных |
корней |
Pi < |
Цг < • • • < |
Рл < |
• ■■По |
ним |
определяем |
собственные значения |
Х/г = |
ц“/Р 2 |
и |
собственные |
функции |
задачи |
Мы будем предполагать полноту этой системы собственных функ ций и разложимость функции ф (г) в ряд по собственным функциям
Решение исходной задачи ищем в форме ряда
2
со Чп
Коэффициенты ряда Сп находим, используя начальные условия и свойство ортогональности функций Бесселя:
оо
Умножаем это тождество на rJ, \\>\Rь г и полученный результат
интегрируем по г на промежутке [0, /?|. С учетом ортогональности функций Бесселя и формул для квадрата их нормы получим
R
jjr y ( r ) j J t g r ) d r = = C k R*{Jo(V-k)]2-
Следовательно,
гф С'-) Н ( ^ r]dr.
Ск
З а м е ч а н и е . Для приближенного решения задачи достаточно ограничиться несколькими первыми членами ряда, например:
|
U (г, |
() =5= Схе |
|
|
|
|
|
|
• м ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pi и р2 находим в таблицах |
значений J0 (х): |
|
|
|
|
|
|
р1 = 2,4048, |
pi2 = 5,5201. |
|
|
|
6. |
Приведем |
без |
доказательства |
некоторые теоремы |
о разложении функций в ряды Фурье по функциям Бес |
селя. |
Эти |
теоремы |
уточняют |
общую |
теорему |
Стеклова |
(гл. IV, § 2) о разложении функции |
в ряд Фурье по соб |
ственным функциям для частного случая, когда собствен |
ными функциями являются функции Бесселя. |
|
Предварительно напомним одно определение. |
|
Функция |
f (х) называется |
абсолютно интегрируемой |
на промежутке (а, |
Ь), |
|
|
|
|
ь |
; / (х) , dx имеет ко- |
если |
интеграл |
^ |
нечное значение. |
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
кусочно-непрерывная |
Т е о р е м а |
6. Если функция / (х) |
и кусочно-гладкая на [0, |
/], |
то ее ряд Фурье по функциям |
Бесселя Jv [ |
xj (v^s —0,5) сходится к у [fix + 0)-j-/(x — 0)] |
в каждой точке х е |
(0, |
I). Для х = 1 он сходится к f (/ — 0). |
При v > 0 для х = 0 он сходится к нулю. |
|
Т е о р е м а |
7. Пусть функция / (х) |
обладает свойст |
вами: а) абсолютно |
интегрируема на промежутке (0, /); |
б) непрерывна на отрезке [а, Ь] (0 |
а < 4 'V /); |
в) имеет |
абсолютно интегрируемую на {а, Ь) производную. Тогда |
ряд Фурье этой функции по функциям |
Бесселя Jv !'1'1х ] |
(v |
-0 ,5 ) |
сходится равномерно к / (х) |
на всяком отрезке |
[а+ |
6, b —6], |
где 0 < 8 < (b — а)/2. |
Если |
Ь = 1 и f(l) = 0, |
то |
сходимость |
будет равномерной |
на |
всяком |
отрезке |
[а+ 8, /]. |
|
|
|
|
уравнения Jv (z) = 0. |
|
Здесь р„ — положительные корни |
|
З а м е ч а н и е . |
Утверждения теорем 6 и 7 справедливы |
также в случаях, |
когда р„ — положительные корни |
урав |
нения |
|
|
zJv (z) + hJv (г) = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если дополнительно потребовать, чтобы v = — h, |
а |
в тео |
реме 7 опустить |
условие f (/) = 0. |
|
|
|
|
Т е о р е м а |
8. |
|
Если f (х) |
непрерывна и дважды диффе |
ренцируема на отрезке [0, /] |
и / ( 0) =/ ' (0) = 0, афф (/)-}- |
-}- аф (/) = 0, то ее ряд Фурье по функциям Бесселя Jv [ х\
порядка v 5s 0 сходится равномерно к / (х) на отрезке [0, I].
