Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

145

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

13.99 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 4423 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

где Р* e D , т = $ р dxP— суммарный заряд. Отсюда и сле дует свойство 5 ’

П р и м е р 1. Найдем объемный потенциал равномерно заряжен ного шара D радиуса R. Очевидно, искомый потенциал есть функция расстояния г от центра шара до точки наблюдения:

и(М) = и (г).

Ci+

Вне шара D Ди = 0, следовательно,

С2-

По свойству 5

и(г)-* 0 (г

оз). Следовательно, С2

0. Внутри шара D Дц =

— 4яр,

или

(гги') —

4ярг2. Следовательно,

и (г) =

\-В для

яг2р-)------

d rx

объемный

’

' г

r s ^ R . Поскольку

потенциал

ограничен всюду, то Л = 0 .

Из условия

непрерывности

потенциала

и его

производных

первого

порядка находим

- £ п ф р + В = -*- и

nRp = - ^ i ,

B — 2nR2p. Таким

откуда Ci =

3 я # 3р,

образом,

3' я (3R2 — r2) р,

ц(г) =

З а м е ч а н и е .

Объемный

потенциал

можно записать

в виде свертки

(по переменным х,

у,

фундаментального

решения ^

—^ ( ^ Ч ^ Ч - г 2)-0 ,5

уравнения Лапласа Дц = 0

(А (4-^у) =

— ^ (х,

у, z)j

с функцией 4jtp(x, t/,

г):

и(М) = (у * р ) =

р(|. л. О

Р (Р) drp

V(,x-iy+(y-r\)2+ (z-l?

rMP

§ 2 . Потенциал простого слоя

Пусть заряды (массы) распределены по поверхности S

с плотностью р(Л). Потенциал

поля,-

созданного

этими

зарядами,

равен

у (М) = f

daP.

(17)

ГМР

Этот интеграл называется потенциалом простого слоя.

В дальнейшем мы будем считать, что функция р (Р) огра

220

ничена, |р ( Р ) |^ Я , а поверхность 5 является поверх ностью Ляпунова. Поверхность S называется п о в е р х н о с т ь ю Л я п у н о в а , если она обладает следующими свойствами:

1) в каждой точке поверхности 5 существует каса тельная плоскость;

2) для каждой точки Р поверхности S существует

такая окрестность SP, что всякая			прямая,	параллельная
нормали в точке	Р, пересекает SP не более			одного раза;
3) угол у(Р,	Р1) = ( п р , n Pl),		образованный		норма
лями п Р и nPi в точках		Р и Ръ	удовлетворяет		следую
щему условию:
	у ( Р ,	P J < A r 6PPl,

где А и б —некоторые постоянные и 0 < б < 1. Рассмотрим некоторые свойства потенциала простого

слоя.

С в о й с т в о 1. П о т е н ц и а л п р о с т о г о с л о я о п р е д е ле н

в с ю д у .

Для точек М, не принадлежащих несущей поверх ности S, это очевидно. Если M e S , то интеграл (17) является несобственным по двумерной области 5. Изве стно, что несобственный интеграл по двумерной области

е dop

\ “а

', Г М Р

абсолютно сходится,	если а < 2	*). В нашем случае а = 1,
следовательно, интеграл (17) сходится.
С в о й с т в о 2.	Потенциал	простого слоя непрерывен
всюду.

Если М ф S, то интеграл (17) не является несобствен ным и его непрерывность непосредственно следует из не прерывности подынтегральной функции 1/гМР.

Если M0 e S , то достаточно доказать равномерную сходимость интеграла (17) в окрестности точки М0. Оценим

интеграл

Г Р(P)dop

Vi(M)= }

'МР

по части поверхности S%„ (Sm0 d		S), содержащей точку М0
и имеющей диаметр, меньший 8 ,		cI ( S m 0) < 8 . Для	этого
*) См. Т о л с т о в	Г. П., Курс математического анализа,		т. II,
гл. XX, Гостехиздат,	1957.

