книги из ГПНТБ / Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие

i= 1

ь

где С,- = ^ bi (s) cp (s) ofs— неизвестные числа.

а

Таким образом, решение уравнения (2) с вырожденным ядром надо искать в виде (3). Подставляя эту функцию в уравнение (2 ) и сравнивая коэффициенты при одних и тех же функциях а, (х) справа и слева, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно С,-:

Решив эту систему, мы найдем Ch а следовательно, и решение уравнения (2 ) ф (х).

§ 3. Существование решений

1 . Если ядро вырожденное, то вопрос о существован решения интегрального уравнения Фредгольма сводится к вопросу о существовании решения соответствующей системы алгебраических уравнений (4). В более общем случае мы докажем существование решения уравнения (2)

ограничена на этом отрезке некоторой константой В,

Построим последовательность функций ф1 (х), ф2 (х), ...

.... ф„(х), ... по следующему правилу:

ь

Ф1 {x) = f { x ) + ^ <\ K {X, s) Фо (s) ds, (5)

О.

где фо(s) — произвольная фиксированная интегрируемая

200

Д о к а з а т е л ь с т в о . Преобразуем формулы для полу­ чения функций фя(лг). Подставляя функцию фх (х) в фор­ мулу ДЛЯ ф2 (х), получим

ь

ф2 (х) =f(x) + $ К (х, s) f (s) ds +

a

Меняя в последнем слагаемом порядок интегрирования,

фп (X) = f { x ) + X <\jKi (X, s) f (s) ds + №5 Ki (х, s) f(s)ds + ...

201

где Кп(х, t) = J Кг(х, s) K*-i(s, t) ds. Предел функции ц>п(х),

ь

если он существует, равен сумме ряда

ь

а

и функции

Функции Кп (х, s) называются итерированными ядрами.

Докажем равномерную сходимость этого ряда. Для этого оценим интегралы

ь

5 Кп (х, s) f(s) ds.

а

Очевидно,

ь

I Кг (X, t) I ^ $1^ 1 (*• s) ^ 1 (s>О I ds sC л 2 (b — а),

а

Ъ

I Кз (х, t) I < J ! Ki (х, s) К2 (s, t)\ds < A3 (b - а)2,

а

поэтому

202

равномерно сходится к функции ф (*) *). Эта функция явля­ ется решением уравнения (2). В самом деле, переходя в формуле (7) к пределу при п-> оо, получим

_ ь

Ф(*) s А, $ /С (х, s) ф (s) ds + f(x).

а

Переход к пределу под знаком интеграла здесь законен, так как последовательность сходится равномерно.

Заметим, что предел lim (p„ (х) = Ф (х) не зависит от

п —►ОО

выбора функции <p0 (s) (нулевого приближения). Из этого легко следует единственность решения уравнения (2 ). В самом деле, если существует еще одно решение ф ( х ) уравнения (2 ), то, полагая в процедуре построения функ­ ций (5)—(7) ф0(х)=ф(х), получим

a

:) Так как ф = 0.

203

0°

где функция R(x, s, X) — ХплКп(.х> s) называется резоль-

П—I

вентой уравнения (2 ).

Таким образом, если нам известна резольвента уравне­ ния (2 ), то по формуле (10) мы получим его решение. Мы определили резольвенту лишь для малых значений |Я|. Однако ее можно определить на любой конечной области комплексной плоскости переменной X путем аналитического продолжения (кроме, может быть, конечного числа особых точек этой области). Если это сделано, то по формуле (10) мы получим решение уравнения (2 ) для любых значений X,

жения к некоторым проблемам механики, математической физики и техники, ч. I, гл. I, Гостехиздат, 1949.

204

n = l

на отрезке [a, b] и его частичные суммы являются мажо­ рантными для функций ф„ (х), то последовательность {ф„ (*)}

также сходится равномерно; ср (х) = Нш <р„ (х), очевидно,

П-*оо является решением уравнения (1 1), и притом единственным.

§ 4. Понятие о приближенных методах решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода

Описанный в § 3 метод последовательных приближений построения решения может служить приближенным мето­ дом решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода. В качестве приближенного решения надо брать функции ф„(лг), определяемые формулами (5)—(7).

Второй метод нахождения приближенного решения интегральных уравнений состоит в том, что ядро уравне­ ния К (х, s) аппроксимируют с надлежащей точностью вырожденным ядром

К{х, s)= 2 м * ) Ms). (•= 1

Решение уравнения с ядром К (х, s) и будет приближен­ ным решением исходного уравнения *).

Третий метод, его называют ме т о д о м сеток, состо­ ит в следующем.

205

^ К {х, s) ф (s) ds в интегральном уравнении заменяют интег-

а

ральной суммой.

Решая эту систему относительно ф,-, получим значения приближенного решения в узловых точках. Мы не будем останавливаться на подробном изложении этих и других методов приближенного решения, отсылая читателя к спе­ циальной литературе *).

Особого рассмотрения требуют приближенные методы решения интегральных уравнений первого рода. Это сде­ лано в гл. XII.

§5. Теоремы Фредгольма

Вэтом параграфе мы будем рассматривать лишь инте­ гральные уравнения Фредгольма второго рода

а

при любых значениях параметра А, очевидно, имеет три­

206

имела лишь тривиальное решение (т. е. решение, состоя­ щее только из нулей), необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был отличным от нуля.

Те о р е м а Б. Если определитель однородной системы

(15)равен нулю, то эта система имеет р — п — г линейно независимых решений, где г — ранг матрицы системы.

207

Т е о р е м а В. Если однородная система уравнений (15) имеет лишь тривиальное решение, то соответствующая ей неоднородная система уравнений

имеет единственное решение при любых значениях правых частей bi.

Матрица В, полученная из матрицы А = {а;у} системы (16) путем присоединения к ней столбца элементов, стоя­ щих в правых частях этой системы, называется расши­ ренной матрицей системы (16).

Т е о р е м а Г. Для того чтобы система (16) была раз­ решима, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширен­ ной матрицы В системы (16) был равен рангу матрицы А этой системы.

3. Как указывалось в § 4, приближенное решени уравнения (13) можно получить, заменяя это уравнение соответствующей системой линейных алгебраических урав­

нений

П

/= 1

ирешая затем эту систему.

Таким же путем известные теоремы о системах линей­ ных алгебраических уравнений переносятся на интеграль­ ные уравнения Фредгольма второго рода. Для интеграль­ ных уравнений эти теоремы называются теоремами Фред­ гольма. Ниже мы укажем один из способов получения теорем Фредгольма, не вдаваясь в подробные доказатель­ ства .

Функцию фд(х), равную решению системы (17) в соот­ ветствующих узловых точках и линейную между ними,

будем называть полигональной функцией, соответствую­ щей решению системы (17). Справедлива

Т е о р е м а 2. Полигональная функция <рп (х), соот­ ветствующая решению системы (17), равномерно стре­ мится при /г->оо к решению интегрального уравнения (13).

Мы опускаем доказательство этой теоремы. Теперь

208

п. 2 , можно утверждать, что соответствующая система алгебраических уравнений, которой заменяется интеграль­ ное уравнение (14), т. е. система

сопряженное интегральное уравнение

ь

ф (х) — X§ /( (s, х) ф (s) ds — f (х)

а

также имеет единственное решение.

Теперь обратимся к рассмотрению случая, когда X совпадает с одним из собственных значений. Справедлива

алгебраических уравнений, соответствующая уравнению (14), имеет, согласно теореме Б, конечное число линейно

209