Здесь ^„ — положительные корни уравнения a±zJy (z) + а 2JV(z) = 0.
§5. Функции Ганкеля
1.Третий класс цилиндрических функций мы построим следующим образом. Будем искать решение уравнения (1)
ввиде контурного интеграла
w (z )= \K (z ,l)v (l)d t, |
(36) |
с |
|
где К (z, £) —некоторая заданная функция, а и(£) — не известная функция. Подставляя эту функцию w(z) в левую часть уравнения (1), получим
|
L [w] = ^ {z*Kzz + |
zKz+ z*K - v*K\ v (£) dl. |
(37) |
|
c |
|
этом, что контур С и |
|
Мы |
полагаем |
при |
функция |
К (г, I) |
выбраны так, |
что все проделанные выше операции |
были выполнимы. |
|
|
I) выбрать решение уравнения |
Если |
в качестве К (z, |
|
z2KZz+ zKz~Ь z2K + К%%= 0, |
(38) |
то L [w] |
можно записать в следующем виде: |
|
L [w] = — $ (v2/C + |
/С£|) v (|) dl = |
|
|
с |
= |
- |
\K W ' + v*v}dl + {Kv' - K iv }BA, |
|
|
|
|
|
|
с |
|
Эта формула получена путем двукратного интегрирования по частям второго слагаемого; А и В —концы контура интегрирования.
Возьмем в качестве К (г, |) функцию JLg-fcsfnS, а в
качестве v (|) — решение уравнения
v”+ v2v = О,
например ei v Контур С выберем так, чтобы все упомя нутые выше операции были законными и чтобы выраже ние Kv' —К%р на концах контура С, т. е. в точках А и В, обращалось в нуль. Тогда
w (z) = |
е - izsin 6 + л* d\. |
(39) |
с |
|
|
2. Принимая за С контуры Сх и С2 (рис. 33), мы по |
лучим две цилиндрические функции: |
|
Н\ {z) —— { e - iz^ +^ d l , |
|
7i |
J |
|
называемые функциями Ганкеля.
Выкладки, приведшие нас к определению функций Ганкеля, носили формальный характер. Поэтому нам надо показать, что функции Нф (z) и
Нф (г), определенные формулами (40), действительно являются решениями уравнения (1), т. е. имеют производные первого и второго порядка, и что при под становке функций Н'41(г) и //у (г) в уравнение (1) дифференциро вание (первого и второго поряд ка) можно производить под знаком интеграла. Надо дока
зать также, что при указанном выборе контуров Сг и С2 выражение Kv' — K%v обращается в нуль на концах этих контуров.
Докажем ряд свойств функций Ганкеля.
С в о й с т в о 1. Функции Ганкеля определены и непре рывны в области Re z > 0,
Для доказательства этого достаточно *) установить равномерную сходимость интегралов, определяющих функ ции Ганкеля, в области D6 == Re z 2 s б > О, где б — любое положительное число.
Рассмотрим для определенности функцию Щ' (г). На верхней части контура Сх
£ = — я |
+ г'Р ( Р >0) , |
sin g = —- ish{5. |
На нижней части |
контура |
Сх |
|
|
1= Ф (Р < |
0), |
sin | = |
г sh р. |
Следовательно, на этих частях |
контурд Сх функции |
e- 6shp-sp+n<7 и e6shp-ps соответственно будут мажорант
ными для модуля подынтегральной функции (v = s + iq).
СО
Вместе с тем интегралы от этих функций jj g-ashp-sp + it?
