книги из ГПНТБ / Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие

уравнение (13) имело решение, необходимо и достаточно, чтобы функция f(x) в правой части уравнения (13) была ортогональной всем собственным функциям сопряженного однородного уравнения, соответствующим этому собствен­ ному значению.

Необходимость условия доказывается просто. Действи­ тельно, если ср (х) есть решение уравнения (13), то спра­ ведливо тождество

сопряженного уравнения и результат интегрируем (по х) по отрезку [а, Ь]. Получим

$ / (x) ф (x) dx = $ Ф (x) Ф (x) dx — $ ф (s) ф (s) ds = 0,

a a a

И . T. Д.

Доказательство достаточности более громоздко. Его можно провести, например, сначала для соответствующей системы алгебраических уравнений, а потом предельным переходом в полигональных функциях распространить результат и на интегральное уравнение. Мы не будем останавливаться на этом доказательстве *).

Пусть собственному значению Я отвечает г линейно независимых собственных функций. Тогда, очевидно, спра­ ведлива

210

Г л а в а X

СВЕДЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ПОТЕНЦИАЛЫ

В ряде случаев краевые задачи или задачи Коши для дифференциальных уравнений можно свести к задачам нахождения решений соответствующих интегральных урав­ нений. Возможность такой редукции нередко исполь­ зуется для нахождения приближенного численного реше­

§1. Объемный потенциал

1. Потенциал электростатического поля (в простра стве), созданного зарядом величины е, находящимся в точ­ ке Р, равен (в произвольной точке М)

и (М) = е/гмр,

212

созданного этими зарядами, равен

Пусть в области D распределены заряды с плотностью р(Р). В малом объеме dxP, содержащем точку Р, заклю­ чен заряд величины p(P)dxP. Потенциал поля, создан­ ного этим зарядом, приближенно равен

ГМР

Интеграл (2) называется объемным потенциалом. Для дву­ мерного пространства (плоскости) объемный потенциал имеет вид

2 , Таким образом, объемный потенциал представляется несобственным интегралом. Рассмотрим несобственный интеграл более общего вида:

щей точку М0, с диаметром, меньшим б, d (Dm0) < б; и 2 ) для всех точек М, отстоящих от точки М0 на расстоя­

нии, меньшем б, ЛШ 0-< б, выполняется неравенство

5 / (Л4, Р) dxP ; е.

D 6м0

Это понятие лежит в основе доказательства ряда свойств

*) О несобственных интегралах и признаках их сходимости см., например, С м и р н о в В. И., Курс высшей математики, «Наука», 1967.

213

потенциалов. Основное свойство равномерно сходящегося несобственного интеграла выражает

Т е о р е м а . Несобственный интеграл, равномерно схо­ дящийся в окрестности точки М0, непрерывен в этой точке.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Оценим разность

и ( М ) - и (М„) = Щ(М) - «! (М0) + {иг (М) — и2(М0)Ь

где

Поскольку интеграл (4) равномерно сходится в окрест­

3.Рассмотрим простейшие свойства объемного потен

и (М0) не является несобственным. Поскольку подынтег­ ральная функция, как функция точки М, непрерывна в точке М0, то непрерывен в этой точке и интеграл и (М).

Если Л40 е£>, то, согласно теореме п. 2 и замечанию в конце п. 2 , достаточно доказать равномерную сходи-

214

где Т2£ —шаровая область с центром в точке М радиуса 26 *),

прерывные частные производные первого порядка по коорди­ натам точки М.

Если Мо ф D, интеграл и (М0) не является несобствен­ ным. Поскольку подынтегральная функция, как функция точки М, имеет в точке М0 непрерывные частные произ­ водные первого порядка по координатам точки М, этим свойством обладает и интеграл и (М), причем производные вычисляются путем дифференцирования под знаком инте­ грала:

ди

дх

215

Если Мпе D, то нам достаточно доказать равномер­ ную сходимость в окрестности точки М0 интегралов от производных в правых частях формул (7). Тогда законно дифференцирование под знаком интеграла, причем для

Чтобы выполнялось неравенство

216

С в о й с т в о 4. В точках области D объемный потен­ циал удовлетворяет соотношению

формул (7) под знаком интеграла здесь неприменимо, так как мы получим при этом расходящиеся интегралы, на­ пример:

_ f J - A , + f > f c 2 £ n A ,.

Тм„ —шаровая область радиуса б с центром в точке М0, ограниченная сферической поверхностью S8Ma, причем Tm0c^D. Тогда для точек М области Тм0 можно написать

и (М) = «х (М) + и2 (М),

где

Интеграл u2 (M) не является несобственным и по свой­ ству 3 представляет гармоническую в точке М0 функцию, т. е. Дм2 \м —ма ~ 0. Следовательно,

Аи \м =м0= Ahj |м= лг0-

Поэтому нам достаточно рассмотреть функцию щ (М). Производную

можно также записать следующим образом:

217

Применяя ко второму интегралу формулу Остроград­ ского, получим

Ф

где а — угол между направлением внешней нормали к по­

верхности ев и осью х.

Первый интеграл правой части формулы (9) предста­ вляет собой объемный потенциал с плотностью зарядов

(масс) Pi(P) = ^ и поэтому, по свойству 2 , имеет непре­

рывную производную первого порядка по х. Второй инте­ грал не является несобственным и поэтому имеет непре­ рывную производную первого порядка по х во всякой

где Р и у —углы между нормалью к Sm„ и осям у и г соответственно.

218

Складывая формулы (10), (11) и (12), получим

Повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве свойства 2 , найдем, что каждый из интегралов по обла­

сти Тм0 в формуле (13) не превосходит 4лВ8, где В — верх­

Применяя к последнему интегралу формулы (13) тео­ рему о среднем значении, получим

>м0

где Р* i= Sm0• Переходя в формуле (13) к пределу при 6 -vO и учитывая неравенства (14) и формулу (15), получим

А«|м = м0= — 4лр (М0).

Вдвумерном случае аналогом формулы (8) будет соотно­ шение

219