221

воспользуемся системой координат с началом в точке М0,

ось z которой	направлена по нормали к поверхности S
в этой точке.	Пусть М (х, у, г) — произвольная точка,

отстоящая от точки М0на расстоянии, меньшем б, ММ0< 6 .

Обозначим	через		проекцию поверхности S%a на пло-
скость (х,	у),		лА	круг на плоскости (х, у)
		а через
с центром	в	точке	Мх (х, у,	0) радиуса 26. Очевидно,

Проекция на плоскость (.х, у) элемента поверх ности da равна ds = da ■cos у, где у — угол между нор малью к поверхности 5 и осью г. Очевидно,

dap

М М ) [ < Я		f	V (х— I)2+		((/ — #		+	(г — О 2
		3М0	dac
			dac						rfs
Н	УV( x —l ? + ( y —n ) 2					:	H	Уcosy Y{ x - lf+(y~x\f
’Mo								-Mo
По третьему свойству поверхности Ляпунова б можно
взять настолько			малым,		чтобы для точек Р (= 5 ^ 0 иметь
cos у Эг 1/2. Поэтому будем иметь
vx (М) \| С				ds					ds
< 2 Я		$		ds					ds
< 2 Я		$
	2	6 V (х—1)2 + (у —ц )2							V ( X- i ) 2+ ( y ^ W ’
	2	Мо
Вводя полярную систему координат с началом в точке Мх,
легко вычислить последний интеграл, он равен
					26 2П
	2Н				jj		dr dq>=		8лН8.
		•,26			о	о
		*М,
Чтобы интеграл			\| vx (М) \|		был	меньше			заданного	числа е,
достаточно	взять		б <	1/(8яЯ).			простого слоя			является
С в о й с т в о			3.	Потенциал			простого слоя			является
гармонической функцией всюду,						кроме точек несущей поверх
ности S.							как для точек М ф S инте
Это свойство очевидно, так							как для точек М ф S инте
грал (17) не является несобственным, поэтому
		До=		$р ( Р ) Д				daP= 0.

222

С в о й с т в о 4. Если несущая поверхность S ограни чена, то потенциал простого слоя стремится к нулю,

когда точка М	стремится к бесконечности.
Для доказательства этого применим к интегралу (17)
теорему о среднем значении:
v(M)==r ^ - \ p(P)dGp = - ^ - ,			(18)
	rMP* j	rMP*
где P* e= 5, m -- ^ p da — суммарный		заряд,
	s	следует свойство 4.
Из формулы (18) непосредственно
С в о й с т в о	5. Нормальные производные		потенциала

простого слоя имеют разрыв первого рода в точках поверх ности S со скачком, равным 4др (Л4 ).

На доказательстве этого свойства мы останавливаться не будем *).

Для двумерного случая (плоскости) потенциал простого слоя имеет вид

v(M)= f p ( P ) l n P - W .

рV rMP j

Для него справедливы свойства 1—3. При стремлении точки М к бесконечности он стремится к оо, как In гМР. Скачок нормальных производных в точках кривой С равен 2яр (М). Доказательства всех этих свойств проводятся аналогично трехмерному случаю, поэтому мы не будем повторять их.

§3. Потенциал двойного слоя

1.Пусть в точках Р± и Р2 (рис. 22) расположены заряды величиною — е и е. Потенциал электростатического поля, созданного этим диполем, равен

W ( М)=е [7

\ГМ Р 2 ' М Р 1

или

w ( M ) = e h - t ( - 1

мр р = р *

где Р* —некоторая точка отрезка РгР2 и производная берется по направлению п отрезка от Рг к Р2 (оси диполя),

*) См. П е т р о в с к и й И. Г.,	Лекции об уравнениях с частными
производными, изд. 4-е, «Наука»,	1965.

223

h —расстояние между точками Рх и Р2. Величина eh — v называется моментом диполя. Если мы будем сближать точки Рх и Р2, сохраняя момент диполя v (увеличивая при этом величину зарядов е), то в пределе (при /г->- 0) получим точечный диполь, расположенный в точке Р, потенциал которого равен

w (М) = v дп \ гмр

где производная берется по координатам точки Р в напра влении оси диполя.