о
о
и ^ e6shP_sP dp сходятся. Следовательно, исходный интег-
— СО |
|
|
|
в области Re z ^ |
рал по контуру Сх равномерно сходится |
^ б > 0. Аналогично |
устанавливается |
равномерная схо |
димость интегралов |
|
|
|
\KzVdl, |
\ K ZzVdl, |
\ K n v d l |
(р= 1,2). |
с р |
с р |
|
с р |
|
З а м е ч а н и е |
1. |
При |
всяком фиксированном значе |
нии z из области D6 Нф (z) и Нф1(z) суть функции пере менной V. Функции £-6shp+ Pm+w и g6shp-mp будут мажорантными для подынтегральной функции в (40) соот ветственно на верхней и нижней части контура Сх, если v принадлежит замкнутой области Gm== {RevsCm}. Так как интегралы по верхней и нижней частям контура Сх от указанных мажорантных функций сходятся, то интег рал, определяющий Щ' (г), равномерно (относительно v е e G m) сходится в Gm. Отсюда следует непрерывность Н'ф (г), по v всюду. То же верно и для Н'ф(г). Таким образом,
функции Ганкеля являются непрерывными всюду функциями индекса v.
С в о й с т в о 2. |
Функции |
Ганкеля аналиттны в обла |
сти Re г >■ 0. |
|
|
*) |
См. |
Ф и х т е н г о л ь ц Г. |
М., Основы математического ана |
лиза, т. |
II, |
гл. XVI11, |
изд. 5-е, |
«Наука», 1968. |
Для доказательства этого заметим, что интеграл
$Hv'(z)dz, взятый по любому кусочно-гладкому замкну-
L
тому контуру L, лежащему в области R e z S ^ S X ) , равен нулю. Действительно,
^ Щ 1(г) d z = \ \ e-<-zsin6+tv| yz ^ ^ 0>
L С, L
так как функция e - ‘zsinS при любом фиксированном £ аналитична всюду по г, и поэтому по интегральной тео реме Коши
§ e-izsinldz = 0.
L
Перестановка порядка интегрирования здесь была закон
|
|
|
|
|
ной в силу равномерной сходимости |
интеграла по кон |
туру Сг. |
Тогда по теореме Морера*) |
Щ'(г) аналитична |
в области |
Re z S = 8 > 0 . В силу |
произвольности б Щ'(г) |
аналитична в области |
R e z > 0 . |
Аналогично доказывается |
аналитичность Нф{г). |
Совершенно аналогично устанавли |
З а м е ч а н и е 2. |
вается аналитичность всюду функций Ганкеля по пере
менной V. Таким образом, функции |
Ганкеля суть целые |
функции индекса v. |
|
Поскольку интегралы jj Kzv dl, и |
^ KzzVdl, сходятся |
S |
СР |
равномерно в области RezSs8 ( б>0), то при вычисле нии производных функций Ганкеля дифференцирование
можно производить под знаком интеграла. |
С в о й с т в о 3. |
Справедливы предельные соотношения |
lim |
{К {г, I) v’ (I) - |
г|3->—я+1'со * |
- К ь ( г , £)ИШ = 0, |
R e z > 0 . (41) |
lim
£= *Р-* — (оо
-А Д г , £)у(&)} = 0,
Докажем первое из них. На верхней части контура Cj
К (г, £) и' (£) | = | e - ‘zsint+iv4v | = | v | g-zshp-sp+n? _> о
*) См. Л а в р е н т ь е в М. А., Ш а б а т Б. В., Методы теории функ ций комплексного переменного, «Наука», 1973.
