книги из ГПНТБ / Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие

§ 3. Решение задачи о распространении тепла на бесконечной прямой (задачи Коши)

ина полупрямой

1. Теперь мы можем построить решение задачи Коши. Рассмотрим сначала однородное уравнение

Надо лишь показать законность вычисления производных ихх и ut путем дифференцирования по этим переменным под знаком интеграла. Мы это сделаем позже.

Формулу (38) можно получить и из наглядных сооб­ ражений. Для этого воспользуемся температурной интер­ претацией задачи. На прямой t —0 возьмем отрезок длины d\, содержащий точку х = |. Количество тепла, выделив­ шегося в момент ^ = 0 на этом отрезке, равно срф (£)

Это количество тепла можно отнести к точке |. Таким

И так для каждого отрезка длины d% прямой ^ = 0. Имея в виду замечание на стр. 138, естественно предположить, что температура, обусловленная действием всех таких от­ резков, т. е. обусловленная заданием начальной темпера­ туры и(х, 0) = ф(х), будет равна

— СО

140

Если это верно, то функция (39) и будет решением задачи Коши (36)—(37). Чтобы убедиться в справедливости по­ следнего, достаточно доказать, что функция (39) удовлет­

Последний интеграл равен ср (х) согласно основному свой­ ству 8-функции. Таким образом, функция (39) действи­ тельно удовлетворяет условию (37).

Чтобы установить, что функция (39) является реше­ нием уравнения (36), достаточно доказать, что эту функ­ цию молено дифференцировать по л: (дважды) и по t под знаком интеграла. Действительно, если

И

со

И/= $ 4>(l)Gt ( x - t , t)dl,

—СО

Т О

оо

агихх — щ = \ ср (£) {a2Gxx - G,} dl = О,

—ОО

141

— СО

Таким образом, интеграл (39) сходится, притом равно­ мерно, в области В1 и \ и \ ^ М . Если предположить до­ полнительно, что ф (х) непрерывна всюду, то из этого

начальные значения фх (.х) и ср2 (х) отличаются меньше чем на 8, т. е. | 9 i (х) — Ф-2(х) | <С 8 для всех х, то соответст­ вующие им решения задачи Коши ut (х, t) и и2 (х, t) также отличаются друг от друга меньше чем на е, т. е.

[ (х, t) — « 2 (х, t) | < e.

Таким образом, решение задачи Коши непрерывно зави­ сит от начальных значений.

Рассмотрим теперь первый из интегралов (**):

*) При дополнительном предположении об ограниченности функ­ ции ф (х). Если ф(х) кусочно-непрерывна, то функция (39) непре­ рывна всюду в В ъ кроме точек прямой / = 0, в которых ф(х) раз­ рывна.

142

Этот интеграл равномерно сходится в области Вг

дится в области Вг с произвольным е >. О, поскольку под­ интегральная функция мажорируется в этой области функ­

цией Му:-~ а 2е ~ а \ интеграл от которой сходится. Анало­ ев я

гично поступаем с третьим интегралом (**). Таким образом, мы доказали, что формула (39) действительно дает реше­ ние задачи Коши (36)—(37). Этот результат верен и для функций ф ( х ) , неограниченно возрастающих при х-»-оо, например для таких, для которых существуют постоян­

определяется следующим образом.

Функцией Грина G* (х, t) задачи (43)—(45) называется решение задачи

a2G%x= Gf,

G* (х, I; 0) = 6 (* -£ ),

G*(0, |; 0 = 0, I, х, t > О,

143

&0 ).

Для нахождения ее воспользуемся следующим свойст­ вом решения задачи Коши (46)—(47).

—СО

по переменной х и полагая затем х = 0 , получим

со

“'< 0'

так как подинтегральное выражение есть нечетная функ­ ция.

Решение задачи Коши

145

стержня равна

и(х, t)= \ (p(l)G(x-l, t) d t

Xi

Очевидно, при сколь угодно малых t > О эта функция положительна для любого х. К такому выводу мы пришли вследствие неточности физических предпосылок, которыми мы пользовались при постановке задачи Коши (например, при написании уравнения (36)).

З а м е ч а н и е 2. Полученную формулу (39) можно рассматривать как свертку (см. Дополнение) фундаменталь­ ного решения

Glx, Л = _ Д ==е-^/(4аЧ)

К4яа2^

сначальной функцией ср(х), т. е.

и(х, t) = G (х, t) * ср (х).

Если в этой формуле в качестве начальной функции ф (х)

брать произвольную финитную обобщенную функцию, то

и (х, t) будет также решением. задачи Коши. 6 . Рассмотрим несколько примеров.

П р и м е р 1. Решить задачу Коши

m

П р и м е р 2. Решить задачу Коши

“\ x x = ut, и(х,0) = Ае~х\

По формуле (38) имеем

u( x, t ) = A ] e - ^ G (x —l, t)dl-

—00

Произведя замену переменной а = (| —х )//4 а + получим

Vп

7. Обратимся к неоднородному уравнению. Решение задачи Коши

будем искать в виде суммы двух функций и (х, t) = v (х, t) + -tw(x, t), являющихся решениями следующих задач:

Функция v(x, i) дается формулой (39). Решение задачи (51j), (53) можно получить методом, описанным в гл. III,

147

§ 6 , п.1. Это решение равно интегралу t

w {х, t) = ^Ul (х, t, г) d%,

о

где Щ (х, t, х) есть решение однородной задачи Коши

аЧЦхх = Щь Щ\,_х= Пх, т).

0 — со

Эту функцию можно также получить, если воспользоваться температурной интерпретацией функции Грина и урав­ нения (5 К).

В этом уравнении cpf(x, t) есть плотность тепловых

температура, обусловленная действием этого источника, будет равна

=x ) G ( x - l , t — x)dldx.

Имея в виду замечание на стр. 138, естественно предполо­ жить, что температура, обусловленная действием всех таких источников (распределенных по всей прямой) в тече­ ние промежутка времени от 0 до /, будет равна

148

Тогда решение задачи (51х), (53) с такой неоднородностью будет иметь вид

Мы здесь воспользовались свойством б-функции.

также можно записать в виде свертки (по двум перемен­ ным!) фундаментального решения G(x, t) с функцией f(x, t):

0 — со

З а м е ч а н и е 4. Решение задачи (5К), (53) на полу­ прямой с краевым условием w (0 , t) = 0 (или wx (0 , i) = 0) строится аналогично и дается формулой

оо

§4. Решение задачи о распространении тепла в трехмерном (двумерном) пространстве

Теперь обратимся к рассмотрению задачи Коши для уравнения теплопроводности в двумерном и трехмерном пространствах.

Рассмотрим сначала однородное уравнение

О п р е д е л е н и е . Функцией Грина G(M,M0; i) задачи Коши для уравнения (55) называется такое его решение, которое:

а) удовлетворяет начальному условию

149