книги из ГПНТБ / Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие

О п р е д е л е н и е .

Функцией Грина G(x, t) задачи Коши для

волнового уравнения а2ихх — и//

назовем решение задачи Коши

аЮхх =

Gu ,

G (х,

0) =

0, Gt (х,

0) = б (х).

Нетрудно установить непосредственной проверкой, что

G(x,

t) = 2a [i)(x + a t) - r } (x - a t)l,

1,

z >

0,

—единичная функция. В самом деле (см. Допол-

где г) (г) = |

г <

0

О,

нение, п. 1),

Gx (x,

t) = 2a [d(x-\-at) — 6(x — at)\,

Gxx (х,

t) = -~а [б' (х +

at) - б' (х - at)],

Gt (х,

0 = 2

[б(х + а0 + б(х —at)],

Gtt (х,

0

=

| -

[ б ' (х +

а О - б ' (х — at)].

Следовательно,

аЮхх (х, 0 = Gtt (х, t),

G{x,

0) =

2“

[rj (x)— r\ (x)] =

0,

Gt (x,

0) = -*

[б(х) +

б(х)] =

б(х).

Решение задачи Коши

a3vxx = vt(,

v(x,

0) =

0,

vt (x,

0) = ф (x)

будет представляться в

виде свертки

v(x,

t) = G (х,

0 * ф (х ).

(1)

r’v.v — Gxx ::: ф,

V’г— Gtt * ф*

Следовательно,

и^охх

vit -- )a3Gxx

Gtt) * ^ = 0*ф

0,

o(x,

0) =

G(x,

0) * ф (x) = 0 * ф (х) = 0,

vt {x,

0) =

Gt (x,

0) * ф (x) = 6 (x) * ф (x) = ф (x).

Свертку G * ф можно также записать в виде

оо

at

v ( x , 0 =

jj

G(£,

0Ч>(*-Б)<*Б= 2я Jj

(*-£)<&

— со

—at

= - \ k (УФХ, V02) dx -

jj </ФхФ2 dx + ^ £ФХ

do.

D

D

S

§ 1. Единственность решения краевых задач

для

уравнений гиперболического типа

1. Рассматриваются

краевые

задачи вида

div (k Vw) — qu -f / (M,

t) = puH,

(1)

(y i| “ + Y2«)s = P(M, t),

(2)

u(M, 0) = cp(M),

ut {M,

0) = cp1(M)

(3)

для

области

В = {М ё

О;

t^O],

где D —конечная об­

ласть, ограниченная поверхностью S.

Функции

k(M),

q(M) и р (М)

непрерывны в области

D, k (М) имеет непрерывные в D

частные производные

первого порядка по координатам точки М,

и

k = k ( M) > 0,

<7(Л*)Зь 0,

р(Л 1)>0

в

D;

Y i (М) S s 0 ,

у2 (М) 5 ? О ,

Y i + Y-I Ф О

для

всякой точки М e S .

что

их(М,

i) =

u2(M,

t) в области В.

Для доказательства воспользуемся первой формулой

Грина.

\Ф.гЬ [OJrfx =

D

= -

(VOl

V02) dx —

jj

dx +

^ кФ2^

da

D

D

S

ДЛЯ

функций Фх = 0 = UX— U2 и Ф2 = 0[.

Получим

^vtL[v\dx = — $£(Yy, Svt)dx—

§ qvvt dx-\- ^ kvt -dn do.

D

D

D

S

(4)

Функция v = ux — u2, очевидно,

является решением задачи

L [v] = pvu,

(5)

( V i| +

Y^)s = 0,

(6)

v(M, 0) = 0,

vt (M,

0) =

0.

(7)

Так

как L[v] = pvtt, то из формулы (4)

получим

? pvtvtt dx = — Цk (Vy, Yt;*) dx —

qvvt dx +

kvt *

da,

D

Ъ

D

S

ИЛИ

$ P w

^ dx==

D

= -

\ k

(Vv)2 dx -

§ q |

(u2) dx + 2 jj kv,

da.

(8)

D

Ъ

S

Так

как

для

первой

краевой

задачи

t»( |s = 0, а

для

второй краевой задачи

да

О,

то для

первой и второй

дп

краевых задач формула (8) имеет вид

\ p § t W ) dx = -

[ k ^ i V v f d x -

\ qd{ F dx.

(9)

D

D

D

Для третьей

краевой задачи

да

— V s , поэтому из

формулы (8)

получим

дп

§Р ~ ( v sddx =

- [ k ^ d x - l q ^ - d X - l Ъl

-kZH-do.

(10)

dt

Интегрируя

тождества

(9) и (10) по переменной t на

промежутке

[0, Т] и пользуясь тождествами v{M,

0) = 0,

Vo \f_0=

0, vt (M, 0) = 0, получим соответственно

\ро?(М,

T)dx = — \k(Vv)2\t_Td x ~ \ q v 2(M, Т) dx

(11)

D

D

D

И

^ ро? (М , T)dx= -

\

k

(Vo)2 \t_Tdx -

D

D

-

^ qv2(M ,

T) d x -

jj

^ о2 (M, T) da.

(12)

b

s

бой ТОЧКИ

М

D

pvHM,

Г) = 0, Vy |f-7- = 0,

qv2(M, Т) = 0.

(13)

Если

q ^

0,

то

отсюда следует,

что v(M,

/) == 0.

Если

<7 = 0,

то

v(M,

t) = const. В силу

свойства

непрерывно­

(7),

получаем

v(M,

t) = 0. В случае третьей

краевой

задачи кроме равенств (13) получим также v(M,

T)\s — 0.

Следовательно,

как

и в рассмотренном случае,

получим

v(M,

0 = 0. Теорема доказана.

