книги из ГПНТБ / Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие

С другой стороны,

Щ{МЪ ^1) = vt (Мх, ^) + а > 0, ибо vt (Mu t ]) ^ 0 .

Таким образом, во внутренней точке (Мг, 4) области Вт функция и(М, t) не удовлетворяет уравнению (27), что противоречит условию теоремы. Следовательно, нельзя

очевидного факта, что тепло (или диффундирующее веще­ ство) перемещается лишь от мест с большей температурой (концентрацией) к местам с меньшей температурой, т. е. «растекается».

С заданием начальной температуры (концентрации вещества) на границе t = 0 области Вт с момента t = О начнется процесс «растекания» тепла (вещества) во внут­ ренние точки области. Очевидно, в силу отмеченного выше

большее и наименьшее значения функции и(М, t) в обла­

С л е д с т в и е 2 (теорема о непрерывной зависимости решения первой краевой задачи от краевых и начальных значений). Если в краевых задачах

div (k V«)-f-/(7W, t) = put,

w!s = tyi(M, t), u(M, 0) = q>1(M)

и

div (& Vu)-f/(M , t) = pu(,

t), u(M, 0) = Ф2(M)

190

для всех М <=S и t^zO, то для непрерывных в области В решений и1(М , /) и и2(М, t) этих задач выполняется всюду в В неравенство

|«1(УИ, t) — u2(M, /)| й^8.

Это непосредственно вытекает из следствия 1.

4. Очевидно, из принципа максимума и минимума сле­ дует единственность решения первой краевой задачи для уравнения (28), непрерывного в области В.

§ 5. Единственность решения задачи Коши для уравнения теплопроводности

1. Здесь мы будем рассматривать простейшее уравне­ ние теплопроводности (одномерное или многомерное с чис­ лом измерений по пространственным переменным т)

= ср(Д4), непрерывное и ограниченное в замкнутой области Втг= {— оо < хи х2, ..., хт< сю; 1 0}, единственно.

Здесь (лг15 х2, ..., хт) —координаты точки М простран­ ства т измерений.

Проведем подробное доказательство для одномерного

191

З а м е ч а н и е . Требование ограниченности решения в области не является необходимым для единственности. В значительно более слабых ограничениях на рост реше­ ния теорема единственности была доказана А. Н. Тихо­ новым *).

§6. Единственность решения краевых задач для уравнений эллиптического типа

1.Будем рассматривать сначала лишь внутренние краевые задачи для конечных областей. Они состоят, как известно, в нахождении функции и(М), удовлетворяющей

на 5 и (yi + yDs ф 0. Поверхность S предполагаем кусочно­ гладкой. В этих условиях справедлива

Т е о р е м а 1. Решение первой и третьей внутренних краевых задач (32) — (33) единственно в классе функций

и(М), непрерывных в D вместе с частными производными первого порядка по координатам точки М.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть «ДМ) и и2 (М) —два ре­ шения задачи (32) —(33). Покажем, что их разность v (М) = мх (М) — « 2(М) равна нулю. Для этого применим первую формулу Грина к функциям Фх (М) = v (М) = Ф2 (М). Получим

[ vL[v]dx = — ^ k{Vv, 4v)d%— ^ qv2dx-\- ^ kv-^-do. (34)

*) См. Т и х о н о в А. Н., Матем. сб. 42, N92 (1935), стр. 199 —216.

то из формулы (34) получаем

Цk (Vy) 2 dx-\- jj qv2dx — ^ kv щ(1о = 0 . Ь b s

Для первой краевой задачи (у! = 0, у2 = 1) интеграл по поверхности 5 равен нулю и, следовательно,

$ k (Vy)2 dx + J qv2 dx —0 .

D D

Отсюда следует равенство нулю каждой из подынтеграль­ ных функций, т. е.

k (Vv) 2 =s 0 , qv2 = 0 .

Если q ф 0, то v (М) = 0 в области D. Если q (М) = 0, то из равенства нулю градиента, Vy==0, в области D следует, что y(M) = const. А так как решение у(М) не­

прерывно в замкнутой области D и у !$ = (), то всюду

в D

v ( M ) = 0.

Для третьей краевой задачи из (34) и (36) получаем

^ k (Vy)2 dx -f- ^ qv2dx -f- ^ kv2 do-= 0 .

D D S

Следовательно, каждый интеграл равен нулю. Отсюда и следует, что у (Л4) s= 0 в D. Теорема доказана.

