книги из ГПНТБ / Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Возьмем

произвольную,

непре­

рывную в D функцию f(M). Тогда, каково

бы ни было

число £ > 0 в

классе

А

(см. § 1)

найдется

такая

функ­

ция g-(M)*), что

J P ( f - g ) 2 d r < ~ .

(43)

b

Функция g(M)

представляется

рядом Фурье

по собствен-

ным функциям,

g{M) =

со

СкФк>равномерно сходящимся

в D. Следовательно,

k =

i

ех> 0 найдется

для всякого

такое

/V (ех), что

g - Ц скФк < е х

для

п > Л г(е1).

(44)

4 = 1

(

п

\2

Тогда

со-

Покажем, что

^

СкФк) с/т< е.

D

1

4 = 1

/

\p[f — У,

Скфк\ с/т =

[ f - g + g -

£

СкФк) d x ^

) \

к = 1

/

D

\

4 = 1

1

< 2

$ р ( / - £ ) 2с/т+2

\ p l g -

С*Ф*) dx.

D

'

4 = 1

Используя

неравенства (43) и (44),

получим

Ц

/

11

\2

с/т < ^

+

2е]

р dx <

е,

/ -

^

СкФкI

к —1

если

взять ех ■

I

е , где

В = \

р dx.

2 (-й

I. Пусть требуется найти решение задачи

L[u] + /(M,

i) — puit

(соответственно put),

(45)

и(М,

0) —0,

щ (М, 0) = 0,

(46)

(47)

непрерывное в замкнутой области

В =

{М е

D;

и

принадлежащее классу

А при всяком фиксированном зна­

чении t >

0.

решение

ы(Л4,

/)

принадлежит

Так

как искомое

представлено в виде

ряда

Фурье

по собственным функ­

циям {Ф„} соответствующей

однородной задачи

(5) —(6):

и(М,

t)=

У) а д )Ф „ (М ),

(48)

где

1

П~ 1

с

t) ф„ (Р) dx.

(49)

ч'я (t) =

J ри (Р,

”

b

_ АМФп, и] _

- 1

? ф

^«Ф я|р

К II

II2 ^ l wJ aT-

D

^ ( 0

- V Я + U

Следовательно, Чгя (/) есть решение уравнения

+

=

= fn{t) (соответственно '¥,n + hny¥n = fn) с

дополнительными

условиями

(0) = |Г ад S

(Р-

0) ф « Y

) = °>

ь

(°) = r i s

^ ри< (Л

0) фп (Р) dx = 0.

Решение такой задачи имеет вид

I

х¥п (t) =

[ sin V K

(t - 9) fn(9) rf0

(соответственно 4f„ (^) =

^e

«

)fn (Q)dO\.

\

о

/

Подставляя полученные функции 4^(0 в формулу (48),

ственным функциям. Если,

в частности,

f(M,

t) —

= f(t)&(M,

Мо),

то

h {t) =

р Ь

S f (/) 6 (P ’ Щ

Фп {P) dT = Щ

/ (0

ф„ (Mn)

i

(t-Q)f (9) dB

^ sin V K

У м ф„г

^соответственно ¥„(/) =

^ e

h*(t

9)/(0)^0j.

Если требуется

решить задачу

L[«]-b/(M, 0 — pU/t

(ри,),

и (М, 0) = ср(М),

ut (M,

0) = фх (М);

(yi J +

?2wjs = 0,

то будем искать

решение в виде суммы двух функций

и(М,

t) = v(M,

t)-\-w(M, t),

являющихся решениями следующих задач:

v. L[v]--^pvtt

(pv,)t

v(M, 0) = ср (М),

vt (М) =

cpi (М);

(y i^ +

Ya»)s =

0;

w: L [да] + / (M,

i) = pwtt

(рда,),

w(M, 0 ) = wt (M, 0) = 0;

(Y i^ +

Y2^ )s

2. Пусть требуется найти решение задачи

L[u]+f(M,

i)=-putt

(рщ),

(51)

(viS + Y2«)s = P(A1, ty,

(52)

и(М,

0) = Ф(/И),

ut (M,

0)=q>1 (M),

(53)

непрерывное в

замкнутой

области

В = { М е 5 ;

/5г0}.

