книги из ГПНТБ / Арсенин, В. Я. Методы математической физики и специальные функции учеб. пособие

Свойство 6 (экстремальное свойство) выражает

некоторой функции Ф из класса А , то Ф есть собственная функция, а у — отвечающее ей собственное значение задачи

(5)—(6). При этом у будет, очевидно, наименьшим соб­ ственным значением.

= — 2 5 / {L [ф ]+ ррф} dr.

D

Мы воспользовались здесь самосопряженностью опера­ тора L на функциях класса А.

Таким образом, для произвольной функции / из А имеет

$ / [L [Ф] + ЦрФ} dr = 0.

Ъ

Отсюда следует *), что в точках непрерывности функ­ ции Т[ф] выполняется тождество

L [ф]-|- ррФ = 0,

Ч. т. д.

) По основной лемме вариационного исчисления.

100

Если минимум того же функционала искать в классе функций Ак, принадлежащих А и ортогональных с весом р в области D собственным функциям Фг, Ф2, Ф/г- 1 , то этот минимум будет k-м по величине собственным значе­ нием Хк, а функция, на которой он достигается, — соответ­ ствующей ему собственной функцией Ф/;. Доказательство этого предложения проводится аналогично.

З а м е ч а н и е . Свойства 1—6 справедливы для собствен­ ных значений и собственных функций любого линейного эрмитова оператора. Доказательства их остаются преж­ ними, так как при их проведении мы пользовались лишь свойством самосопряженности оператора L. В дальнейшем будем предполагать, что функция k (М) непрерывна вместе

с частными производными первого порядка в D.

где Ri и R-2—функционалы R, соответствующие функ­ циям kx(M) и k2 (M). Следовательно,

ч. т. д.

101

Из свойств 7 н 8 следует, что в одномерном случае собственные значения кп с ростом п растут, как я2. Дей­ ствительно, наряду с уравнением

значения (или sup и inf).

Для определенности рассмотрим первую краевую за­

Поскольку уравнения (28) и (29) имеют постоянные коэф­

Отсюда и следует справедливость высказанного утверж­ дения.

С в о й с т в о 9. С уменьшением основной области D собственные значения первой краевой задачи не убывают,

т. е. если D 'czD ”, то

102

цией класса А, то получим новый класс функций А ', содержащийся в А". Для всякой функции Ф е Ф имеем

R" [Ф, Ф] = — ^ ФЕ [Ф] dx = — ^ ФЕ [Ф] dx = R' [Ф, Ф]

D " D-

И

^ рФ2 dx — ^ рФ2 dx,

D " D'

ибо эта функция тождественно равно нулю в D" — D'. Поэтому

вать простым, если любые две собственные функции, соответствующие этому Я, линейно зависимы.

С в о й с т в о 10. Все собственные значения одномерной краевой задачи (5)—(6) простые.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть Фх ( а -) и Ф2 ( х ) — собствен­ ные функции, отвечающие одному и тому же собственному значению Я. Тогда обе эти функции являются решениями одного и того же уравнения

£[ А Ф ' ] - д Ф + яРФ = о

иудовлетворяют одним и тем же краевым условиям на левом конце:

У1Ф1 (0) - у2Фх (0) = 0, угФ.) (0) - у2Ф2 (0) = 0.

Эти равенства можно рассматривать как систему линейных уравнений для ух и у2. Поскольку + то опреде­ литель этой системы равен нулю. Но этот определитель есть определитель Вронского W (.г) для решений Фг (а-) и Ф3 (а-)

103

в точке х — 0. Известно*), что определитель Вронского, составленный из решений одного и того же линейного однородного дифференциального уравнения, либо тожде­ ственно равен нулю, либо нигде не обращается в нуль. Так как в нашем случае Ц7(0) = 0, то W (х) = 0. Отсюда и следует линейная зависимость решений Фх (х) и Ф2 (х). Заметим, что для многомерных краевых задач это утвер­ ждение неверно.

П р и м е р 5. Рассмотрим задачу о колебаниях квадратной мемб­ раны с закрепленными краями под действием начального возбужде­ ния. Стороны квадрата направлены по осям координат.

