книги из ГПНТБ / Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие

Из предположения о малости колебаний следует, что величина натяжения Т, возникающего в струне, не зави­ сит от времени t.

В самом деле, рассмотрим участок (лу, х2) невозмущенной струны. Его длина в начальный момент равна х2 — хи

ав момент t она равна

^V l +uldx.

Xi

Для малых колебаний

§ Y 1 + и'хdx р» ^ 1 • dx = х2 — ху. X, X,

Таким образом, с точностью до членов второго порядка малости по их длина фиксированного участка струны не меняется со временем, т. е. этот участок не растягивается. Отсюда в силу закона Гука следует, что величина натя­ жения Т не меняется со временем (с точностью до членов второго порядка малости относительно их). Следовательно, Т может быть функцией только х: Т = Т (х). Поскольку мы рассматриваем поперечные колебания, нас будет инте­ ресовать лишь проекция вектора натяжения на ось и. Обозначим ее через Ти.

Очевидно,

где р —линейная плотность струны. Пусть f(x, ^ — плот­ ность равнодействующей внешних сил, действующих на струну в направлении оси и.

По второму закону Ньютона изменение количества

20

случае складываются из сил натяжения Тих, приложен-

Х 2

ных к концам участка, и внешних сил \f( l, t)dl,

Это и есть уравнение малых поперечных колебаний участка струны между точками хх и х2 в интегральной форме.

Если и (х, t) имеет непрерывные производные второго порядка, а Т (х) — непрерывную производную первого порядка, то, применяя теорему Лагранжа о приращении функции и теорему о среднем для интегралов в уравне­ нии (1 ), получим

««(£i, та) р (gj) At Ах = ~ [ Т (х) их]х==ъ At Ax + f (ga, т3) At Ах,

Дл:->-0 , получим дифференциальное уравнение малых по­

где а2 = Т/р, F (х, t) —f(x, t)/p. Уравнение (4) называется

одномерным волновым уравнением.

§ 2. Уравнение малых продольных колебаний упругого стержня

Мы будем рассматривать стержень, расположенный вдоль оси х. Введем следующие обозначения: S(x) —пло­

в момент времени t\ при этом мы предполагаем, что вели­

21

чина отклонения всех точек фиксированного сечения оди­ накова *). Очевидно, продольные колебания полностью опи­ сываются функцией u(x,t). Малыми мы будем называть такие продольные колебания, в которых натяжения, возни­ кающие в процессе колебаний, подчиняются закону Гука. Подсчитаем фигурирующее в формулировке закона Гука относительное удлинение участка (х, х + Ах) в момент вре­ мени t. Координаты концов этого участка равны х-\-и (х, t), x + Ax + w(x + Ax, t). Следовательно, относительное удли­ нение участка равно

{[х+ Ах + и (х + Ах, t)]— [х + и(х, /)]}— Ах (х+ВАх t)

(О < 0 < 1).

Таким образом, относительное удлинение в точке х в мо­

сил, действующих на сечение с абсциссой х вдоль оси х. Применяя второй закон Ньютона к участку стержня (Хц х2) (за время At = t2 — t1), получаем

h ) - u t {l, fx)}p(£)S(g)dg =

*1

= 5 {S (x2) k (x2) ux (x2, T) — S (xx) k (xx) ux (x1; x)} dx +

+ 5 / (I, x) dl dx. tl X,

Это и есть уравнение малых продольных колебаний участ­ ка стержня в интегральной форме. Предполагая существо­ вание непрерывных производных второго порядка у функ­ ции и (х, t) и непрерывной первой производной у функций k(x) и S (х), легко находим дифференциальное уравнение малых продольных колебаний стержня:

[S (х) k (х) их (х, t)]+f(x, 0 = р (х) S (х) utt (х, t). (5)

*) Здесь х — абсцисса рассматриваемого сечения стержня, когда последний находится в покое. Таким образом, движение фиксирован­ ного сечения стержня описывается в координатах Лагранжа (см. К о ч и н Н. Е., К и б е л ь И. А., Р о з е Н . В., Теоретическая гидро­ механика, ч. 1, Физматгиз, 1963).

22

Если 5 (х), k(x) и р(х) постоянны, то уравнение (5) при­ водится к виду

a%uxx + F{x, t) = 11ц,

где

а2= kip, F (х, t) — f (x, t)/pS.

Уравнения (3) и (5) по существу одинаковы и разли­ чаются лишь обозначениями (Sk — вместо Т, apS — вместо р). Оба они всюду гиперболического типа, поскольку по са­ мому смыслу Т (х), S (х) и k{x) положительны.

§ 3. Уравнение малых поперечных колебаний мембраны

сопротивление растяжению*).