функцию и(М, t) в

виде суммы u = v1 (M,

t) + w(M,

t),

где для функции w(M, t), непрерывной в

области

В,

задача ставится следующим образом:

L[w]+fi(M,

t) = pw/i

(рwt),

w(M, 0) = ф(Л1),

wt(M, 0) = фх (M);

fYl^

+ Y.^ )s = o,

где

fi(M,

t) = f (M, t) + L [vj -

pvltt,

Ф(М) = ф ( М ) - ц 1(М, 0),

ф! (M) =

ф! (Af) — vlt (M, 0).

Эту задачу мы уже рассмотрели в п.

1. Функцию

v1(M, t) или угадывают,

или же находят методом Дюа-

меля (см. гл. V).

П р и м е р

6. Требуется решить задачу

=

и(х, 0) = ср! (jc),

ut (X,

0) =

ф2 (х),

и (0, f) = M

0 .

u(l,

f) = M 0 -

(*)

В качестве

функции

(л:, t), удовлетворяющей

краевым усло­

виям (*), берем функцию *)

vi (х>0 ——j— H-i (0+ ~2 11з (О-

*) Мы предполагаем,

что функции щ (t)

и

(0 дважды диффе­

ренцируемы.

Решение и{х, t) ищем

в

виде

суммы

и (х,

t) = vl (x,

i)-^-w(x, ().

Функция

w (х, t), очевидно,

будет решением следующей задачи:

rfVxx + ^ - f - W i

Ц) -

*

n'/(t) = wth

w (x,

0) =

cPl (x) +

Pi (0) -

*

p2 (0) = ф! (x),

wt {x,

0) = ф2 (*) + ^

И;( 0) - *

И>(0) = ф2 W .

w (0,

t) —w(l,

t) = 0.

Функцию

w(x,

t) ищем

также

в виде суммы w = R(x,

t)-\-Q(x, t),

где R (x,

t)

есть

решение однородной

краевой

задачи

R(x,

Rt (x,

a2Rxx = Rtt<

R (0, t) = R(l,

0) =

$г (х),

0) = ф3 (х);

0 = 0

и имеет вид (см.

пример

1)

СО

R (х,

0 =

'У

(Сп cos а У Хп t +

Dn sin a Y %п t) sin — x,

n — 1

;

.

n%2

2

.

и

>

—

(' .

^71 —

p

0

\

(») S111 ^

l

0

„

2

_

.

nn .

l*

sm T

5 dg,

a Q (x, 0

есть решение следующей

задачи:

o2Q,vx + /(^. t)=Qth

Q(x,

0) = Qt (x,

0) =

0;

Q (0,

t) = Q(l, 0 = 0 ,

где f (x,

t) = x- j i ^ [ ' ( t )

—

*-цУ (0 -

Согласно

п.

1 решение имеет вид

Q (*, 0 = ^

(0 sin

*•

Я~1

Функции

(0

вычисляются

по формулам

t

W =■“

\

sin ^

^ -

®) /я (0) d0>

где

Г Ая О

I

2

In (S) =

у

Jj / (I,

6) sin ™

E ^ =

л2п [ ( - 1)" n_" (e ) - ( ii' (6)J,

З а м е ч а н и е

1. Если

краевые

условия

имеют вид

а ,М 0, / ) - М ( 0 ,

() =

Pi(0,

«аМЛ 0 +

О

!Ч('>,

то в качестве функции v1 (x, t) (удовлетворяющей

этим

краевым условиям) можно взять функцию

щ (х,

/) - D xy 2 (/) - С (х -

If iu (/),

где С - 1/(2o^ + fM2).

D ~= 1/(2а2/ +

(У2).

З а м е ч а н и е

2. Иногда легко найти функцию vx{x, t),

П р и м е р 7.

Требуется решить задачу

(54)

Ч2Щ-л" =

и (х, 0) = ф! (х), щ (х, 0) = ф2 (х);

(55)

и{0,

0 = 0. u(l, t) = A s m a t ( ^ l ^ n j i ' j

(56)

a2F" -р со2/7 =

0.

(57)

Из краевых условий (56) находим, что

F (0) =

0,

F(l) = A.