Пусть S — двусторонняя поверхность с непрерывно меняющейся касательной плоскостью. Это означает, что если в некоторой точке Р этой поверхности выбрано положи тельное направление нормали пР к поверхности и точка Р движется по любой замкнутой кривой (ле жащей на S), причем направление нормали меняется при этом непре рывно, то при возвращении в ис-

у	ходную точку направление норма
Рис. 22.	ли совпадает с исходным. Е1а этой
Рис. 22.	поверхности можно в каждой точ
	ке одно из направлений нормали

принять за положительное, так что единичный вектор этого направления п будет непрерывным на поверхности. Мы будем предполагать, что такое положительное напра вление выбрано.

2.Если на двусторонней поверхности 5 распределен

диполи с плотностью моментов v (Р) так, что оси их

в каждой	точке совпадают с положительным направлением
нормали,	то потенциал	поля,	созданного этими диполями,
равен
	W (М)=	jj v (P )	-) doP.	(19)
			МР/

Этот интеграл называется потенциалом двойного слоя.

Такое название связано с тем, что к интегралу (19) при водят также следующие рассуждения. Пусть S — двусто ронняя поверхность с фиксированным положительным направлением нормали. Вообразим теперь, что на положи тельном направлении нормали в каждой точке мы отло жили отрезки длиною /г. Геометрическое место концов этих отрезков образует поверхность 51; отстоящую от 5

224

н а р а с с т о я н и и h. П у с т ь н а п о в е р х н о с т и S р а с п р е д е л е н ы

отрицательные заряды с плотностью h v(P), а на поверх

ности 5, — положительные заряды с той же плотностью

(рис. 23).

Мы будем иметь «двойной слой» зарядов противопо ложных знаков, который можно рассматривать также как совокупность диполей, распределенных по поверхностям S

и S,	с плотностью ! v(P). Потен-
1	h	v	'
циал	поля, созданного		диполем,

«опирающимся» на элементы da поверхностей S и St, равен

v (Р) с (——\do. Потенциал поля,

созданного всеми диполями, равен

„

М п

Если мы устремим h к	нулю, то		.	Рис' 23.
получим «двойной слой» на поверх
ности S, потенциал которого		вычисляется по формуле (19).
Поверхность S будем называть несущей поверхностью.
Поскольку	1 \	cosy	^
д I
д п \	г м р )	ГМ Р

где ср — угол между положительным направлением нормали к поверхности S в точке Р и отрезком РМ, то потенциал двойного слоя можно также написать в виде

w(M)= [ v(P )c- ^ d o P.		(20)
J	г м P

Если мы обозначим через d(x)MP телесный угол, под кото рым из точки М виден элемент поверхности daP, то

Гмр da)MP = COS ф doP.

Эта формула непосредственно следует из того, что по определению dcоМр есть площадь элемента единичной сфе ры с центром в точке М, высеченного конусом с верши-

*)	См., например, С м и р н о в В. И., Курс высшей математики,
т. II,	«Наука», 1967.

8 В. Я. Арсенин

225

ной в точке М, опирающимся на элемент поверхности daP (рис. 24); dmMP имеет положительный знак, если угол (р острый, и отрицательный, если угол ф тупой.

Поэтому потенциал двойного слоя можно также написать в виде

		w(M) = \		v(P) dti>M[>.		(2 1)
			s
		3.	Из формулы		(21)	следуе
		что потенциал двойного слоя опре
		делен и в точках М несущей по
		верхности. Таким образом, имеем:
		С в о й с т в о 1. Потенциал двой
С в о й с т в о	2.	ного слоя определен всюду.
		В точках М,	не лежащих на несущей
поверхности S,	потенциал двойного слоя является гармо
нической функцией.				формулой		(20).
Для доказательства воспользуемся
Если М <фS, то		интеграл (20)	не является		несобствен
ным и поэтому

к	С в о й с т в о 3. При стремлении точки наблюдения М
к	бесконечности потенциал двойного слоя стремится
к	нулю. Мы предполагаем при этом, что поверхность 5

имеет конечную площадь и расположена в конечной области.