Мы будем рассматривать малые поперечные колебания мембраны, в которых смещение перпендикулярно плос­ кости мембраны (х, у) и в которых квадратами величин их и иу можно пренебречь. Здесь и = и(х, у, /) — величина смещения точки (х, у) в момент времени t.

Пусть ds —элемент дуги некоторого контура, лежа­ щего на поверхности мембраны, М —точка этого элемента. На этот элемент действуют силы натяжения Т ds. Отсут­ ствие сопротивления мембраны изгибу и сдвигу матема­

*) Например, мембраной иногда можно считать плоскую пластину, толщина которой мала в сравнении с двумя другими измерениями.

23

2) Натяжение Т не зависит от времени t.

Таким образом, площадь фиксированного участка мем­ браны не меняется со време­ нем, т. е. этот участок не рас­ тягивается. Поэтому в силу закона Гука и Г не меняется со временем. Из того, что Т направлен по перпендикуля­ ру к элементу дуги ds, сле­ дует, что Т не зависит также от х и у. Действительно, рассмотрим участок невозму­ щенной мембраны Л1В1В2Л2,

ограниченный отрезками, параллельными координатным осям (рис. 3).

На этот участок действует сила натяжения, равная

Вследствие отсутствия перемещения точек мембраны вдоль осей х, у проекции этой силы на оси х и у равны нулю. С другой стороны, ее проекция на ось х равна

24

Пусть S — участок мембраны в момент времени t, огра­

Сосчитаем величину вертикальной составляющей Р„

Следовательно,

‘‘■=\ т.си=\ тд£ ш =

25

где Р — угол между элементами dt и с?/х. Поскольку |3-<:у

Применяя к этому интегралу формулу Остроградского, получаем

Ри= Т И (и*х + Чуу) dx dy — T ^ A u d x dy.

Предполагая существование и непрерывность соответ­ ствующих производных, легко получить дифференциаль­ ное уравнение малых поперечных колебаний мембраны:

TAu + f(x, у, t) = putt.

Это уравнение, очевидно, гиперболического типа. Если р = const, то его можно написать в виде

где а2 — Т/р, F (х, у, t)= f(x, у, t)/p. Уравнение (8) назы­ вается двумерным волновым уравнением.

§ 4. Уравнения гидродинамики и акустики

Движение сплошной среды характеризуется вектором скорости ®(х, у, г, t), давлением р(х, у, г, t) и плотно­ стью р(х, у, z, t). В качестве такой среды мы будем рас­ сматривать идеальную жидкость (газ).

26

Рассмотрим некоторый объем жидкости D, ограничен­ ный поверхностью S. Давление, действующее на этот объем, равно

SS pnds, s

где л —единичный вектор внутренней нормали к S. По формуле Остроградского получим

l\p n d s = - ] ^ p d x ,

S D

где Vp —градиент р.

При отсутствии внешних сил уравнение движения объема D можно написать в виде

в единицу времени количества жидкости, заключенной внутри D, равно потоку жидкости через границу 5, т. е.

а-$$$рЛ=-И р(®'я,Л-

D S

Применяя к правой части формулу Остроградского, полу­ чаем

|/ + div (р«) dx — Q,

откуда следует уравнение неразрывности среды

Рассмотрим адиабатические движения газа, для которых справедливо соотношение

27

где у — cplcv, ср, cv— удельные теплоемкости соответственно при постоянном давлении и постоянном объеме; р0, р0 — начальные значения давления и плотности. Нелинейные уравнения (9) —(11) образуют полную систему уравнений, описывающих адиабатические движения идеального газа.

Они называются уравнениями газодинамики.

Введем в рассмотрение уплотнение газа а:

в которых можно пренебречь вторыми (и более высокими)

div (p© )^p0 div[(l +о)©] «а p0 div(©) (если p0= const).

Поэтому, отбрасывая в уравнениях (9) и (10) члены более высокого порядка малости, получаем

Из соотношений (12), (13) и (14) находим аналогичные уравнения для р и р:

28

Таким образом, и потенциал поля скоростей удовлетво­ ряет волновому уравнению.

§5. Уравнения для напряженности электрического

имагнитного полей в вакууме

Напишем уравнения Максвелла в вакууме для области, в которой нет электрических зарядов:

По известной формуле векторного анализа

rot rot Е = V (div Е) — АЕ.

В нашем случае rot rot Е — — АЕ, поскольку div Е = 0. Подставляя это значение в формулу (19) и используя последнее уравнение системы (18), получаем волновое уравнение для Е:

Аналогично (путем применения оператора rot к обеим частям последнего уравнения системы (18)) получается уравнение с2А Н = Н н.

29