при f}-*-oo; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Къ (z, |
|) v (I) | = |
| — iz cos |e-<zsin£+ «4 ] = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= | z | ch pe-*shp —sP+w _> о, |
при |
P->oo. |
Отсюда следует справедливость первого соотношения. |
|
Второе доказывается аналогично. Таким образом, функ |
ции Ганкеля являются решениями уравнения |
(1), |
анали |
тическими в полуплоскости R e z > 0 . |
|
|
|
|
|
|
3. |
|
Путем |
непосредственного вычисления убеждаем |
в справедливости |
рекуррентных формул |
|
|
|
|
|
m |
. l (z) + H ^ ll ( z ) ^ 2-v H ^ |
(z) |
|
( 6 =1 , 2 ) , |
(42) |
|
^ |
|
| ( г ) - е |
1( г ) ^ - 2 | Я < « ( г) |
|
(6=1, |
2). |
(43) |
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(г) + щ к1 |
J (г) = |
Х |
jj e - ' z s i n | ( e / ( v + i ) i |
+ e ; ( v - i )l)dl = |
|
|
|
|
|
|
" |
ck |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
X |
^ |
iz s i n i + ( ' v 5 |
(g il _ | _ g — * 5 ) |
dc, — |
|
|
|
|
|
|
|
Ck |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= - |
( |
g-izsini+ivs cosldl = ~ |
[ eivtd (e -izsinZ). |
|
|
|
71 |
J |
|
|
|
|
|
171Z |
J |
|
|
|
|
Производя интегрирование по частям, |
получим для |
НГ{г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
Д- |
[ |
eiv*d (е~ ‘zsin£) = |
|
в- -иu sln l + ivl |
~— too |
. |
+ |
|
13X2 |
|
|
|
|
m z |
j |
4 |
|
7 |
|
|
|
\ =—Я+ica |
|
|
|
|
сч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
Т Д S e - 'zsi"£+ /vidg = X l |
J e-izsini+iv^ с11 = Ц н у (z), |
так как подстановка пределов в проинтегрированную часть дает нуль (см. стр. 305). Для Яу’ (г) выкладки те же.
Далее,
Я » ;, (г) — Я<Д, (z) = X ^ e-izsin$+ivi2i sin g dg.
С другой стороны,
2 |
Я<*> ( z) = X jj e - i z s i n i + i v i ( — i s j n ^ (fli' |
Следовательно, верна и формула (43). Легко установить также соотношения
|
|
H—v (z) = |
eivnH\' (2), |
(44) |
|
|
Н-ч (г) = |
еЧх'яНу (z). |
(45) |
Первое |
из них получается |
заменой |
переменной интегри |
рования |
£ = — л — а в |
интеграле |
|
|
|
|
/ / < 1 ) ( Z) = |
J ^ |
g - , ' * s i n i + |
/ v6rf |. |
|
|
|
|
С, |
|
|
Действительно, |
при такой |
замене переменной |
интегриро |
вания контур |
Сг перейдет |
в тот же |
контур, |
но с проти |
воположным обходом. Таким образом, получим
(г) = ~ § e - 'zsin“ +‘va da • eivn= е'ч'лЯ<,‘>(г), |
|
|
с, |
|
|
|
Формула (45) |
устанавливается аналогично |
заменой |
пере |
менной интегрирования |
£ = я —а. . |
линейно неза |
Поскольку |
функции |
Jv (z) и 1Vv (г) суть |
висимые решения уравнения (2), функции Ганкеля должны быть их линейными комбинациями.
Докажем, что в области Re г > 0 справедливы фор
мулы |
|
?WV(2), |
(46) |
Щ (г) = yv(z) + |
ЯЛ (г) == yv (г) - |
iWv (г). |
(47) |
Для их доказательства достаточно установить спра |
ведливость формулы |
|
|
|
Jv (z) — |
Н - » ( г ) + Н р ( г ) |
(48) |
2 |
|
|
|
|
Действительно, заменяя здесь v на — v и используя тож дества (44) и (45), получим
J_v (г) = ~ {е**Ну (г) + е- ivnHW (2)}.
Разрешая соотношения |
(48) и (49) |
относительно |
и Яу’(г), находим |
Jv(z)e-l^ - J _ v(z) |
Hvl (z) = i |
|
sinvji |
’ |
II |
J_v (г)—e‘V3Vv (г) |
sin vrc |
|
|
|
Следовательно, |
|
Hvv (z) - tfv'(z) = |
Vv ( 2) cosvn—7_v (z)}= 25¥v(z). (52) |
|
T |
Из (48) и (52) следуют формулы (46) и (47). Докажем справедливость формулы (48). Поскольку
функции |
Jv (а) и Hjf> (г) |
(k — 1, 2) аналитичны в области |
R e z > 0 , |
нам |
достаточно |
доказать |
формулу |
(48) для |
z — x > 0 . |
|
|
Обозначим |
через /v(z) правую |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
часть формулы |
(48). Тогда |
|
|
|
|
/v (х) = 2'л' |
J * в1п 6 + fv£ dl, |
(53) |
где С0 — контур, изображенный на рис. 34.