доказывают, что £ '

(t) == 0. Отсюда

следует,

что Е (t) =

== const = £ (0). Так

как £ (0) = 0,

то £ (0

= 0, откуда

и следует, что v = u1 — u2 = 0.

§ 2. О единственности решения задачи Коши

для волнового уравнения

Мы отмечали в § 5

гл. III, что если существует решение

< х < о о ,

12s 0}, то оно представляется формулой Далам-

бера. Аналогично, в § 11 гл. III было показано, что если

существует решение задачи Коши

для трехмерного (дву­

мерного)

однородного волнового

уравнения а2 Дм = ии,

ремы единственности.

задачи

Коши для одномерного

Т е о р е м а 1.

Решение

волнового уравнения

о^ихх“Т f (х , £) — иХ1,

и(х,

0) = <р(дг),

щ{х,

0) = $ (*),

В самом деле, пусть их(х, t) и и2(х,

решения

задачи, удовлетворяющие условиям теоремы.

Тогда их

задачи Коши для однородного

волнового уравнения

^ О хх —

Vtt,

Рассматриваются краевые задачи

вида

^ М + / ( Л 4 ,

t) = put,

(14)

(yi|-“ + T2«)s = p(M,

t),

(15)

и (M,

0) = ф (М)

(16)

для области B = { M e D ; 1

0} при тех же

предположе­

ниях

относительно области

D

и функций

k(M),

q(M),

р(М),

Yi(M), у2 (М), что и в §

1.

Решение

краевой

Т е о р е м а е д и н с т в е н н о с т и .

задачи

(14) —(16), напрерывное

в замкнутой области В

^ vL[v]dx = — jj k(Vv)2dx — jjqv2 dx + ^ k v ^ d o .

(17)

D

D

D

S

Функция

v,

очевидно, является решением однородной

задачи

L[v\ = pvt,

(18)

? 1 ^ + Т 2 ^ = 0,

(19)

v(M,

0) = 0.

(20)

Так как

L [у] =

pvt, то из формулы (17)

получим

^ pvvt dx = — jj k (Vy)3 dx — ^ qv3 dx +

^ kv ^ dcr.

(21)

D

D

D

S

Для первой и второй краевых

задач формула (21)

имеет

вид

-

,,

»

(22)

jj руу^ с7т = — jj k (Vо)2 dx — jj qv2 dx

b

D

D

ИЛИ

Г*

Л

т*

f*

(23)

\ pdj(v2)dx —— 2 \ &(Vy)2dx — 2

\ qv2dx.

D

D

O

краевые условия

(19), получаем

jj р ^ (у2) dx = — 2 ^ k (Vw)2 dx — 2

jj qv2 dx — 2 ^ ky2v2 do.

о

d

b

s

Yi

(24)

т

т

^ ру2 (М,

T)dx = — 2 \ \ k (Vy)2 dxdt — 2\

jj ?y2 (M, T) dx dt

D

0

£>

0 £>

(25)

И

5 py2 (M,

T)dx = — 2\

\ k (Vy)2 d x d t - 2 \ \ qv2 dt dx -

0 £>

0

£)

T

- 2 J

J

k^2- v2 do dt. (26)

0

s

$ pv2(M,

T)dx = 0.

D

Отсюда

следует,

что v(M,

Т) = 0 для произвольного

Т > 0.

Теорема доказана.

З а м е ч а н и е .

Требование непрерывности решения в

Рассмотрим замкнутую

об­

ласть Вг = { М е D, 0

t <

D (отрезок

[0,

/])

—пря­

моугольник

{0

х sg /, О с

Для решения уравнения теплопроводности

div (k V«) = рщ,

(27)

в котором k = k (М) > 0 и р — р (М) >> 0,

справедлива

Т е о р е м а

о м а к с и м у м е

и ми н иму ме .

Всякое

решение и(М,

t) уравнения (27),

непрерывное в замкнутой

области

Вт,

принимает наибольшее и наименьшее значе­

ния или

на нижней границе области

ВТ (при t = 0), или

на боковой поверхности

JiH e S ,

0

t ^ ;T\.

урав­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

и(М,

t) —решение

будем полагать, что и(М,

t ) ^ . const. Для определенности

будем

доказывать теорему для наибольшего значения *).

Пусть

«г — наибольшее

значение решения и(М, t) на

границе

Г

области

ВТ, T s J M e S ,

0 ^

t sg Т} + [М е

е б ,

^ =

0},

a Ur —наибольшее значение его в области Вт.

Требуется доказать, что Ыг= «в.

что ив > иГ.

Очевидно, что Ur ^ u?. Предположим,

Рассмотрим вспомогательную функцию v(M,

t) = и (М, t) +

■fa (Т — t),

где число а >

0 и а < (ив — иг)/ (2Т).

Функция v(M,'t) непрерывна в области Вт. Следова­

тельно,

она достигает в Вт наибольшего значения в неко­

торой точке (М1г ф е В г. Очевидно,

v (АД, t i ) ^ u B, так

как v(M,

t ) ^ u ( M ,

t) всюду в Вт.

на границе Г. Дей­

Точка (Mi, Д) не может лежать

ствительно,

для любой точки М е б

и t —0

v(M,

0) = и(М,

0) -f ctT < Up-f

(ив — ит)<С.ив

и для

любой точки

M e S

и O ^ t ^ T

V (М,

t)

И г “Ь a (Т — t) =SS Wr 4~ a 7’ < Mr “f 2 (WB — wr )

Vo = Vw и Vo|м = м, == 0,

а

1i = ti

\t = ii

то

\t—ti

= {(V£,

Vo)-f£Ao} 1м = м ,^ 0 .

*) Доказательство теоремы для наименьшего значения сводится

к рассматриваемому случаю заменой и(М,

t) на — и(М, t).