Для доказательства воспользуемся формулой (20). При меняя к интегралу теорему о среднем значении, получим

		w (М) = v (Р) COS ф		р>
			г \а р
где Р* е		5. Отсюда	и следует справедливость свойства.
В	последующем будем полагать, что несущая				поверх
ность	S	замкнутая.	В качестве	положительного	направ

ления нормали возьмем внутреннюю нормаль к поверх ности 5.

Рассмотрим частный вид потенциала двойного слоя — потенциал с постоянной плотностью моментов v0. Для-

226

т а к о г о п о т е н ц и а л а w (М ) с п р а в е д л и в ы ф о р м у л ы
Г4ят0,		если точка М расположена	внутри S,
w (М) = \|	2лл'„,	если точка М расположена	на	S,
[	О,	если точка М расположена	вне	5.

Для доказательства этого воспользуемся формулой (21). Пусть точка М расположена внутри S. Предположим сначала, что всякий луч, проведенный из точки М, пере секает поверхность S лишь в одной точке. Тогда интег

рал	\ da>MP равен полному телесному			углу, под которым
	s
видна внутренняя сторона поверхности S. Очевидно, этот
угол	равен 4л. Следовательно,
в этом случае w (М) = 4п\{).
Если часть лучей (или все),
проведенных из точки М, пересе
кает поверхность S в конечном
числе (<S&) точек, то телесные
углы d(DMP, под которыми видны
элементы поверхности doP, пересе
каемые лучами изнутри S (напри
мер,	doP,	лежащие на	и S3,
рис.	25),	будут положительными,
а телесные углы da>MP, под			кото
рыми видны элементы поверхности
doP, пересекаемые лучами извне 5
(например, doP, лежащие на S2,				как в этом случае
рис.	25), будут отрицательными, так
угол ф между внутренней нормалью				и направлением от

резка РМ будет тупым и, следовательно, cos ф —отрица тельным. В силу этого, очевидно,

\ da>Mp +	^ daMP= 0.
s,	s2

Поэтому алгебраическая сумма всех телесных углов daMP будет также равна 4я. Таким образом, и в этом случае

w (М) = 4nv0.

Если точка М лежит вне поверхности S, то телесные углы d(£>Mp, отвечающие элементам doP поверхности 5Х (рис. 26), будут отрицательными, а телесные углы d(oMP,

8 *

227

отвечающие элементам dap поверхности S2 (рис. 25), будут положительными. Поэтому

		\ da>MP = jj d® M p + ^ d®MP — 0.
		s	s,	s.
Таким	образом,		если точка М лежит вне S, то w(M) = 0.
Аналогично устанавливается, что w(M) = 2nv0, если
				Теперь мы можем выяснить по
			ведение потенциала двойного слоя
			в окрестности точки М, лежащей
			на несущей		поверхности.
			С в о й с т в о А. Если плотность
			моментов v (Р) непрерывна на S,
			то потенциал двойного слоя w(M)
			имеет разрыв первого рода в точ
			ках	несущей поверхности S со скач
			ком, равным Anv (М)\
	Рис.	26.	йУвп (Mo) -		Ш о ) =	А л х (М0),
	Рис.	26.			М0е 5.
					М0е 5.
Здесь давн (АД) —предел функции w (М) в точке АД,
когда	точка	М стремится		к АД	изнутри	поверхности;

wH(АД) —предел функции w(M) в точке АД, когда точка М стремится к АД снаружи.