З а м е ч а н и е . В § 1 гл. VII единственность решения первой краевой задачи для уравнения Лапласа была доказана в более слабых предположениях: требовалась

непрерывность решения в замкнутой области D, но не требовалась непрерывность его частных производных пер­ вого порядка в замкнутой области.

2.Для второй краевой задачи справедлива

с частными производными первого порядка по координатам точки М, могут отличаться лишь на аддитивную постоян­ ную, т. е.

их(М) — « 2(Щ s const.

194

Д о к а з а т е л ь с т в о . Как и при доказательстве пре­ дыдущей теоремы, для функции v = ul (М) — м2 (М) получим

задач от рассматриваемых решений надо требовать выпол­ нения некоторых условий на бесконечности.

В самом деле, если для уравнений Дм = 0 искать реше­ ние первой внешней краевой задачи вне круга радиуса R, т. е. в области r > R , с краевым условием u\r-R = C, где

С —постоянная, то решениями будут функции мх (М) = С ,

п

м2 (М) = С — и ц3 (М) — Аи±+ Ви2, где А и В — произволь­ ные постоянные такие, что Л + В = 1.

нечности сама она равномерно стремится к нулю, как А/гмм0, а ее частные производные первого порядка стре­ мятся к нулю, как В/гмма. Здесь гМм0— расстояние от точки М до некоторой фиксированной точки М0. Для трехмерного пространства справедлива

Т е о р е м а 3. Решение внешней краевой задачи

div (k Vm) = f (М),

(yi% + 'hu)s = 4(M),

непрерывное в замкнутой области Dl вместе с частными производными первого порядка и регулярное на бесконеч­ ности, единственно.

Для первой и второй краевых задач интеграл по S равен нулю, поэтому

Для третьей краевой задачи, пользуясь краевыми уело-

dv 1

виями (39), выражаем -^1 через у|$. Получим

Формулы (40) и (41) справедливы для любых доста­ точно больших значений R. Поэтому в них можно перейти к пределу при R-+oо. Оценим интеграл по Sp. В силу

196

Г л а в а IX

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

В этой главе мы изложим некоторые начальные све­ дения о линейных интегральных уравнениях второго рода. Для простоты записи мы всюду, кроме § 1, будем рас­ сматривать одномерный случай. Все результаты верны и для многомерного.

§1. Классификация линейных интегральных уравнений

Уравнения вида

Ф ( М ) - Ц / С ( М , Р)у(Р)йтР = ЦМ),

D

где ср (Р) — искомая функция, f{M) и К (М , Р) —известные функции, D — фиксированная область, X —числовой пара­ метр, называются интегральными уравнениями Фредгольма второго рода. Если / (М) = 0, уравнение называется одно­ родным, в противном случае — неоднородным.

Уравнения вида

Ф{ М ) - Х \ К(М, P)q>(P)dxP = f(M),

D (М )

где D (М) — переменная область, зависящая от точки М,

называются интегральными уравнениями Вольтерра вто­ рого рода. Например, в одномерном случае

а:

Ф(х) — Х^К (х, s) ф (s) ds = f (х)

а

есть уравнение Вольтерра второго рода.

Если f(M) = 0, уравнение называется однородным, в противном случае — неоднородным.

198

Уравнения вида

^ К(М, P)q>(P)dxP = f(M),

D

где D — фиксированная область, называются интеграль­ ными уравнениями Фредгольма первого рода.

Уравнения вида

^К(М, P)y{P)dxP = f{M)

D (М)

называются интегральными уравнениями Вольтерра пер­ вого рода. Функция К(М, Р) называется ядром интеграль­ ного уравнения.

З а м е ч а н и е . Уравнения Вольтерра являются частным видом уравнений Фредгольма. Так, если в одномерном случае положить

то уравнение Вольтерра

X

ц>(х) — Х^К (х, s) Ср (s) ds = f (х)

а

можно записать как уравнение Фредгольма с ядром К\{х, s):

ь

ф {х) — XJ Кх (х, s) ф (s) ds—f (х).

а

Ядра Кх{х, s) указанного вида иногда называют ядрами Вольтерра.

§ 2. Интегральные уравнения с вырожденными ядрами

Ядро К(х, s) называется вырожденным, если оно имеет вид

где at (х) — линейно независимые функции.

Решение уравнения Фредгольма второго рода с вырож­ денным ядром сводится к решению системы линейных

199