(58)

Решение задачи (57) — (58),

очевидно,

имеет вид

.

со

F (х) =

sin -а- X

А

sm соI

Следовательно,

а

.

со

sin — X

V, (х,

t) =

А --------- sin соt.

.

со

,

sm

а

I

щ(0, 0 = 0,

со (/, 0 = 0;

sm -со х

w (х, 0) = фх (х), wt (х, 0) =

фг (х) — А со---------= q2 (х).

sin а I

радиуса R, непрерывную в замкнутой области

и принимающую

Аи = 0,

(59)

u(R, <р)= /(ф).

(60)

В силу однозначности

искомого решения

и (г, ф) оно должно

быть периодическим по ф с периодом 2я,

т. е.

и (г,

ф + 2я ) ^ м ( г ,

ф).

(61)

~

(г“л) + "2 «(fcp = 0

(59t)

и разделяя переменные,

получим

г ~ ( г Ф ’) - Х Ф = 0,

(62)

¥ " + Л¥ = 0.

(63)

Из

условия

(61)

находим

¥ ( ф +

2л)=е ¥ ( ф).

(64)

При

Д ,<0

уравнение (63)

не имеет

решений, удовлетворяющих

условию (64). Следовательно, Х ^ О . Для

^ > 0

находим

¥

(ф) = A sin УХ ф + В cos УХ ср.

Из условия

(64)

находим,

что (,'Х 2я = 2яп.

Отсюда Хп — п2, где

п — произвольное целое

неотрицательное число.

Таким образом, соб­

ственные значения задачи (63)—(64) суть

Хп = п2

(л= 0,1,2,...),

Общее решение этого уравнения имеет вид

Ф» (')=<:„/■» + -£*.

(я > 0),

(65)

Фо(0 = С0 +

П0 1п

(л = 0).

(66)

В силу ограниченности

искомого

решения в формулах

(65) и

un = rn (Ап cos яф +

й„ sin яф).

Решение задачи (59)—(61) представится в виде ряда

СО

и (г, ф) = 2 ]

гп (Лп cos Яф+ Б,, sin Яф).

(67)

п=о

Коэффициенты Ап и Вп находим из условия (60):

СО

/ (ф) — 2

(Л« C0S +

Вп sin ПФ) Rn>

(68)

гс —0

с весом р = 1:

2л

2Л

Aq=

1

f

1

/ (t) cos пГ dl,

2л

\ f ©

^

л п = лRn ^

0

0

2л

Вп =

nRn

\

/ (С)sin

(я =

1. 2....).

о

З а м е ч а н и е

1.

Ряд

(67) с коэффициентами, вычисляемыми

по формулам

(69),

нетрудно

просуммировать. Однако мы не будем

здесь этого делать, так как в гл. VII задача (59)—(61) будет решена

другим методом, позволяющим

получить результат в конечном виде.

З а м е ч а н и е

2.

Решение

краевой задачи (59)—(61) для внеш­

ности круга представляется

рядом

со

1

U(о ф) =

V

7.

гн (Ап cos nq> + Bn sin Яф),

4яш

•

гс = 0

С

О

и = ^

( C n ^ + ^ - ' j i A n cos тр-{-Вп sin rup) + Aa + B0 lnr,

Дм =

0,

(70)

и (0, у) — и (I,

у) ~ 0,

(71)

и(х, 0 ) = f l (x),

и(х,

b) = f2(x)

(72)

в прямоугольной области {O sgxsg/;

0

ПОЛуЧИМ

ф//

т //

-W + - T - 0-

Чтобы это

равенство

было тождеством, необходимо, чтобы Ф"/Ф =

= — К, Чг"/Дг = Я, где

Я —постоянное число.

и ¥ (у):

Таким образом, получаем уравнения для функций Ф (х)

ф " +

1 ф = 0 ,

( 7 3 )

=

(74)

Из условий (71) находим, что

ф (0) =

Ф (/)= 0 .

(75)

Задача (73),

(75) имеет лишь положительные собственные

значения

кп = лая2//2

(я = 1, 2,...).

С О

и (х, у) = У ( сп ch VknV + Dn Sh | кпу) sin

х,

п= 1