Произведем в этом интеграле замену переменной интег рирования
П = -Д р~*(£~ я)
При этом полупрямая (— л + /оо, — я) контура С0 перей
дет в полупрямую |
(+ |
оо, х/2) вещественной оси (в ее |
|
Р |
|
|
нижний берег), полупрямая (л, л + |
|
|
|
- f /оо) — в |
ту |
же |
полупрямую |
|
|
|
|
(х/2, + оо) |
вещественной оси, но |
|
|
|
|
проходимую |
в |
противоположном |
|
|
|
|
направлении |
(в ее верхний бе |
|
О |
|
|
рег); |
отрезок [— я, |
л] —в окруж |
- л |
|
Л |
ос |
ность |
\а \ — х/2. |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, при выбран |
Рис. |
34. |
|
|
ной замене переменной интегри |
|
|
|
|
рования контур С0 перейдет в кон- |
тур y (глXIII, |
стр. |
274), обходимый в обратном на- |
правлении. |
Следовательно, |
|
|
|
|
da
аV i 1
у
|
— giJlv |
е~асГч~1e4a da. |
|
2n |
|
|
Разлагая e*’/(4a) в ряд Лорана по степеням а и произ водя почленное интегрирование ряда, получим
■i e l v a / х \v |
|
x |
1 jj e V * v |
1 |
= |
|
/v W — - 2я |
V2 j |
|
|
\ |
2 |
j |
k \ |
|
|
|
|
|
6 = |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
CO |
(- l)k (x/2)2k+v |
|
|
|
|
|
V |
f |
|
|
|
|
|
L J Г(/г + у + 1 ) Г ( А + 1 ) “ |
|
|
|
|
*= o |
|
|
|
|
Здесь мы |
воспользовались |
формулой |
(7) |
гл. |
XIII для |
вычисления |
интеграла $ |
|
e a a~k |
v'~1 da. |
Таким |
образом, |
у
формула (48) доказана. Мы получили также интегральное представление функции Бесселя Jv (г):
|
|
Jv(z) = 4 n \ e~ iZSini+iVld%- |
|
(54) |
|
|
|
С» |
|
|
|
Разбивая этот интеграл на три интеграла, получим |
|
|
СО |
|
|
оо |
|
|
Л ( г ) = ^ |
^ |
e**sin(ip) + / v n - v p < / p _ j _ |
jj e /Z S in ( / P ) - / Jt V - V p ^ p _ | _ |
|
о |
|
|
о |
|
|
|
|
|
Я |
|
|
|
|
|
+ |
2й S e~izsina+iva da |
(Б = a + |
гр), |
или |
|
|
|
л, |
|
|
|
|
|
|
|
|
Jv(z) = ^ ( e iV3t- e ~ ivJl) |
2ShP—VP с/р |
e~izsin<x+ivada, |
ИЛИ |
|
с о |
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
Jv(z) ■ |
sin JTV jj g- г sh p-vp rfp + 2^ |
jj e-iz s!n a+''va da. |
(55) |
В частности, |
при v —n (n-целое) |
получим |
|
|
|
|
|
Я |
|
|
|
|
|
Jn(2) — ^ |
^ e~iz s!n a+lna da. |
|
(56) |
|
|
|
—Я |
|
|
|
Из этих формул немедленно следует, что для любого це
лого п |
(z = x + iy) |
\Jn(z )\^ c h y |
и |
|
I Jn |
1- |