Для простоты мы будем					предполагать,	что каждый
луч, проведенный из точки				М, пересекает S		не более чем
k раз	(хотя утверждение			верно для произвольной по
верхности Ляпунова). Пусть					АД — фиксированная		точка
поверхности S.			Рассмотрим вспомогательную функцию
	w (М) ■- ^ {v (Р) —v (АД)} d(oMP= w (М) — w (М).						(22)
		s
Лемма . Функция w{M) непрерывна в точке АД.
До к а з а т е л ь с т в о . Обозначим через S'						часть поверх
ности	S,	содержащуюся в		некоторой б-окрестности D6M
точки	АД,	а через S" —остальную часть 5.				Тогда	w(M)
можно записать			в виде

w (М) — Wx (М) + Щ (М),

где

% (М) = [ { v { P ) - v (АД)} d®Mp,

S’

щ(М) = 5 {v (Р) —v (АД)} da>MP.

S "

228

Функция w2(M) непрерывна в точке М0. Поэтому для

произвольного		е > 0 величина \w2(M)— w2(M^\ будет
меньше	е/3, если ММ0 достаточно мало.		Далее,
I ®i (М)	\	{ v ( P ) - v ( M 0)}d<*Mp
	С'
		й=: ! v (Р) -	v (М0) 11 d(£>Mp
		S'

Пусть лучи, проведенные из точки М, пересекают поверх ность S не более чем k раз.

В силу непрерывности v (Р) в точке М0 величина

! v (Р) — v (Л40) j	будет меньше	e/\2kn,	если б (радиус
окрестности DbM	точки Ми) будет достаточно мал. Далее,
	^ \| da>MP\| <	4nk.
	у
Следовательно,
\| wx (М) \| ==£ Ц\| v (Р) —v (М0) 11 d(S)MP\| < \|			и j щ (М0) \| < ~ .
S'
Поэтому
\| W (М) — W (АД) \|	I щ (М) \| + \|®! (АД) ' +
		+ \Щ (М) — щ (АД) j < е,

если точка М достаточно близка к АД. Лемма доказана.

Д о к а з а т е л ь с т в о		с в о й с т в а 4. Перейдем в фор
муле (22)	к пределу, устремляя точку М к АД изнутри
и снаружи	поверхности	S; тогда получим соответственно

®вн (М0) = wBH(АД) - 4nv (АД) = ® (ЛД) =

= w (АД) — 2nv (АД) = ®н (АД) = wa(АД) —О,

где ® (АД) и w (АД) — значения функций w (М) и w(M)

в точке АД на 5. Из этих равенств находим
wBH(Mo) = W(АД) + 2nv (М0),	(23)
wH(M0) = w (Af0)-2rcv (АД),	(24)
wBH(M0) - w H(M0) = 4riv(M0).	(25)

Для двумерного случая потенциал двойного слоя опре деляется с помощью интеграла

w (М) = jj v (Р) дп In	dsp,
с	?МР.
с

229

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 4423 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
25.10.202312.75 Mб44Арнольд К. Методы спутниковой геодезии.pdf
#
19.10.20234.83 Mб28Аронзон, И. М. Кинематика учеб. пособие для студентов мех. и технол. фак. ин-тов нар. хоз-ва.pdf
#
23.10.20238.39 Mб36Аронов Р.И. Испытание сооружений учеб. пособие.pdf
#
19.10.20236.1 Mб22Арсанова, Г. И. Редкие щелочи в термальных водах вулканических областей.pdf
#
25.10.202318.36 Mб113Арсенид галлия. Получение, свойства и применение.pdf
#
22.10.202313.99 Mб145Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие.pdf
#
19.10.20235.04 Mб86Арсентьев, А. И. Вскрытие и системы разработки карьерных полей учеб. пособие.pdf
#
23.10.20234.24 Mб26Арсеньев А.А. Сингулярные потенциалы и резонансы.pdf
#
19.10.20235.78 Mб24Арсон, Л. Д. Оценка прочности и массы тонкостенных конструкций.pdf
#
22.10.202311.97 Mб238Артамонов, М. Д. Основы теории и конструкции автомобиля учебник.pdf
#
22.10.202314.85 Mб65Артемова, Г. А. Основы художественного конструирования.pdf