книги из ГПНТБ / Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие

со

,

пп , ,

, л/г ,\ .

я/г

h ( х ) =

У .

( с eh - j - b + Dn sh - у - 0 I sm - r - x ,

/

\

l

l j

l

Отсюда

п =1

\

i

C n = l

jj/i(E)

S i n - ^ u s

1. Решить задачу

о колебании струны 0 <7 л

с

жестко закреп­

ленными концами,

если до момента ^ — 0 она

находилась в состоянии

равновесия под действием поперечной силы

F0 = const, приложен­

ной в точке х = х„ струны перпендикулярно

к

невозмущенному по­

ложению струны,

а в момент t = 0 действие силы А0

мгновенно пре­

кращается.

2. Решить задачу

о колебании струны с жестко закрепленными

времени 1= 0

в

точке х = х0.

3. Стержень

с жестко закрепленным концом

(х = 0)

находится

в состоянии

равновесия под действием продольной

силы

const,

приложенной

к

концу x = t. В момент 1 = 0 действие силы F„ мгно­

венно прекращается. Решить задачу о продольных

колебаниях этого

стержня.

6. Решить^ задачу об остывании сферической оболочки Rt

г R2,

на внутренней и внешней поверхностях

которой

происходит

конвек­

тивный

теплообмен

со средой нулевой

температуры; u(r,0) = f(r),

Ri < г <с R2.

сферическом сосуде 0 ^ г

R

7.

В замкнутом

происходит диф­

фузия

вещества, частицы которого размножаются,

причем скорость

приложена сила

F0 = const.

стержня 0 < cx sг:/, концы

13. Решить

задачу

о температуре

которого поддерживаются

при постоянной

температуре (иг и и.г), а на

тура произвольна.

х <с /

равны

15. Давление и температура воздуха в цилиндре 0

атмосферным; один конец цилиндра

с момента 7 =

0 открыт, а другой

остается все

время

закрытым.

Концентрация

некоторого

газа

в атмосфере

равна

u0 = const.

С

момента

1 = 0

газ диффундирует

в цилиндр через открытый конец.

Найти количество газа Q(t), про-

диффундировавшего

в

цилиндр,

если его

начальная

концентрация

потенциал равен п0 = const, а

начальный

ток равен нулю.

18. Найти электрическое

напряжение

в проводе с пренебрежимо

ный

ток и начальный потенциал равны нулю,

а к концу х — 0 прило­

жена постоянная э. д. с.

£ 0 через сосредоточенное сопротивление R0.

ных

19. Проводящий слой

0 sg x sS /

был свободен от электромагнит­

полей. В момент 7 = 0 всюду

вне слоя

возникло постоянное

теплоизолирован

и с момента 7

= 0 в

точке х0, 0

с х 0<1, действует

источник постоянной мощности

Q.

*) Акустическими

резонаторами

называются

замкнутые объемы

с отражающими

звук

стенками,

предназначенные для усиления зву­

ковых колебаний.

21. Найти температуру однородной пластины

с

нулевой

началь­

ной температурой,

через грань х —О которой

подается,

начиная

с t —■0, тепловой

поток постоянной плотности (/,

а

грань х — I под­

щины /, пропускается, начиная с

момента t =

0, постоянный ток,

выделяющий теплое плотностьюQ—const. Найти температуру пластины

при t >

0, если на границах ее происходит отдача тепла в окружающую

среду

по закону Ньютона. Температура

среды

равна

u0 =

const.

Начальная температура пластины равна нулю.

равна «0 =

const, а н

23.

Начальная температура шара 0

его поверхности происходит конвективный теплообмен со средой, име­

ющей температуру n1 = const. Найти температуру шара

при t > 0.

24.

Поток тепла (за единицу времени) Q втекает через плоскую

часть поверхности бруса полукруглого сечения и вытекает через

остальную часть его поверхности. Найти стационарное распределение

температуры по сечению бруса,

считая, что втекающий

и вытекающий

потоки

распределены

с постоянными

плотностями.

. 25. Стрелка прибора укреплена на конце стержня длины I,

закрепленного

в

сечении х = 0.

Решить

задачу

о

крутильных

коле­

баниях стержня,

если

в начальный

момент / =

0

стрелка была

закру­

чена на

угол а и отпущена без начальной скорости. Момент инерции

стрелки

относительно оси вращения

равен

/ 0.

26.