Математическая постановка задачи:

(31), удовлетворяющие лишь краевым условиям (32), (33). Подставляя такую функцию в уравнение (31) и в соотношения (32), (33) и раз­ деляя переменные, получим следующую задачу Штурма — Лиувилля:

Подставляя такую функцию в уравнение (35) и разделяя переменные, получим

Таким образом, мы имеем первые краевые задачи (38),'(40) и (39), (41).

*) См. С т е п а н о в В. В., Курс дифференциальных уравнений, гл. V, Физматгиз, 1959.

104

Собственные значения р, и К — р должны быть положительными (по свойству 5). Как и в примере 1, -находим

Собственные значения ’кп,)1 и л, очевидно, совпадают, а отвечаю­ щие им собственные функции

Таким образом, в этой задаче собственные значения не являются простыми.

Решение задачи (31)—(34) представляется рядом

о0

4.Метод Фурье применяется и для решения краевых

задач ( 1) — (3), в которых коэффициент k ( M ) имеет точки

105

разрыва в области D. При определенных условиях, кото­ рые будут указаны ниже, остаются справедливыми все свойства собственных функций и собственных значений задач вида (5)—(6) с разрывным коэффициентом k(M). При доказательстве свойств с. з. и с. ф. мы опирались на первую формулу Грина, которая получается непосред­ ственно из формулы векторного анализа

div (р • Е) = р div Е-\- (Vp, Е)

и формулы Остроградского

^ div (k ТФ) d x = ^ k d^ do.

d s

Если для задач вида (5)--(6) с разрывным коэффициен­ том k(M) мы укажем условия, при которых справедлива формула Остроградского, то при этих условиях верна будет первая формула Грина и, следовательно, все рас­ смотренные нами свойства собственных функций и соб­ ственных значений. При этом в доказательстве этих свойств ничего не изменится.

Пусть £ —множество точек области D, ограниченной поверхностью S, в которых функция k (М), входящая в оператор div(&VO), разрывна. Будем полагать, что множество % представляет собой совокупность точек конеч­ ного числа поверхностей (линий в двумерном случае) Sh принадлежащих области D, разбивающих область D на конечное число попарно не пересекающихся подобластей Dit ограниченных поверхностями S; и таких, что

D = D1 + Dt + . . . + D n.

При этом в каждой из подобластей Dt коэффициент k (М) непрерывен вместе с частными производными первого по­

Таким образом, каждой тройке допустимых коэффициентов отвечает некоторое разбиение области D на конечное число подобластей гладкости Dt. В частности, если коэффициент k (М) непрерывен вместе с частными производными пер­

вого порядка в D (и q(M), р (М) непрерывны в D), то это «разбиение» состоит из одной области D.

106

Будем говорить, что при заданном допустимом коэффи­ циенте k {М) и отвечающем ему разбиении области D на подобласти гладкости Dt функция Ф(М) удовлетворяет

условию Остроградского в области D, если

1)Ф (М) непрерывна в D ;

2)в каждой подобласти гладкости D,- функция Ф (М) имеет частные производные первого и второго порядков

по координатам точки М, непрерывные в Д ;

ki и kj — значения k {М) в областях Д и Df соответственно.

Обозначим через А класс функций Ф (уИ), которые удов­ летворяют условию Остроградского в области D и одно­ родным краевым условиям

на границе 5.

Очевидно, для каждой области D, каждого допусти­ мого коэффициента k (М) и заданного краевого условия вида (6) существует свой класс А.

собственных функций {Ф„(Мф краевой задачи (5)—(6),

представляется рядом (7) (соответственно (7j)).

Соответствующие изменения в формулировках ряда дру­ гих утверждений очевидны.

107

§ 4. Некоторые свойства совокупности собственных функций

Здесь мы рассмотрим некоторые свойства совокупности собственных функций |Ф„).

О п р е д е л е н и е . Система попарно ортогональных в об­

циям системы {ФД.

Д о с т а т о ч н ы й п р и з н а к п о л н о т ы с и с т е м ы

{ФД. Если для всякой непрерывной в D функции F (М) и для любого г > 0 существует линейная комбинация Sn —

Для функции ф(М) и для выбранного е по условию най­

108

Мы при этом воспользовались ортогональностью функ­

109