К

струне

0 -с-х-г, /

с

жестко

закрепленными концами

с момента i" =

0

приложена непрерывно распределенная сила с линей­

ной плотностью:

a)

<I)= d)0 sin£o/;

б) Q =

<t>0 cosa>4

где Ф0 =

const.

Решить задачу о колебании струны.

струны

с жестко за­

27.

Решить

задачу о колебании

крепленными концами под действием силы

F — F0 sin mt

(и F0cosu>t),

приложенной к точке х0 с момента

t = 0,

при

отсутствии

резонанса.

28.

Найти температуру стержня

t = 0

с теплоизолированной

боковой

поверхностью, если с момента

начинают действовать

тепловые источники,

распределенные

по

стержню

с

плотностью

Ф (0 sin

ЗТ

х. Начальная

температура равна

нулю. Концы

поддер­

-

живаются

при нулевой

температуре.

поверхности

которого

29.

По

стержню O s jx s c /, на боковой

движется

печь

со скоростью v0 = const. Поток

тепла (в единицу вре­

мени) от

печи

к стержню

равен q — Ae'h t ,

где h —- коэффициент

теплообмена,

входящий

в

уравнение

теплопроводности для стержня

и( —а2ихх —

Ли.

Найти

температуру

стержня,

если его начальная

если

30.

Решить задачу о продольных колебаниях стержня 0 ^

х s£._1,

конец х = 0 стержня

закреплен жестко, а к концу

х — 1,

начиная

с

момента t = 0 , приложена сила

F — A sin со/ (и A cos Ы),

А — const.

задачу

о

температуре

шара O ^ r - ^ R ,

если его

31.

Решить

начальная

температура

равна

м0 = const,

а внутрь шара, начиная

с момента

t = 0,

через

его

поверхность

подается постоянный

тепло­

вой

поток

плотности

q = const.

теплоизолированной боковой

поверх­

32.

Стержень 0 scx st; /

с

ностью и постоянным

поперечным сечением

составлен из двух

одно-

L [«] =р(М) [

Utu

(1)

и

{ щ

и(М, О) = ut (M, 0) = О

(соответственно и(М, 0) = 0),

(2)

(а |? + ^ ) 5 = (т(М,

t)r](t),

л(0 = | q

(3)

wtt в области

( М е й ;

0) *).

краевыми и

началь­

Тогда решением задачи (1) —(3) с

ными условиями вида

+

т)’

u i'~* = « / k r

= 0

(стационарная

неоднородность ц(/И,

т) включается с мо-

мента t = т) будет функция

w(M, t — х,

x)r\(t —т).

Заме­

тим, что во внутренних точках М области D выполняются

тождества

w{M, 0, t)==wt {M, 0, /) =

0.

(4)

2) Решением задачи (1) —(3) с краевыми и начальными

условиями вида

U \t —х —

|/ _ t = О,

w(M,

t — x, x)x\(t — x) — w(M, t — x— dx, т) г| (t — х — dx) =

= 0j[w{M, t — x, т) t) (t — t)] dx.

3)

В исходной

краевой задаче (1) —(3) неоднородность

в краевом

режиме действует в течение промежутка

вре­

мени

от 0

до t.

Поэтому можно ожидать, что решением

задачи

(1) —(3) будет функция

t

и(М, t)=

^ dt[w{M, t — x, т)rj(t — т)] dx.

(**)

о

о

t

t — x,

x)8 (t — x)dx,

о

ибо ~jx\ (t — x)— 8 (t — x).

Поскольку r| (/ — т) = 1 для всех

х от 0 до t,

то, используя основное свойство 8-функции,

получим

t

и(М,

t) —^ wt (М,

t — x, х) dx -j- w (М,

0, t).

(5)

о

(« Ж + Н “

{ » <(“ж + Н Ч ( '- * > } * =

о

t

t

=

^

jj -J{p(Af, т)т|(*-т)} сГт =

6

о

*

i

=

^ p (M, t) ~x\ (t — x) dx = ^ p (M, x)8 (t — x)dx = [i(M, t).

6

о

Подставим

выражение (**) для

u(M,

t)

в уравнение

(1),

для чего

воспользуемся формулами

(5)

и (6). Для внут­

ренних точек области D в силу (4) имеем

t

u {М,

t) — \ wt (М,

t — x,

т) dx,

о

t

щ (М,

0 = 5 ®>п (М,

t — x,

х) dx.

0

i

Следовательно,

utt — ^wttt{M,

t — x,

т) dx -f wit {M,

0,

t).

Из тождества

о

х)] = р(М)<% (М, t — x,

т),

L[w{M, t — x,

пользуясь

непрерывностью wtt в области

( М ё

О,

t~3 ^ 0),

находим (при t —т-^-0)

L[w(M, 0 ,

0 ] = р ( М ) ш « ( М ,

0 ,

0 =

0 ,

поскольку

w(M, 0, 0 = 0 для внутренних точек обла­

сти D, и,

следовательно, L[w(M, 0,

0 ] = 0.

Таким образом,

1

0

=

t — x,

х)dx.

о

Поэтому

L [и] -

putt =

^ gt \L [wj -

pwtt\ dx = 0,

о

так

как L [w] =

рщу*

по

построению. To есть выражение

(**)

дает

решение задачи

(1) —(3).

когда р,(М, t) = Q{t).

Рассмотрим

частный

случай,

Аналогично предыдущему решение можно построить сле­

дующим образом.

1) Решаем уравнение

(1) с краевым условием вида

(a dn + Р«) = л (0.

т. е. для

Q (()■=].

Пусть

R(M,

t) — решение этой

задачи. Тогда реше­

нием задачи с краевым условием вида

( a S + P u ) s =1fi W Q f r ),

где т — фиксированное число, будет функция Q(x)R(M,

t).

2) Решением уравнения (1) с краевыми и начальными

условиями вида

( a | “ + pw)5= Q(T)T!(/-T),

ll\t—x

\t~% 0

будет функция Q(x)R(M,

t — x)r\(t — х). Заметим,

что

R(M, 0) =

Rt {М, 0) = 0.

3) Решением уравнения (1) с краевыми и начальными

условиями вида

U рп+ P«)s = Q(И h

(* - т) - ч (* - т -

-

U \t — x

\ t ~ x ~~ ^

будет функция

П р и м е р . Найти

решение

задачи

a2uxx = Uf,

и(х,

0) = 0,

и (0,

t) = 0,

u(l,

=

Сначала

находим

решение

задачи

R (х,

t) для Q (t) =

1. Функ­

цию R (х, t)

ищем

в

виде суммы R — v (х) +

Р (х, i), в которой ц(х)

описывает стационарный

режим, а Р (х, t ) ~ отклонение

от

него.

Для v (х)

задача ставится следующим образом:

и" =

0,

п(0) = 0,

v(l)= 1.

Решением

будет функция хЦ. Для

Р (х,

t) задача

ставится сле­

дующим образом:

a2Pxx = Pt,

Р(х, 0) =

— *//,

Р (0,

t) = P (l ,

0 = 0.

Решая

эту задачу

методом

разделения переменных

(см.

пример 1

гл. IV),

находим

Р(х, 0 =

V

-a2K.J

пп

я2л2

—

~ г -

П—I

Коэффициенты Сп определяются из начального условия

-

х

\

. пп

— =

2 ^ Сп s,n ~~ х

П=1

I

и равны Сп= я

1)л

п

Таким образом,

R

I

я

^

п

I

п — 1

Следовательно, решением

исходной задачи будет функция

t

и(х, / ) =Ц( 2( т )

^ [Я (х , t — т) т) (t — т)] dx,

о

ИЛИ

t

t

u(x, Q«= ^ Q(t) ~ R ( x ,

t - x ) d x +

[ Q (x) R (x,

t - x ) b ( t - x ) d x =

о

о

t

=

^ Q W

f, Л (*, t — T) dt + Q ( 0 R (X, 0).

о

Функция

/? (x,

0)

равна

нулю

для

внутренних точек отрезка [0, /]

и для х =

0,

а

при х — 1 имеем R (х,

0) =

1.

Если

надо решить задачу

а2ихх = Щ,

и (х,

0) = 0,

и (0,

i) = Q1(t),

u(l,

t)=Q2(t),

то решение ищем в виде суммы двух функций

u = v-\-w,

где для v и w задачи ставятся следующим образом:

v: a2vxx = vt,

v{x,

0) =

0 ,

и(0 ,

t) = Q1(t), v(l, t) = 0 ;

w: a2wxx = wt,

w(x,

0) =

0 ,

w (0,

t) = 0,

w (l,

t) =Q2(t).